2022-2023学年山东省临沂一中高二（上）期末数学试卷

2022-2023学年山东省临沂一中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．（5分）已知空间向量a→=(2，-3，4)，b→=(-4，m，n)，A．2 B．﹣2 C．14 D．﹣142．（5分）设直线l的斜率为k，且﹣1≤k＜3，求直线l的倾斜角αA．[0，π3)∪(C．(π6，3π3．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值为（）A．-12 B．﹣2 C．-144．（5分）已知等比数列{an}的前n项积Tn满足T7T2=32A．128 B．256 C．512 D．10245．（5分）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y2a2-x2b2=1（a＞0A．y212-x2C．x24-y6．（5分）若等差数列{an}的前n项和为Sn，则“S2024＜0，S2025＞0”是“a1012⋅a1013＜0”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）设P是抛物线C1：x2＝4y上的动点，M是圆C2：（x﹣5）2+（y+4）2＝4上的动点，d是点P到直线y＝﹣2的距离，那么d+|PM|的最小值是（）A．52-2 B．52-1 C．528．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）与双曲线x2m2-y2n2=1（m＞0，n＞0）具有相同焦点F1、F2，P是它们的一个交点，且∠F1PFA．2 B．3 C．4 D．5二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（多选）9．（5分）对于非零空间向量a→，b→，A．若a→⋅b→＜0B．若a→=(1，2，C．若a→⋅bD．若a→=(1，0，0)，b→=(0，（多选）10．（5分）已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为n C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±-mnD．若m＝0，n＞0，则C是两条直线（多选）11．（5分）如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法．商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…．设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则（）A．S6＝56 B．an+1﹣an＝n C．a2023＝1012×2023 D．1（多选）12．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且D1Q→=λD1A1→，A．CN与QM异面 B．三棱锥A﹣DMN的体积跟λ的取值无关 C．不存在λ使得AM⊥QM D．当λ=12时，过A，Q，M三点的平面截三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知两直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5＝0，l2：6x+（2m﹣1）y＝5，若l1⊥l2，则实数m＝．14．（5分）已知数列{an}满足a1＝2，an+1=an-1an+215．（5分）已知平面α的一个法向量n→=(-2，-2，1)，点A（﹣1，﹣3，0）在平面α内，若点B（m，0，2﹣m）在平面α内，则16．（5分）如图，已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF四、解答题：本题共6小题，共70分．17．（10分）如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AB＝2，AA1＝4，∠DAB＝∠A1AB＝∠DAA1＝60°，A1N→=3NC1→，（1）试用a→，b→，c→表示AM（2）求MN的长度．18．（12分）已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直．（1）求直线l的一般式方程；（2）若圆C的圆心为点（3，0），直线l被该圆所截得的弦长为22，求圆C19．（12分）已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝1．（1）若数列{an}为等差数列，S10＝70，求数列{an}的通项公式；（2）若数列{an}为等比数列，a4=18，求满足Sn＞100an时20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=12CE＝1，M为棱A1B（Ⅰ）求证：C1M⊥B1D；（Ⅱ）求二面角B﹣B1E﹣D的正弦值；（Ⅲ）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．21．（12分）已知数列{an}满足a1+a2+⋯+an﹣1﹣an＝﹣2（n≥2且n∈N*），且a2＝4．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{2n(an-1)(an+122．（12分）如图，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)经过点P（（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

2022-2023学年山东省临沂一中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．（5分）已知空间向量a→=(2，-3，4)，b→=(-4，m，n)，A．2 B．﹣2 C．14 D．﹣14【解答】解：a→∥b→，则b→=λa→，即（﹣4，m，n）＝λ（2，﹣3，4）＝（2∴-4=2λm=-3λn=4λ，解得λ＝﹣2，m＝6，n＝﹣8，则m﹣n故选：C．2．（5分）设直线l的斜率为k，且﹣1≤k＜3，求直线l的倾斜角αA．[0，π3)∪(C．(π6，3π【解答】解：直线l的斜率为k，且﹣1≤k＜3∴﹣1≤tanα＜3，α∈[0，π∴α∈[0，π3）∪[3π4，故选：D．3．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值为（）A．-12 B．﹣2 C．-14【解答】解：由题意得抛物线的标准方程为x2=1又准线方程是y＝1，则-14a=1故选：C．4．（5分）已知等比数列{an}的前n项积Tn满足T7T2=32A．128 B．256 C．512 D．1024【解答】解：等比数列{an}的前n项积Tn，T7所以a5＝2，所以T9故选：C．5．（5分）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y2a2-x2b2=1（a＞0A．y212-x2C．x24-y【解答】解：设双曲线的一个焦点为（0，﹣c），一条渐近线方程为y=abx，即ax﹣by则焦点到渐近线的距离d=bc∵e=ca=2，c2＝a2+b2，b∴a2=43，b∴双曲线方程为：3y故选：B．6．（5分）若等差数列{an}的前n项和为Sn，则“S2024＜0，S2025＞0”是“a1012⋅a1013＜0”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：由S2024＜0，S2025＞0可得{an}单调递增，且公差大于0，故S2023＜0，S2023即a1+a2023＝2a1012＜0，a1+a2025＝2a1013＞0，即a1012＜0，a1013＞0，因此a1012⋅a1013＜0，当a1012＞0，a1013＜0时，此时{an}单调递减，则不可能满足S2024＜0，S2025＞0，因此“S2024＜0，S2025＞0”是“a1012⋅a1013＜0”的充分不必要条件，故选：C．7．（5分）设P是抛物线C1：x2＝4y上的动点，M是圆C2：（x﹣5）2+（y+4）2＝4上的动点，d是点P到直线y＝﹣2的距离，那么d+|PM|的最小值是（）A．52-2 B．52-1 C．52【解答】解：圆（x﹣5）2+（y+4）2＝4的圆心（5，﹣4），半径为2．抛物线x2＝4y的准线方程为：y＝﹣1，如图：d为P到y＝﹣2的距离，P为抛物线x2＝4y上一动点，M为（x﹣5）2+（y+4）2＝4上一动点，d+PM最小值就是FC2的连线与抛物线的交点是P，与圆的交点为M，过P作PN垂直直线y＝﹣1的交点为N，有抛物线的定义可知：PF＝PN，即1+|PF|+|PM|的最小值就是d+PM最小值，∵F（0，1），C2（5，﹣4），∴|FC2|=52+(-4-1∴d+|PM|≥1+|FC2|﹣2＝52-所以d+PM最小值为52-1故选：B．8．（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）与双曲线x2m2-y2n2=1（m＞0，n＞0）具有相同焦点F1、F2，P是它们的一个交点，且∠F1PFA．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：设|PF1|＝s，|PF2|＝t，P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得s+t＝2a，s﹣t＝2m，解得s＝a+m，t＝a﹣m，在三角形F1PF2中，∠F1PF2=π可得4c2＝s2+t2﹣2stcosπ3=a2+m2+2am+a2+m2﹣2am﹣（a2﹣m即有a2+3m2＝4c2，可得a2c即为1e1则3e12+e22=14（1e12+3e22）（3e12≥14（6+29）＝3，当且仅当e22e12=9e12故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（多选）9．（5分）对于非零空间向量a→，b→，A．若a→⋅b→＜0B．若a→=(1，2，C．若a→⋅bD．若a→=(1，0，0)，b→=(0，【解答】解：对于A，若a→⋅b→＜0，则a→，b→所以θ是钝角或θ＝π，所以选项A错误；对于B，因为a→•b→=-1﹣2+3＝0，所以a→⊥对于C，根据向量的数量积定义知，a→•b→=b→•c对于D，因为b→≠λa→+μb→，所以向量a→a→，b→，c→故选：BD．（多选）10．（5分）已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为n C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±-mnD．若m＝0，n＞0，则C是两条直线【解答】解：A．若m＞n＞0，则1m＜1n，则根据椭圆定义，知x21B．若m＝n＞0，则方程为x2+y2=1n，表示半径为1nC．若m＜0，n＞0，则方程为x21m+y21n=若m＞0，n＜0，则方程为x21m+y21n=1故C正确；D．当m＝0，n＞0时，则方程为y＝±1n表示两条直线，故D故选：ACD．（多选）11．（5分）如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法．商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…．设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则（）A．S6＝56 B．an+1﹣an＝n C．a2023＝1012×2023 D．1【解答】解：由题意得a1＝1，a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，•••，an﹣an﹣1＝n，由以上式子累加得an＝1+2+•••+n=n(n+1)2（n≥∵a1＝1满足上式，∴an=n(n+1)由已知a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，a6＝21，∴S6＝a1+a2+a3+a4+a5+a6＝1+3+6+10+15+21＝56，故A正确；∵an﹣an﹣1＝n，则an+1﹣an＝n+1，故B错误；由通项公式得a2023=2023×20242=1012×2023∵1a∴1a1+1a2+⋅⋅⋅+1a2023=2（1故选：ACD．（多选）12．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且D1Q→=λD1A1→，A．CN与QM异面 B．三棱锥A﹣DMN的体积跟λ的取值无关 C．不存在λ使得AM⊥QM D．当λ=12时，过A，Q，M三点的平面截【解答】解：对于A，连接AC，CQ，则M，N分别为AC，AQ的中点，MN为△AQC的中位线，∴MN∥CQ，则CN，QM共面，故A错误；对于B，VA﹣DMN＝VN﹣ADM=13S对于C，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则D1（0，0，2），A1（2，0，2），∵Q是棱A1D1上一点，且D1Q→=λD1A1→，λ∈[0，1]，∴AM→=（﹣1，1，0），QM→=（1﹣2λ，AM→⋅QM→=2λ﹣1+1＝2λ，λ＝0时，AM对于D，当λ=12时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面为梯形AG=22-2∴当λ=12时，过A，Q，M三点的平面S=12×(故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知两直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5＝0，l2：6x+（2m﹣1）y＝5，若l1⊥l2，则实数m＝﹣1或-92【解答】解：因为l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5＝0，l2：6x+（2m﹣1）y＝5，且l1⊥l2，所以6（m+2）+（m+3）（2m﹣1）＝0，即2m2+11m+9＝（2m+9）（m+1）＝0，解得m＝﹣1或m=-所以m＝﹣1或m=-故答案为：﹣1或-914．（5分）已知数列{an}满足a1＝2，an+1=an-1an+2【解答】解：求不动点，设f(x)=x-1x+2，令f（x）＝x得：x-1x+2=x，化简得：x2+x显然该方程无解，这种情况下{an}一般是周期不大的周期数列，我们只需算出前几项，找规律即可，由题意，a1＝2，所以a2=a1-1a1+2=14从而{an}是以6为周期的周期数列，故a2023＝a337×6+1＝a1＝2．故答案为：2．15．（5分）已知平面α的一个法向量n→=(-2，-2，1)，点A（﹣1，﹣3，0）在平面α内，若点B（m，0，2﹣m）在平面α内，则【解答】解：平面α的一个法向量n→=(-2，-2，1)，点A（﹣1，﹣点B（m，0，2﹣m）在平面α内，∴AB→=（m+1，3，2﹣∴AB→⋅n→=-2（m+1）﹣6+2∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．16．（5分）如图，已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF【解答】解：设△APF1的内切圆在边AF1，AP上的切点分别为M，N，则|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1Q|，|PQ|＝|PN|，又由△OAF1≅△OAF2，∴|AF1|＝|AF2|，∴|F1Q|＝|F1M|＝|F2N|＝|F2P|+|PN|＝|F2P|+|PQ|，∴|PF1|﹣|PF2|＝|F1Q|+|PQ|﹣|PF2|＝|F2P|+2|PQ|﹣|PF2|＝2|PQ|＝2，又|PF1|﹣|PF2|＝2a，则2a＝2，∴a＝1，又|F1F2|＝6，∴2c＝6，∴c＝3，∴双曲线的离心率e=c故答案为：3．四、解答题：本题共6小题，共70分．17．（10分）如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AB＝2，AA1＝4，∠DAB＝∠A1AB＝∠DAA1＝60°，A1N→=3NC1→，（1）试用a→，b→，c→表示AM（2）求MN的长度．【解答】（1）连接AM，AN，如图所示：∵A1N→=3NC1→，∴BD1→=BC→+BA→（2）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，AB＝2，AA1＝4，∠DAB＝∠A1AB＝∠DAA1＝60°，则a→又MN→∴(MN∴MN=|MN故MN的长度为3318．（12分）已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直．（1）求直线l的一般式方程；（2）若圆C的圆心为点（3，0），直线l被该圆所截得的弦长为22，求圆C【解答】解：（1）由题意知2x-y-∴直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点为（2，1）；设直线l的斜率为k，∵l与直线x+y﹣2＝0垂直，∴k＝1；∴直线l的方程为y﹣1＝（x﹣2），化为一般形式为x﹣y﹣1＝0；（2）设圆C的半径为r，则圆心为C（3，0）到直线l的距离为d=|3-0-1|由垂径定理得r2＝d2+（12|AB|）2＝（2）2+（12×22）2解得r＝2，∴圆C的标准方程为（x﹣3）2+y2＝4．19．（12分）已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝1．（1）若数列{an}为等差数列，S10＝70，求数列{an}的通项公式；（2）若数列{an}为等比数列，a4=18，求满足Sn＞100an时【解答】解：（1）数列{an}为公差为d的等差数列，S10＝70，a1＝1，可得10+12×10×9d＝70，解得则an＝1+43（n﹣1）=4（2）数列{an}为公比为q的等比数列，a4=18，a1＝可得q3=18，即q则an＝（12）n﹣1，Sn=1-(12)n1-1Sn＞100an，即为2﹣（12）n﹣1＞100•（12）n﹣即2n＞101，可得n≥7，即n的最小值为7．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=12CE＝1，M为棱A1B（Ⅰ）求证：C1M⊥B1D；（Ⅱ）求二面角B﹣B1E﹣D的正弦值；（Ⅲ）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．【解答】证明：（I）以C为原点，CA→，CB→，CC1则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，3），A1（2，0，3），B1（0，2，3），D（2，0，1），E（0，0，2），M（1，1，3），∴C1∴C1M→⋅B1D→=2-2+0=0解：（Ⅱ）依题意，CA→=(2，0，EB设n→=(x，y，z)为平面DB1不妨设x＝1，则n→∴cos〈∴sin〈∴二面角B﹣B1E﹣D的正弦值306（Ⅲ）依题意，AB→由（Ⅱ）知，n→=(1，-1，∴cos〈∴直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为3321．（12分）已