新教材适用2023-2024学年高中数学第2章函数3函数的单调性和最值课后训练北师大版必修第一册

§3函数的单调性和最值课后训练巩固提升一、A组1.(多选题)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则对于任意x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论正确的是().A.f(xB.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)<f(x1)<f(x2)≤f(b)D.f(x1)≠f(x2)解析:由函数单调性的定义知,函数f(x)在给定区间上单调递增,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B正确;对于C,若x1>x2,则f(x1)>f(x2),故C不正确;对于D,因为f(x)在区间[a,b]上单调,且x1≠x2,所以f(x1)≠f(x2),故D正确.答案:ABD2.若函数f(x)=ax+1在R上是减函数,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是().A.[2,+∞) B.(-∞,2]C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]解析:因为函数f(x)=ax+1在R上是减函数,所以a<0,所以g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为函数h(x)=x2-4x+3的单调递减区间.又函数h(x)=x2-4x+3的单调递减区间为(-∞,2],故g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是(-∞,2].答案:B3.若函数f(x)=4x2-kx-8在区间[5,8]上是单调函数,则实数k的取值范围是().A.(-∞,40] B.(40,64)C.(-∞,40]∪[64,+∞) D.[64,+∞)解析:由f(x)=4x2-kx-8=4x-k82-k216-8,得函数图象的对称轴为直线x=k8,又函数f(x)在区间[5,8]上是单调函数,则k8≤5或k8答案:C4.函数g(x)=x2-4x+3,x∈(1,4]的值域是().A.[-1,+∞) B.[0,3]C.(-1,3] D.[-1,3]解析:g(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,当x=2时,g(x)取得最小值-1;当x=4时,g(x)取得最大值3,所以函数g(x)的值域为[-1,3].答案:D5.已知函数f(x)=(a+3)x-5,x≤1,2ax,x解析:依题意得a解得-2≤a<0.故实数a的取值范围是[-2,0).答案:[-2,0)6.某社区积极响应党的二十大关于推进城乡人居环境整治的号召,改善社区居民的居住环境.如图,欲在一块锐角三角形空地中,建一座内接矩形花园(阴影部分).设该矩形花园的一边长为xm,则当x=时,该内接矩形花园的面积最大,最大面积为m2.

解析:设矩形花园与边长为x的一边相邻的另一边的长为ym,且0<y<40,则由题意可得x40=40-y40,即y=40-x(0<x<40),于是矩形花园的面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0<x<40),故当x=20时,答案:204007.函数y=-x2+3x解析:画出函数y=-x2+3x,x>0,答案:08.已知函数f(x)=2x-1(x(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)求函数的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)在区间[2,6]上是减函数.证明:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2x由2≤x1<x2≤6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=2x-1是区间(2)由(1)可知,函数f(x)=2x-1(x∈[2,6])在x=2处取得最大值,且最大值是2,在x=6处取得最小值,9.已知函数f(x)=a-2x(1)若2f(1)=f(2),求a的值;(2)判断f(x)在区间(-∞,0)上的单调性并用定义证明.解:(1)∵2f(1)=f(2),∴2(a-2)=a-1,∴a=3.(2)f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,证明如下:任取x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a-∵x1<x2<0,∴x1x2>0,x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴f(x)=a-2x在区间(-∞,0)上是增函数10.已知函数f(x)=-x2+2x-3.(1)求f(x)在区间[2a-1,2]上的最小值g(a);(2)求g(a)的最大值.解:(1)由题意得,f(x)=-(x-1)2-2,f(2)=-3,f(0)=-3,2a-1<2.所以当2a-1≤0,即a≤12时,f(x)最小值=f(2a-1)=-4a2+8a-6当0<2a-1<2,即12<a<32f(x)最小值=f(2)=-3.所以g(a)=-(2)由(1)知,当a≤12时,g(a)=-4a2+8a-6单调递增,所以g(a)≤g(12)=-当12<a<32时,g(a)=-3.所以g(a)的最大值为-二、B组1.(多选题)下列关于函数f(x)=x+|x-1|的说法正确的有().A.有最小值,且最小值为1B.没有最小值C.有最大值,且最大值为10D.没有最大值解析:f(x)=x+|x-1|=2其图象如图所示:由图象可知f(x)的最小值为1,没有最大值.答案:AD2.函数f(x)=(3a-1)x+4a,x<A.18,1C.0,13解析:由函数f(x)在R上是减函数,知3a-1<0,-综上可知,实数a的取值范围是[18,答案:A3.函数f(x)=-x+1x在区间[-2,-13]上的最大值是(A.32 B.-C.-2 D.2解析:因为函数f(x)=-x+1x在区间-2,-13上单调递减,所以当x=-2时,f(x)取得最大值,答案:A4.已知函数f(x)=x2+ax+2(a>0)在区间[0,2]上的最大值为8,则a=,函数f(x)在区间[-2,1]上的取值范围为.

解析:由题意知函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-a2,且-a2<0,故f(x)在区间[0,2]上的最大值为f(2)=6+2a=8,所以a=1,则f(x)=x2+x+2=(x+12)2+74,其图象的对称轴为直线x=-12,又-12∈[-2,1],且f(-12)=74,f(-2)=4,f(1)=4,所以函数f(x)在区间答案:1[745.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的最大值是.

解析:在平面直角坐标系中画出函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的图象,如图所示.由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6.答案:66.已知函数y=f(x)(x>0)满足:f(xy)=f(x)+f(y),当x<1时,f(x)>0,且f12=1(1)证明:y=f(x)是区间(0,+∞)上的减函数;(2)解不等式f(x-3)>f1x-2(1)证明:设0<x1<x2,则0<x1x2<1,由题意得,f(x1)-f(x2)=fx1x2·x2-f(x2)=fx1x2+f(x2)-f(x2)=fx1∴y=f(x)是区间(0,+∞)上的减函数.(2)解:由函数f(x)的定义域知x-3>0,又f12=1,∴f14=f12×12=f12+f1由f(x-3)>f1x-2,得f(x-3)+2>f1x,即f(x-3)+f14>f1x,即fx-34>f1x,由(1)综上所述,所求不等式的解集为(3,4).7.已知函数f(x)=2x(1)判断并证明函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性;(2)若x∈[1,m]时,函数f(x)的最大值与最小值的差为12,求m的值解:(1)函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.证明如下:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2-3x1+1-(2-3x因为x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.(2)由(1)知f(x)在区间[1,m]上单调递增,所以f(m)-f(1)=12,即2解得m=2.8.已知函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.解:∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3.∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f(2).任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2-x1)>1.∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.∴f(x2)>f(x1).故f(x)在R上是增函数.∴3m2-m-2<2,解得-1<m<43故原不等式的解集为-19.已知函数f(x)=x2-ax,a∈R.记f(x)在区间[1,2]上的最大值为M,最小值为m.(1)若M=f(2),求实数a的取值范围;(2)证明:M-m≥14(1)解:函数f(x)=x2-ax的图象开口向上,对称轴为直线x=a2,∵x∈[1,2],∴M为f(1),f(2)中较大者∵f(1)=1-a,f(2)=4-2a,当1-a≥4-2a,即a≥3时,M=f(1)=1-a;当1-a≤4-2a,即a≤3时,M=f(2)=4-2a.∵M=f(2),∴实数a的取值范围为(-∞,3].(2)证明:①当a2>2,即a>4时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递减∴M=f(1)=1-a,m=f(2)=4-2a,∴M-m=1-a-4+2a=a-3>1>14②当a2<1时,即a<2时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递增∴M=f(2)=4-2a,m=f(1)=1-a,∴M-m=4-2a-