新教材适用2023-2024学年高中数学第1章预备知识3不等式3.2基本不等式第2课时基本不等式与最大(小)值课件北师大版必修第一册

3.2

基本不等式第2课时

基本不等式与最大(小)值自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析随

堂

练

习课标定位素养阐释1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.2.会用基本不等式解决实际问题.3.体会数学建模思想的应用,加强逻辑推理和数学建模素养的培养.

自主预习·新知导学一、利用基本不等式求最大(小)值【问题思考】1.(1)已知x,y都是正数,若x+y=s(s为定值),那么xy有最大值还是最小值?如何求?(2)已知x,y都是正数,若xy=p(p为定值),那么x+y有最大值还是最小值?如何求?3.已知0<x<1,则x(1-x)的最大值为

,此时x=

.二、利用基本不等式求条件最值【问题思考】1.利用基本不等式求最值时应注意几个条件?提示:注意三个条件:一非负、二定、三相等.2.常用的构造定值条件的变换方法有哪些?提示:(1)加项变换;(2)拆项变换;(3)统一换元;(4)平方后利用基本不等式.3.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为(

).A.16 B.25

C.9

D.36解析:因为x>0,y>0,且x+y=8,所以(1+x)(1+y)=1+x+y+xy=9+xy≤9+

=9+16=25.当且仅当x=y=4时等号成立,所以(1+x)(1+y)的最大值为25.答案:B【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)两个数的积为定值,它们的和一定能在两个数相等时取得最小值.(

×

)(2)若x+y=6,则xy的最大值为9.(

√

)(3)若xy=1,则x+y≥2.(

×

)

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究一

利用基本不等式求代数式的最值利用基本不等式求最值的方法(1)若“一非负二定三相等”中的条件满足时,直接用公式求解.(2)负数在基本不等式中的应用当所给式子均小于0时,也可以利用基本不等式求最值,但是要注意不等号方向的变化.(3)通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略①拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.探究二

利用基本不等式求条件最值问题1.本例条件变为“x>0,y>0,2x+8y=xy”,求x+y的最小值.常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.(4)利用基本不等式求最值.探究三

利用基本不等式解决实际问题【例3】

围建一个360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).(1)用x表示y.(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少,并求出最少总费用.分析:(1)利用矩形的面积将矩形的另一边长也用x来表示,进而写出y与x的关系式.(2)在(1)的基础上利用基本不等式求最值.在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点(1)先理解题意,设变量时一般把要求最值的量定为变量;(2)建立相应的代数关系式,把实际问题抽象为代数式的最值问题;(3)确定变量的范围,求出代数式的最值;(4)写出正确答案.【变式训练3】

如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两个栏目的面积之和为18000cm2,四周(除两个栏目之间的中缝)空白的宽度为10cm,两个栏目之间的中缝空白的宽度为5cm,请确定该矩形广告的高与宽的尺寸(单位:cm),使矩形广告面积最小,并求出最小值.解:设矩形栏目的高为a

cm,宽为b

cm,则有ab=9

000.①广告的高为(a+20)cm,宽为(2b+25)cm,其中a>0,b>0.广告的面积S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500从而b=75,即当a=120,b=75时,S取得最小值24

500,故该矩形广告的高为140

cm,宽为175

cm时,可使广告的面积最小,最小值为24

500

cm2.易

错

辨

析忽视基本不等式等号成立的条件致误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:①②两处等号成立的条件不同,一个是a=b,另一个是b=4a,这显然是不能同时成立的,故不正确.1.使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一非负、二定、三相等”的忽视.特别是多次使用基本不等式,要注意等号成立的条件要一致.2.在运用基本不等式时,还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“非负”“定”“等”的条件.随

堂

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习答案:C答案:B答案:D4.已知0<x<4,则x