北京市西城区156中学2024届高三适应性月考（七）数学试题

北京市西城区156中学2024届高三适应性月考（七）数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列满足,(),则数列的通项公式()A． B． C． D．2．若复数满足，则（）A． B． C． D．3．抛物线的准线与轴的交点为点，过点作直线与抛物线交于、两点，使得是的中点，则直线的斜率为（）A． B． C．1 D．4．已知函数，，若对任意的总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（）A．1 B． C． D．5．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A．且 B．且 C．且 D．且6．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（）A．﹣21 B．﹣24 C．85 D．﹣857．若满足，且目标函数的最大值为2，则的最小值为()A．8 B．4 C． D．68．若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数在上单调递增 B．函数的周期是C．函数的图象关于点对称 D．函数在上最大值是19．设是虚数单位，复数（）A． B． C． D．10．二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A．180 B．90 C．45 D．36011．复数（为虚数单位），则等于（）A．3 B．C．2 D．12．函数（）的图象的大致形状是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，点P在直线上，过点P作圆C：的一条切线，切点为T.若，则的长是______.14．设，则“”是“”的__________条件.15．如图，已知圆内接四边形ABCD，其中，，，，则__________．16．如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．18．（12分）已知为坐标原点，单位圆与角终边的交点为，过作平行于轴的直线，设与终边所在直线的交点为，.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的值域.19．（12分）已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.（1）判断点是否在直线上？说明理由；（2）设点是△的外接圆的圆心，点到轴的距离为，点，求的最大值.20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数)，直线的参数方程(为参数)，若直线的交点为，当变化时，点的轨迹是曲线（1）求曲线的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线的极坐标方程为，，点为射线与曲线的交点，求点的极径.21．（12分）已知，函数的最小值为1．（1）证明：．（2）若恒成立，求实数的最大值．22．（10分）为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在市与市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为.（1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示：A市居民B市居民喜欢杨树300200喜欢木棉树250250是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；（2）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有个路口种植杨树，求的分布列以及数学期望；（3）在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为，求证：.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可．【题目详解】数列满足：，，可得以上各式相加可得：，故选：．【题目点拨】本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力．2、B【解题分析】

由题意得,,求解即可.【题目详解】因为,所以.故选:B.【题目点拨】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.3、B【解题分析】

设点、，设直线的方程为，由题意得出，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合可求得的值，由此可得出直线的斜率.【题目详解】由题意可知点，设点、，设直线的方程为，由于点是的中点，则，将直线的方程与抛物线的方程联立得，整理得，由韦达定理得，得，，解得，因此，直线的斜率为.故选：B.【题目点拨】本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.4、C【解题分析】

对任意的总有恒成立，因为，对恒成立，可得，令，可得，结合已知，即可求得答案.【题目详解】对任意的总有恒成立，对恒成立，令，可得令，得当，当，，故令，得当时，当，当时，故选：C.【题目点拨】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.5、B【解题分析】由且可得，故选B.6、D【解题分析】

由等比数列的性质求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可.【题目详解】设等比数列{an}的公比为q，∵a5＝16，a3a4＝﹣32，∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32，∴q＝﹣2，则，则，故选：D.【题目点拨】本题主要考查等比数列的前n项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题.7、A【解题分析】

作出可行域，由，可得.当直线过可行域内的点时，最大，可得.再由基本不等式可求的最小值.【题目详解】作出可行域，如图所示由，可得.平移直线，当直线过可行域内的点时，最大，即最大，最大值为2.解方程组，得..，当且仅当，即时，等号成立.的最小值为8.故选：.【题目点拨】本题考查简单的线性规划，考查基本不等式，属于中档题.8、A【解题分析】

根据三角函数伸缩变换特点可得到解析式；利用整体对应的方式可判断出在上单调递增，正确；关于点对称，错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，错误.【题目详解】将横坐标缩短到原来的得：当时，在上单调递增在上单调递增，正确；的最小正周期为：不是的周期，错误；当时，，关于点对称，错误；当时，此时没有最大值，错误.本题正确选项：【题目点拨】本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.9、D【解题分析】

利用复数的除法运算，化简复数，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，复数，故选D．【题目点拨】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10、A【解题分析】试题分析：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，，令，则，.考点：1.二项式定理；2.组合数的计算.11、D【解题分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求得，然后直接利用复数模的公式求解.【题目详解】，所以，，故选：D.【题目点拨】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.12、C【解题分析】

对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.【题目详解】故选C．【题目点拨】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

作出图像，设点，根据已知可得，，且，可解出，计算即得.【题目详解】如图，设，圆心坐标为，可得，，，，，解得，，即的长是.故答案为：【题目点拨】本题考查直线与圆的位置关系，以及求平面两点间的距离，运用了数形结合的思想.14、充分必要【解题分析】

根据充分条件和必要条件的定义可判断两者之间的条件关系.【题目详解】当时，有，故“”是“”的充分条件.当时，有，故“”是“”的必要条件.故“”是“”的充分必要条件，故答案为：充分必要.【题目点拨】本题考查充分必要条件的判断，可利用定义来判断，也可以根据两个条件构成命题及逆命题的真假来判断，还可以利用两个条件对应的集合的包含关系来判断，本题属于容易题.15、【解题分析】

由题意可知，，在和中，利用余弦定理建立方程求，同理求，求，代入求值.【题目详解】由圆内接四边形的性质可得,．连接BD，在中，有．在中，．所以,则，所以．连接AC，同理可得,所以．所以．故答案为：【题目点拨】本题考查余弦定理解三角形，同角三角函数基本关系，意在考查方程思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键是熟悉圆内接四边形的性质，对角互补.16、1【解题分析】

写出茎叶图对应的所有的数，去掉最高分，最低分，再求平均分．【题目详解】解：所有的数为：77，78，82，84，84，86，88，93，94，共9个数，去掉最高分，最低分，剩下78，82，84，84，86，88，93，共7个数，平均分为，故答案为1．【题目点拨】本题考查茎叶图及平均数的计算，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析；（2）详见解析.【解题分析】

（1）利用平行四边形的方法，证明平面.（2）通过证明平面，由此证得.【题目详解】（1）设是中点，连接，由于是中点，所以且，而且，所以与平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）连接，由于直三棱柱中，而，，所以平面，所以，由于,所以.由于四边形是矩形且，所以四边形是正方形，所以,由于,所以平面，所以.【题目点拨】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据题意，求得，，因而得出，利用降幂公式和二倍角的正弦公式化简函数，最后利用，求出的最小正周期；（2）由（1）得，再利用整体代入求出函数的值域.【题目详解】（1）因为，，所以，，所以函数的最小正周期为.（2）因为，所以，所以，故函数在区间上的值域为.【题目点拨】本题考查正弦型函数的周期和值域，运用到向量的坐标运算、降幂公式和二倍角的正弦公式，考查化简和计算能力.19、（1）不在，证明见详解；（2）【解题分析】

（1）假设直线方程，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算，可得，然后验证可得结果.（2）分别计算线段中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点的轨迹方程，然后可得焦点，结合抛物线定义可得，计算可得结果.【题目详解】（1）设直线方程，根据题意可知直线斜率一定存在，则则由所以将代入上式化简可得，所以则直线方程为，所以直线过定点，所以可知点不在直线上.（2）设线段的中点为线段的中点为则直线的斜率为，直线的斜率为可知线段的中垂线的方程为由，所以上式化简为即线段的中垂线的方程为同理可得：线段的中垂线的方程为则由（1）可知：所以即，所以点轨迹方程为焦点为，所以当三点共线时，有最大所以【题目点拨】本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处，第（2）问中关键在于得到点的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.20、（1）；（2）【解题分析】

（1）将两直线化为普通方程，消去参数，即可求出曲线的普通方程；（2）设Q点的直角坐标系坐标为,求出，代入曲线C可求解.【题目详解】（1）直线的普通方程为,直线的普通方程为联立直线,方程消去参数k,得曲线C的普通方程为整理得.（2）设Q点的直角坐标系坐标为,由可得代入曲线C的方程可得，解得（舍），所以点的极径为.【题目点拨】本题主要考查了直线的参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，极径的求法，属于中档题.21、（1）2；（2）【解题分析】分析：（1）将转化为分段函数，求函数的最小值（2）分离参