4.3.2等比数列的前n项和公式5题型分类（原卷版）

n项和公式5题型分类一、等比数列的前n项和公式若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为

=.二、等比数列前n项和公式与指数函数的关系(1)当q=1时，=是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点.(2)当q≠1时，=.记A=，则=+Aq>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点.三、等比数列前n项和的性质已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质：

(1).

(2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为.

(3)若{}共有2n(n)项，则=q；

若{}共有(2n+1)(n)项，则=q.（一）等比数列基本量的求解1．等比数列的通项公式：an＝a1qn－1＝amqnm＝eq\f(a1,q)qn.2．等比数列的前n项和公式：Sn=a113.等比数列基本量的运算:在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，做到“知三求二”．题型1：等比数列前n项和基本量的求解11．（2023·全国·高二专题练习）在等比数列{an}中.（1）S2＝30，S3＝155，求Sn；（2）a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；（3）a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.12．（2023上·四川成都·高二校考阶段练习）已知递增的等比数列中，，，则（

）A．25 B．31 C．37 D．4113．（2023·浙江·）设为等比数列的前项和，，则A．11 B．5 C． D．14．（2023上·四川·高三树德中学校考阶段练习）设正项等比数列的前n项和为，若，则公比（

）A．2 B． C．2或 D．2或15．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）记正项等比数列的前n项和为，若，则该数列的公比（

）A． B． C．2 D．316．（2023上·河南安阳·高三统考开学考试）已知等比数列的前n项和，则（

）A． B． C． D．17．（2023下·高二课时练习）在等比数列中，若，则（

）A． B． C． D．18．（2023下·高二课时练习）已知是等比数列，，，则（

）A． B． C． D．19．（2023上·河南安阳·高二林州一中阶段练习）设数列的前项和为，点均在直线上．若，则数列的前项和.110．（2023上·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（

）A．该人第五天走的路程为14里B．该人第三天走的路程为42里C．该人前三天共走的路程为330里D．该人最后三天共走的路程为42里111．（2023·湖南·统考二模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（

）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）A．42 B．56 C．63 D．70（二）等比数列前n项和的性质等比数列前n项和的性质已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质：

(1).

(2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为.

(3)若{}共有2n(n)项，则=q；

若{}共有(2n+1)(n)项，则=q.题型2：等比数列片段和性质及应用21．（2023下·宁夏石嘴山·高一平罗中学校考期中）等比数列的前n项和为，已知，，则（

）A． B． C． D．22．（2023·高二课时练习）已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前15项和为39，则该数列的前10项和为（

）A． B． C．12 D．1523．（2023上·宁夏银川·高二银川九中阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．24．（2023·江西·校联考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，公比为，且，则（

）A．36 B．39 C．40 D．4425．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，为其前n项和，若，，则（

）A．40 B．60 C．32 D．5026．（2023上·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考开学考试）已知等比数列的前项和为，，，则A． B． C． D．27．（2023上·贵州铜仁·高二贵州省思南中学校考阶段练习）设正项等比数列的前项和为，，则公比等于（

）A． B． C． D．题型3：等比数列奇、偶项和的性质及其应用31．（2023·全国·高二学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（）A． B．C． D．32．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（

）A．30 B．60 C．90 D．12033．（2023上·全国·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（

）A． B．2 C． D．34．（2023上·陕西宝鸡·高三统考阶段练习）已知等比数列中，，，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5题型4：等比数列前n项和的其他性质41．（2023·上海奉贤·统考一模）已知等比数列的公比q，前n项的和，对任意的，恒成立，则公比q的取值范围是．42．（2023·上海·统考模拟预测）已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（

）A．若，则数列单调递增B．若，则数列单调递增C．若数列单调递增，则D．若数列单调递增，则43．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）已知等比数列的前项和，则函数的最小值．44．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为q，前n项和为，前n项积为，并满足条件，，则下列结论中不正确的有（

）A．q>1B．C．D．是数列中的最大项45．（2023上·河南郑州·高二郑州外国语学校校考期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（

）A．

B．

C．的最大值为

D．的最大值为46．（2023·四川成都·校联考三模）已知等比数列的前项和满足，数列满足，其中，给出以下命题：①；②若对恒成立，则；③设，，则的最小值为；④设，若数列单调递增，则实数的取值范围为．其中所有正确的命题的序号为．（三）等差数列与等比数列的综合应用1．等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d=am＋(n－m)d.等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).2.等比数列的通项公式：an＝a1qn－1＝amqnm＝eq\f(a1,q)qn.等比数列的前n项和公式：Sn=a113.根据具体条件，借助等差、等比数列的通项公式、性质、求和公式等进行转化求解即可.题型5：等差数列与等比数列的综合应用51．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）在正项等比数列中，，是，的等差中项，则.52．（2023下·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则的值为．53．（2023·江苏·校联考模拟预测）若数列是等比数列，且是与的等差中项，则．54．（2023上·河南·高三统考阶段练习）已知等比数列的前项和为．若为和的等差中项，，则．55．（2023·四川巴中·统考一模）已知等比数列的公比为，前项和为，则下列命题中错误的是（

）A．B．C．，，成等比数列D．“”是“，，成等差数列”的充要条件56．（2023下·广西·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，其中，，，成等差数列，且，则（

）A． B． C． D．一、单选题1．（2023·安徽·统考模拟预测）已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（

）A．5 B．7 C．9 D．112．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（

）A． B．2 C． D．33．（2023·高二课时练习）在数列中，（为非零常数），且其前n项和，则实数的值为（

）A． B． C． D．4．（2023下·黑龙江绥化·高二绥化市第九中学校考期末）已知数列的前n项和为，q为常数，则“数列是等比数列”为“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要5．（2023上·山西大同·高三统考阶段练习）等比数列的前n项和，则（

）A． B．2 C．1 D．6．（2023上·山东·高三统考阶段练习）已知数列满足，若数列前5项的和为31，则的值为（

）A．8 B．16 C．31 D．327．（2023·贵州·统考模拟预测）在数列中，，，若，则（

）A．3 B．4 C．5 D．68．（2023·江苏南通·沭阳如东中学校联考模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．99．（2023上·江苏无锡·高二江苏省梅村高级中学校考阶段练习）我国明代著名乐律学家､明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音c的频率为440Hz，那么频率为的音名是（

）A．d B．f C．e D．#d10．（2023上·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则（

）A．31 B． C．31或5 D．或511．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于（

）A． B．C． D．12．（2023上·四川南充·高二阆中中学校考开学考试）设为等比数列的前项和，且则等于（

）A． B． C． D．13．（2023上·河北廊坊·高三校考阶段练习）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（

）A．192里 B．96里 C．48里 D．24里14．（2023·河北·校联考一模）设正项等比数列的前项和为，若，，则公比（

）A．5 B．4 C．3 D．215．（2023下·辽宁·高二校联考期中）等比数列的前n项和为，若，，则（

）A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或1216．（2023下·安徽滁州·高二校联考期中）若等比数列的前n项和为，，，则（

）A． B． C． D．17．（2023下·山东·高二校联考阶段练习）为等比数列的前项和，且，则（

）A． B．C． D．18．（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则的值是（

）A． B． C． D．419．（2023·高二课时练习）一个等比数列共有项，若前项之和为15，后项之和为60，则这个等比数列的所有项的和为（）A．63 B．72 C．75 D．8720．（2023上·安徽池州·高三统考期末）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（

）A．15 B．30C．45 D．6021．（2023下·浙江·高一校联考期中）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（

）A． B． C． D．22．（2023下·浙江·高一校联考期中）等比数列中，，，则的值为（

）A． B．C． D．23．（2023上·陕西商洛·高三统考期末）已知等比数列的前n项和为，若，，则（）A．9 B．10 C．12 D．1724．（2023下·河南·高三校联考阶段练习）设数列的前n项和为，若，则（

）A． B． C． D．二、多选题25．（2023·河北·校联考模拟预测）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类．螺旋线这个名词源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；与之类似，依次进行，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…），则（

）A．数列是公比为的等比数列 B．C．数列是公比为的等比数列 D．数列的前项和26．（2023上·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）已知为等比数列，是其前与的等差中项为20，则（

）A． B．公比C． D．27．（2023上·福建宁德·高二统考期中）已知等比数列前项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前项和为，则下列结论正确的是（

）A．数列的通项公式为 B．C．数列是等比数列 D．28．（2023上·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考期末）已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（

）A．数列的通项公式B．C．数列的通项公式为D．的取值范围是29．（2023上·山东青岛·高二统考期中）已知数列是公比的正项等比数列，是与的等比中项，是与等差中项，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．30．（2023上·江苏苏州·高二统考期中）对于数列，设其前项和，则下列命题正确的是（

）A．若数列为等比数列，成等差，则也成等差B．若数列为等比数列，则C．若数列为等差数列，且，则使得的最小的值为13D．若数列为等差数列，且，则中任意三项均不能构成等比数列三、填空题31．（2023·广东·高考真题）设数列是首项为，公比为的等比数列，则.32．（2023上·江苏宿迁·高二统考期中）等比数列的前项和，则．33．（2023下·高二课时练习）在等比数列中，若，则.34．（2023下·高二课时练习）若等比数列的公比为，且，则的前100项和为．35．（2023下·高二课时练习）公差不为0的等差数列的部分项构成等比数列，且，，，则.36．（2023·江苏·高三专题练习）作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则前个内切圆的面积和是．37．（2023·全国·校联考一模）设等比数列的前n项和为，若，且，则.38．（2023·高二课时练习）在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为．39．（2023·高二课时练习）已知等比数列的前n项和为，若，，则．40．（2023上·辽宁沈阳·高三校考阶段练习）已知数列的前项和，则数列的前项和.41．（2023下·安徽滁州·高二校联考阶段练习）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”，则前6天两只老鼠一共穿城墙尺．42．（2023上·浙江温州·高二统考期末）如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的，若已知小球经过的路程为，则小球落地的次数为．四、解答题43．（2023下·高二课