福建省泉港一中2024届高三寒假延长作业数学试题

福建省泉港一中2024届高三寒假延长作业数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为F，右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．2．已知函数，若方程恰有两个不同实根，则正数m的取值范围为（）A． B．C． D．3．已知函数，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知公差不为0的等差数列的前项的和为，，且成等比数列，则（）A．56 B．72 C．88 D．405．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．46．已知函数，则下列结论错误的是()A．函数的最小正周期为πB．函数的图象关于点对称C．函数在上单调递增D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A． B．1 C． D．8．已知数列的前n项和为，，且对于任意，满足，则（）A． B． C． D．9．已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是A． B．C． D．10．若，，则的值为（）A． B． C． D．11．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A．48 B．72 C．90 D．9612．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．根据如图的算法，输出的结果是_________.14．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，若，，则________.15．展开式中的系数为_________.16．在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知矩阵不存在逆矩阵，且非零特低值对应的一个特征向量，求的值.18．（12分）已知函数的导函数的两个零点为和．（1）求的单调区间；（2）若的极小值为，求在区间上的最大值．19．（12分）已知函数（1）求函数在处的切线方程（2）设函数，对于任意，恒成立，求的取值范围.20．（12分）已知不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）已知存在实数使得恒成立，求实数的最大值.21．（12分）如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，.（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.22．（10分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．（）求与平面所成角的正弦．（）求二面角的余弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由题意,根据双曲线的对称性知在轴上，设，则由得：，因为到直线的距离小于，所以，即，所以双曲线渐近线斜率，故选A．2、D【解题分析】

当时，函数周期为，画出函数图像，如图所示，方程两个不同实根，即函数和有图像两个交点，计算，，根据图像得到答案.【题目详解】当时，，故函数周期为，画出函数图像，如图所示：方程，即，即函数和有两个交点.，，故，，，，.根据图像知：.故选：.【题目点拨】本题考查了函数的零点问题，确定函数周期画出函数图像是解题的关键.3、B【解题分析】

对分类讨论，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【题目详解】函数，由得或解得.故选:B.【题目点拨】本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题.4、B【解题分析】

，将代入，求得公差d，再利用等差数列的前n项和公式计算即可.【题目详解】由已知，，，故，解得或（舍），故，.故选：B.【题目点拨】本题考查等差数列的前n项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.5、A【解题分析】

由倾斜角的余弦值，求出正切值，即的关系，求出双曲线的离心率.【题目详解】解：设双曲线的半个焦距为，由题意又，则，，，所以离心率，故选：A.【题目点拨】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题6、D【解题分析】

由可判断选项A；当时，可判断选项B；利用整体换元法可判断选项C；可判断选项D.【题目详解】由题知，最小正周期，所以A正确；当时，，所以B正确；当时，，所以C正确；由的图象向左平移个单位，得，所以D错误.故选：D.【题目点拨】本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题.7、C【解题分析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积．故选.8、D【解题分析】

利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可．【题目详解】当时，．所以数列从第2项起为等差数列，，所以，，．，，．故选：．【题目点拨】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．9、D【解题分析】

先由是偶函数，得到关于直线对称；进而得出单调性，再分别讨论和，即可求出结果.【题目详解】因为是偶函数，所以关于直线对称；因此，由得；又在上单调递减，则在上单调递增；所以，当即时，由得，所以，解得；当即时，由得，所以，解得；因此，的解集是.【题目点拨】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.10、A【解题分析】

取，得到，取，则，计算得到答案.【题目详解】取，得到；取，则.故.故选：.【题目点拨】本题考查了二项式定理的应用，取和是解题的关键.11、D【解题分析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有•=72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．12、C【解题分析】

由题意，可根据向量运算法则得到（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.【题目详解】由题意及图，，又，，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故选C．【题目点拨】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、55【解题分析】

根据该For语句的功能，可得，可得结果【题目详解】根据该For语句的功能，可得则故答案为：55【题目点拨】本题考查For语句的功能，属基础题.14、127【解题分析】

已知条件化简可化为,等式两边同时除以，则有，通过求解方程可解得,即证得数列为等比数列,根据已知即可解得所求.【题目详解】由..故答案为:.【题目点拨】本题考查通过递推公式证明数列为等比数列,考查了等比的求和公式,考查学生分析问题的能力,难度较易.15、【解题分析】

变换，根据二项式定理计算得到答案.【题目详解】的展开式的通项为：，，取和，计算得到系数为：.故答案为：.【题目点拨】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.16、【解题分析】

代入求解得,再求准线方程即可.【题目详解】解：双曲线经过点,,解得,即．又,故该双曲线的准线方程为：．故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了双曲线的准线方程求解,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】

由不存在逆矩阵，可得，再利用特征多项式求出特征值3，0，，利用矩阵乘法运算即可.【题目详解】因为不存在逆矩阵，，所以.矩阵的特征多项式为，令，则或，所以，即，所以，所以【题目点拨】本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题，考查学生的运算能力，是一道容易题.18、（1）单调递增区间是，单调递减区间是和；（2）最大值是．【解题分析】

（1）求得，由题意可知和是函数的两个零点，根据函数的符号变化可得出的符号变化，进而可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）由（1）中的结论知，函数的极小值为，进而得出，解出、、的值，然后利用导数可求得函数在区间上的最大值.【题目详解】（1），令，因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同．又因为，所以当时，，即；当或时，，即.所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和；（2）由（1）知，是的极小值点，所以有，解得，，，所以．因为函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.所以为函数的极大值，故在区间上的最大值取和中的最大者，而，所以函数在区间上的最大值是．【题目点拨】本题考查利用导数求函数的单调区间与最值，考查计算能力，属于中等题.19、（1）；（2）【解题分析】

（1）求出，即可求出切线的点斜式方程，整理即可；（2）的取值范围满足，，求出，当时求出，的解，得到单调区间，极小值最小值即可.【题目详解】（1）由于，此时切点坐标为所以切线方程为.（2）由已知，故.由于，故，设由于在单调递增同时时，，时，，故存在使得且当时，当时，所以当时，当时，所以当时，取得极小值，也是最小值，故由于，所以，.【题目点拨】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题，应用导数求最值是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20、（1）；（2）4【解题分析】

（1）分类讨论，求解x的范围，取并集，得到绝对值不等式的解集，即得解；（2）转化原不等式为：，利用均值不等式即得解.【题目详解】（1）当时不等式可化为当时，不等式可化为；当时，不等式可化为；综上不等式的解集为.（2）由（1）有，，，，即而当且仅当：，即，即时等号成立∴，综上实数最大值为4.【题目点拨】本题考查了绝对值不等式的求解与不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.21、（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）取的中点为，连结，易证四边形为平行四边形，即，由于，为的中点，可得到，从而得到，即可证明平面，从而得到；（Ⅱ）易证，，两两垂直，以，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，设与平面所成角为，则，即可得到答案．【题目详解】解：（Ⅰ）取的中点为，连结.由是三棱台得，平面平面，从而.∵，∴，∴四边形为平行四边形，∴.∵，为的中点，∴，∴.∵平面平面，且交线为，平面，∴平面，而平面，∴.（Ⅱ）连结.由是正三角形，且为中点，则.由（Ⅰ）知，平面，，∴，，∴，，两两垂直.以，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，，∴，，.设平面的一个法向量为.由可得，.令，则，，∴.设与平面所成角为，则.【题目点拨】本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题．22、(1).(2).【解题分析】分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）先分