5.2 导数在研究函数中的作用 题型（原卷版）

导数在研究函数中的作用理解导数与函数的单调性的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．会利用导数证明一些简单的不等式问题.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.掌握函数极值的判定及求法.掌握函数在某一点取得极值的条件．能根据极值点与极值的情况求参数范围.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.会求某闭区间上函数的最值．理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.能利用导数解决一些简单的恒成立问题．课标解读：1.通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性，会求简单函数的单调区间，能证明简单的不等式，会利用导数解决单调性与含参数相关的问题.2.通过本节课的学习要求会求函数的极值、极值点；能解决与极值点相关的参数问题；并能利用极值解决方程的根与函数的交点问题.3.通过本节课的学习，要求会求函数在局部区间的最大（小）值，能利用函数的导数解决恒成立问题与存在性问题.TOC\o"14"\h\u导数在研究函数中的作用 1一、主干知识 2考点1：函数的单调性与导函数的关系 2考点2：利用导数判断函数的单调性的一般步骤 2考点3：函数的单调性与其导数正负的关系 3考点4：函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 3考点5：函数极值的求法与步骤 3考点6：函数的最大(小)值与导数 4考点7：用导数求函数f(x)最值的基本方法 4【常用结论总结】 4二、分类题型 5题型一函数的单调性 5命题点1用导数判断或证明已知函数的单调性 5命题点2用导数判断或证明已知函数的单调区间 17命题点3函数与导函数图像之间的关系 25命题点4含参数分类讨论函数的单调区间 32题型二函数的极值与最大（小）值 40命题点1函数极值 40命题点2函数（导函数）图像与极值的关系辨析 52命题点3由导数求函数最值 62命题点4函数单调性、极值与最值的综合运用 70命题点5根据极值点求参数 96命题点6函数（导函数）的极值与最值 106三、分层训练：课堂知识巩固 125一、主干知识考点1：函数的单调性与导函数的关系一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，(1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减．考点2：利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．考点3：函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.考点4：函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．考点5：函数极值的求法与步骤(1)求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数f(x)的极值的步骤①确定函数的定义区间，求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③列表；④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．考点6：函数的最大(小)值与导数(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．考点7：用导数求函数f(x)最值的基本方法(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.【常用结论总结】(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．2.(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．二、分类题型题型一函数的单调性命题点1用导数判断或证明已知函数的单调性（多选）下列函数在定义域上为增函数的有（

）A． B．C． D．（多选）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（

）A． B． C． D．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是．已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是．已知函数（为常数）为奇函数，则满足的取值范围是.若函数在具有单调性，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．已知函数是单调函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．已知在上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．若函数在上是严格单调函数，则实数a的取值范围为．若函数在内单调递减，则实数的取值范围是已知函数，若单调递增，求a的值.已知函数.判断函数的单调性.已知，求的单调性.已知函数.(1)若单调递增，求的值；(2)设是方程的两个实数根，求证：.已知函数．(1)当时，讨论函数在上的单调性；(2)当时，证明：对，有．命题点2用导数判断或证明已知函数的单调区间函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．已知，函数的定义域为．若为奇函数，则的严格增区间为．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为.已知函数的减区间为，则.若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是．函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是.已知函数在上不是单调函数，则实数m的取值范围是．已知函数，当时，求函数的单调区间.设函数.(1)求的单调区间；(2)若正数，满足，证明：.已知函数.(1)求的单调区间；(2)若过点作直线与函数的图象相切，判断切线的条数.已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调增区间．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调增区间．命题点3函数与导函数图像之间的关系函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．已知函数的导函数是，则函数的图象可能是（

）A． B．C． D．的图象如图所示，则的图象最有可能是（

）A．

B．

C．

D．

如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．已知函数为的导函数，则的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（

）A． B．C． D．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（

）

A．

B．

C．

D．

已知三次函数的图象如图所示，若是函数的导函数，则关于的不等式的解集为（

）A．或 B．C． D．或设是定义域为R的奇函数，其导函数为，若时，图象如图所示，则可以使成立的x的取值范围是（

）A． B． C． D．已知上的可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为命题点4含参数分类讨论函数的单调区间已知函数，讨论函数的单调性.已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；(2)讨论函数的单调性.已知函数，其中．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：．已知函数.(1)求的单调区间，(2)当时，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.已知函数.讨论函数的单调性.已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.已知函数，其中R.讨论的单调性；已知函数，，讨论的单调区间.已知函数，其中，讨论的单调性.题型二函数的极值与最大（小）值命题点1函数极值函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．为函数的零点B．是函数的最小值C．函数在上单调递减D．为函数的极大值点设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（

）A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递增C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值已知函数的导函数的图像如图所示，则（

）A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1）C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2）D．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2）已知函数在处有极值，则等于（

）A． B．16 C．或16 D．16或18已知函数在处有极大值，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．1或3若函数在处取得极小值，则（

）A．4 B．2 C．2 D．4若函数有极大值，则（

）A． B．C． D．（多选）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．有两个极值点 B．为函数的极大值C．有两个极小值 D．为的极小值（多选）设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则（

）A．函数有极大值 B．函数有极小值C．函数有极大值 D．函数有极小值（多选）已知函数，若函数在上有极值，则实数可以为（

）A．0 B．1 C． D．2已知实数、、、成等差数列，且函数在时取到极大值，则.函数的极小值是.函数的一个极值点为1，则的极大值是．设函数在区间上有极大值点，则的取值范围是．已知函数在处取得极大值，求的值.已知为函数的导函数，且，求的极值.已知函数.(1)若在处取得极值，求的极值；(2)若在上的最小值为，求的取值范围.命题点2函数（导函数）图像与极值的关系辨析已知函数，其导函数的图象如图所示，则（

）A．有2个极值点 B．在处取得极小值C．有极大值，没有极小值 D．在上单调递减已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．函数有最小值B．函数有最大值C．函数有且仅有三个零点D．函数有且仅有两个极值点已知函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内的极小值有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（

）A．在处取得极大值 B．是函数的极值点C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减如图是导函数的图象，则下列说法不正确的是（

）A．函数在区间上单调递减B．函数在区间上单调递减C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（

）A．函数在和上单调递增 B．函数在和上单调递减C．函数仅有两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（

）A．在区间上是增函数 B．在上是减函数C．当时，取极大值 D．在上是增函数已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（

）A．是函数的极小值点B．是函数的极大值点C．函数在上单调递增D．函数在处的切线斜率小于零（多选）已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则（

）A．在区间上是减函数 B．在区间上是增函数C．在时取极小值 D．在时取极小值（多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（

）A．的单调递增区间是B．是的极小值点C．在区间上是减函数，在区间上是增函数D．是的极小值点（多选）已知是函数的导函数，其图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（

）A．在上单调递减 B．在处取得极大值C．在处切线的斜率小于0 D．在处取得极小值（多选）函数（，，，）的图象如图所示，则以下结论正确的有（

）A． B．C． D．（多选）设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则（

）A．函数有极大值 B．函数有极小值C．函数有极大值 D．函数有极小值命题点3由导数求函数最值已知函数在上的最大值也是其在上的极大值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．已知函数在（1，2）上有最值，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．函数，则函数在区间上的值域是（

）A． B． C． D．函数在区间上的最大值与最小值分别为（

）A．， B．， C．， D．，已知函数在区间上有最小值，则a的取值范围为．已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是．若函数在上有最小值，则实数的取值范围是.已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是．当时，恒有成立，则的取值范围是.已知函数，则的最小值为．已知函数在区间上的最小值为．已知函数的最小值为0，则a的值为.若函数是上的减函数，则实数的最大值为．已知函数的最小值为1，则的取值范围为.已知函数，求的最小值.命题点4函数单调性、极值与最值的综合运用函数，，若对任意的，，使得成立，则实数的范围是．已知函数，其中.(1)当时，求证：在上单调递减；(2)若有两个不相等的实数根，，求实数a的取值范围.已知.(1)讨论的单调性；(2)若对恒成立，求整数的最小值.已知函数.(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；(2)讨论函数的零点个数.已知函数.(1)讨论的单调性(2)若，求证：①函数在上只有1个零点；②.已知函数．(1)若在区间上无零点，求实数m的取值范围；(2)若对任意，不等式恒成立，求实数m的取值范围．已知实数，函数，是自然对数的底数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)求证：存在极值点，并求的最小值.已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，判断方程的实根个数．已知函数在处有极值1.(1)求的值；(2)若函数在上单调递增，求的取值范围.已知函数.(1)试讨论的单调区间；(2)若有两个零点，求的取值范围.已知函数有两个不同的极值点.(1)求实数的取值范围；(2)已知，且，求的取值范围.已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.已知函数为其导函数．(1)求在上极值点的个数；(2)若对恒成立，求的值．已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)已知有两个极值点，且，证明：．已知函数．(1)求的最值；(2)当时，，求实数的取值范围．命题点5根据极值点求参数若是函数的极大值点，则实数的取值范围是.若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是．若是函数的驻点，则实数的值为.函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是.设函数有两个不同的极值点、，若，则的取值范围为.已知曲线在点处的切线斜率为3，且是的极值点，则函数的另一个极值点为.已知函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围为．已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是.已知函数在上存在极值点，则正整数的值是.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是若函数在处取得极小值，则函数的极大值为．已知是函数的极大值点，则的取值范围是.已知的两个极值点分别为，2，则函数在区间上的最大值为．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为.若在内存在极值，则实数的取值范围是．命题点6函数（导函数）的极值与最值已知三次函数的图象如图所示，则（

）A． B． C． D．若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为．已知函数(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若是的极大值点，求的取值范围.已知函数．(1)若是函数的极值点，求在处的切线方程．(2)若，求在区间上最大值．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，恒成立，求的取值范围．已知函数(1)若，求函数的单调区间；(2)若存在最大值，求最大值和的取值范围．(3)当时，求证：．设曲线在点处的切线方程为（其中，a，，是自然对数的底数）.(1)求a，b的值；(2)求在区间上的最大值和最小值.已知函数，，.(1)求的值；(2)求在区间上的最大值；(3)当时，求证：对任意，恒有成立.已知函数，．讨论函数的最值；已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若，都有，求的取值范围.已知：.(1)当时，求的单调性；(2)若，求的取值范围.已知函数．(1)当在处取得极小值－1时，求的解析式；(2)当时，求在区间上的最值；(3)当且时，若，，求a的取值范围．已知函数，(1)当时，求在的最小值；(2)求的单调减区间．(3)若有最小值，请直接写出的取值范围．已知函数.(1)当a=2时，求在上的最值；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，，求的取值范围.三、分层训练：课堂知识巩固1．（2023春•莆田期末）设，，，则A． B． C． D．2．（2023春•福清市校级期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为A． B． C． D．3．（2023春•厦门期末）直线与两条曲线和均相切，则的斜率为A． B．1 C．2 D．4．（2022秋•南平期末）若函数在上是增函数，则实数的取值范围为A． B． C． D．5．（2023春•鲤城区校级期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，6．（2022秋•城厢区校级期末）在等比数列中，，是函数的极值点，则A．或2 B． C．2 D．7．（2023春•福清市校级期末）直线与曲线相切，则的值为A．2 B． C． D．18．（2023春•鼓楼区校级期末）若函数有极值，则实数的取值范围是A．， B． C． D．，9．（2023春•晋江市期末）若函数在处有极值10，则A． B． C．6 D．1510．（2023春•漳州期末）若为函数的极大值点，则A． B． C． D．11．（2023春•龙岩期末），，，则不等式的解集为A． B． C． D．12．（2023春•泉州期末）已知，则的最小值为A． B． C． D．13．（2023春•永春县校级期末）若曲线在处的切线方程为，则A．， B．， C．， D．，14．（2022秋•泉州期末）已知，，若对任意，，总存在，，使得，则实数的取值范围为A． B． C． D．15．（2022秋•思明区校级期末）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数．为奇函数，若（9）（8），则不等式的解集为A． B． C． D．二．多选题（共3小题）16．（2023春•龙岩期末）若函数在区间内有最小值，则实数的取值可能为A． B． C． D．17．（2022秋•南平期末）若函数，则A．函数只有极大值没有极小值 B．函数只有最大值没有最小值 C．函数只有极小值没有极大值 D．函数只有最小值没有最大值18．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知函数，则A．在上单调递增 B．是的极大值点 C．有三个零点 D．在，上的最大值是419．（2023春•南安市校级期末）曲线在点，（1）处的切线方程为．20．（2022秋•台江区校级期末）已知，则在处的切线方程是．21．（2023春•石狮市校级期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是，．22．（2023春•宁德期末）设函数，若，恒成立，则的取值范围是，．23．（2017春•华安县校级期末）若函数在区间，上单调递增，则实数的取值范围是，．24．（2023春•鼓楼区校级期末）曲线在点处的切线方程是．25．（2023春•福州期末）已知函数存在唯一的极值点，则实数的取值范围是．26．（2023春•龙岩期末）函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为．27．（2023春•台江区校级期末）若曲线只有一条经过点的切线，则的值可以为0或4，此时切线方程为．28．（2023春•思明区校级期末）已知在处有极值，则（2）3．29．（2012秋•邵武市校级期末）曲线在点处的切线倾斜角为．30．（2022秋•城厢区校级期末）函数的单调递减区间为，．31．（2022秋•永春县校级期末）设函数的导函数为，若函数的图象的顶点的横坐标为，且（1），则的值为．32．（2023春•福州期末）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；（Ⅱ）若函数，，恰有2个零点，求实数的取值范围．33．（2022秋•城厢区校级期末）已知函数，．（1）求函数的极值；（2）若1是关于的方程的根，且方程在上有实根，求的取值范围．34．（2023春•莆