广东省深圳市福田区耀华实验学校2024届高三高考模拟卷（二）数学试题

广东省深圳市福田区耀华实验学校2024届高三高考模拟卷（二）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，将集合的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列，则（）A．1194 B．1695 C．311 D．10952．已知，，，则（）A． B．C． D．3．在中，为中点，且，若，则（）A． B． C． D．4．已知集合，则元素个数为()A．1 B．2 C．3 D．45．已知双曲线(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（）A． B．(1,2), C． D．6．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，若点，则的最小值为（）A． B． C． D．7．设，且，则（）A． B． C． D．8．复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．双曲线x26-y23=1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝A．3 B．2C．3 D．610．若执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A． B． C． D．411．已知定义在上的函数满足，且当时，，则方程的最小实根的值为（）A． B． C． D．12．抛物线的焦点为，点是上一点，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为______.14．将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则________．15．已知实数满足（为虚数单位），则的值为_______.16．已知，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是圆：的直径，动圆过，两点，且与直线相切.（1）若直线的方程为，求的方程；（2）在轴上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恰好与轴相切？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.18．（12分）选修4-5：不等式选讲设函数f(x)=|x-a|,a<0．（1）证明:f(x)+f(-1（2）若不等式f(x)+f(2x)<12的解集非空，求19．（12分）已知椭圆（）的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.20．（12分）已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.（1）求实数的值及函数的单调区间；（2）设函数，证明时，.21．（12分）如图，在直角中，，，，点在线段上.（1）若，求的长；（2）点是线段上一点，，且，求的值.22．（10分）如图，点是以为直径的圆上异于、的一点，直角梯形所在平面与圆所在平面垂直，且，.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

确定中前35项里两个数列中的项数，数列中第35项为70，这时可通过比较确定中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和．【题目详解】时，，所以数列的前35项和中，有三项3，9，27，有32项，所以．故选：D．【题目点拨】本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前项和公式是解题基础．解题关键是确定数列的前35项中有多少项是中的，又有多少项是中的．2、C【解题分析】

利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.【题目详解】，所以，即.故选:C.【题目点拨】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.3、B【解题分析】

选取向量，为基底，由向量线性运算，求出，即可求得结果.【题目详解】，，，，，.故选：B.【题目点拨】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.4、B【解题分析】

作出两集合所表示的点的图象，可得选项.【题目详解】由题意得，集合A表示以原点为圆心，以2为半径的圆，集合B表示函数的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A和点B，所以两个集合有两个公共元素，所以元素个数为2，故选：B.【题目点拨】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.5、A【解题分析】

若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【题目详解】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，，离心率，，故选：．【题目点拨】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．6、B【解题分析】

通过抛物线的定义，转化，要使有最小值，只需最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．【题目详解】解：由题意可知，抛物线的准线方程为，，过作垂直直线于，由抛物线的定义可知，连结，当是抛物线的切线时，有最小值，则最大，即最大，就是直线的斜率最大，设在的方程为：，所以，解得：，所以，解得，所以，．故选：．【题目点拨】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题．7、C【解题分析】

将等式变形后，利用二次根式的性质判断出，即可求出的范围.【题目详解】即故选：C【题目点拨】此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据的关系即可求解，属于简单题目.8、A【解题分析】

试题分析：由题意可得：.共轭复数为，故选A.考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系9、A【解题分析】

由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.【题目详解】双曲线的渐近线方程为y＝±22x，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r＝±答案：A【题目点拨】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.10、D【解题分析】

模拟程序运行，观察变量值的变化，得出的变化以4为周期出现，由此可得结论．【题目详解】；如此循环下去，当时，，此时不满足，循环结束，输出的值是4.故选：D．【题目点拨】本题考查程序框图，考查循环结构．解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论．11、C【解题分析】

先确定解析式求出的函数值，然后判断出方程的最小实根的范围结合此时的，通过计算即可得到答案.【题目详解】当时，，所以，故当时，，所以，而，所以，又当时，的极大值为1，所以当时，的极大值为，设方程的最小实根为，，则，即，此时令，得，所以最小实根为411.故选：C.【题目点拨】本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题.12、B【解题分析】

根据抛物线定义得，即可解得结果.【题目详解】因为，所以.故选B【题目点拨】本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解题分析】

根据为等边三角形建立的关系式，从而可求离心率.【题目详解】据题设分析知，，所以，得，所以双曲线的离心率.【题目点拨】本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据条件建立之间的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.14、【解题分析】

根据平移后关于轴对称可知关于对称，进而利用特殊值构造方程，从而求得结果.【题目详解】向左平移个单位长度后得到偶函数图象，即关于轴对称关于对称即：本题正确结果：【题目点拨】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.15、【解题分析】

由虚数单位的性质结合复数相等的条件列式求得，的值，则答案可求．【题目详解】解：由，，，所以，得，．．故答案为：．【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位的性质，属于基础题．16、【解题分析】解：由题意可知：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或.（2）存在，；【解题分析】

（1）根据动圆过，两点，可得圆心在的垂直平分线上，由直线的方程为，可知在直线上；设，由动圆与直线相切可得动圆的半径为；又由，及垂径定理即可确定的值，进而确定圆的方程.（2）方法一：设，可得圆的半径为，根据，可得方程为并化简可得的轨迹方程为.设，，可得的中点，进而由两点间距离公式表示出半径，表示出到轴的距离，代入化简即可求得的值，进而确定所过定点的坐标；方法二：同上可得的轨迹方程为，由抛物线定义可求得，表示出线段的中点的坐标，根据到轴的距离可得等量关系，进而确定所过定点的坐标.【题目详解】（1）因为过点，，所以圆心在的垂直平分线上.由已知的方程为，且，关于于坐标原点对称，所以在直线上，故可设.因为与直线相切，所以的半径为.由已知得，，又，故可得，解得或.故的半径或，所以的方程为或.（2）法一：设，由已知得的半径为，.由于，故可得，化简得的轨迹方程为.设，，则得，的中点，则以为直径的圆的半径为：，到轴的距离为，令，①化简得，即，故当时，①式恒成立.所以存在定点，使得以为直径的圆与轴相切.法二：设，由已知得的半径为，.由于，故可得，化简得的轨迹方程为.设，因为抛物线的焦点坐标为，点在抛物线上，所以，线段的中点的坐标为，则到轴的距离为，而，故以为径的圆与轴切，所以当点与重合时，符合题意，所以存在定点，使得以为直径的圆与轴相切.【题目点拨】本题考查了圆的标准方程求法，动点轨迹方程的求法，抛物线定义及定点问题的解法综合应用，属于难题.18、(1)见解析.(1)(-1,0).【解题分析】试题分析：（1）直接计算f(x)+f(-1（1）f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|，分区间讨论去绝对值符号分别解不等式即可.试题解析：（1）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜2，则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|=|x+|=|x|+≥1=1．（1）f（x）+f（1x）=|x﹣a|+|1x﹣a|，a＜2．当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣1x=1a﹣3x，则f（x）≥﹣a；当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣1x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；当x时，f（x）=x﹣a+1x﹣a=3x﹣1a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为[﹣，+∞）.不等式f（x）+f（1x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜2，则a的取值范围是(-1,0)．考点：1.含绝对值不等式的证明与解法.1.基本不等式.19、(1)(2)见解析【解题分析】

（1）由题得a,b,c的方程组求解即可（2）直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数，即，整理.设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可.【题目详解】(1)由题意可得，，又，解得，.所以，椭圆的方程为(2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.设，，定点.(依题意则由韦达定理可得，，.直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数.所以，，即得.又，，所以，，整理得，.从而可得，，即，所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立.特别地，当直线为轴时，也符合题意.综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.【题目点拨】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.20、(1);函数的单调递减区间为，单调递增区间为;(2)详见解析.【解题分析】

试题分析：（1）由题得，根据曲线在点处的切线方程，列出方程组，求得的值，得到的解析式，即可求解函数的单调区间；（2）由（1）得根据由，整理得，设，转化为函数的最值，即可作出证明.试题解析：（1）由题得，函数的定义域为，，因为曲线在点处的切线方程为，所以解得.令，得，当时，，在区间内单调递减；当时，，在区间内单调递增.所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由（1）得，.由，得，即.要证，需证，即证，设，则要证，等价于证：.令，则，∴在区间内单调递增，,即，故.21、（1）3；（2）.【解题分析】

（1）在中，利用正弦定理即可得到答案；（2）由可得，在中，利用及余弦定理得，解方程组即可.【题目详解】（1）在中，已知，，，由正弦定理，得，解得.（2）因为，所以，解得.在中，由余弦定理得，，即，，故.【题目点拨】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算能力，是一道中档题.