八省市2021届高三新高考统一适应性考试热身模拟数学试题(二)（试卷+答案+详解）

江苏、福建、广东、河北、辽宁、湖北、湖南、重庆等八省市2021届高三新高考统一适应性考试

数学试题

考试时间：120分钟

一、单选题(共40分)

1.已知全集(/=区，A={X|X2-2X<0},B={x|x>l},则AM)=<)

A.B.{x|x<l}C.{x|x<2}D.{x[0<x<l}

2.设”=3一5,b=log,0.2,c=log,3,则()

A.a>h>cB.c>h>aC.a>c>hD.c>a>h

2A/6(A\V10□c37r八q3万

3.已知sin。二-----，cos(o且0<a<—,0vv—9则sin尸=()

7、44

9后D.叵

A.B.

35353535

4.已知直线/与曲线〃x）=e*和g（x）=lnx分别相切于点A（%，x）,8（々,%）.有以下命题：（1）

NAQB>90°（。为原点）；（2）司（3）当为<0时，々一%>2（、历+1）.则真命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

5.琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、填、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中

国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器''知识讲座，共连续安

排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐

器互不相邻的概率为（）

1171

A.---B.-C.—D.—

36061515

6.《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处

是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABD4'

是铅垂面，下宽AA=3m,上宽8D=4m，深3m,平面BQEC是水平面，末端宽CE=5m,无深，长

6m（直线CE到8D的距离），则该羡除的体积为（）

E

A.24m3B.30m3C.36m3D.42m3

22

7.已知耳，入分别是椭圆5r+当v=l（a＞人〉o）的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），若

a~b

存在以乎。为半径的圆内切于△「£工,则椭圆的离心率的取值范围是（）

iiV2I（1V2Irv2「

I3」I3j133_|L3）

8.2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID-19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很

快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大.武

汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新

冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四

类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为''与确诊患者的密

切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该

家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为，且相互独立，该家庭至少

检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为/（p）,当夕=20时，/（P）最大，则为=（）

A.I一旦B.—C.—D.1--

3323

二、多选题（共20分）

9.甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲罐中随机取

出一球放入乙罐，分别以4，4和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取

出一球，以M表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（）

A.P（"）=gB.P（M|A）=4

C.事件”与事件4不相互独立D.4，4，4是两两互斥的事件

10.定义空间两个向量一种运算。3。=同・卜卜皿卜,。），则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立

的有（）

A.=

B.a®b=b®a

C.（a+b）（8）c=（a®c）+（>（8）c）

D.若a=（%,y）,b=（w，%）,则=|石豆一

3

11.已知等比数列｛叫的公比为4,前〃项和S.>0,设〃,=%+2一］。用，记也｝的前"项和为7“，则下

列判断正确的是（）

A.若4=1,则］=S,B.若q>2,则7；>S.

13

C.若4=—，则（>S“D.若</=—，则（>S“

44

12.关于函数/（x）=ae*-cosx,xe（-兀,兀）下列说法正确是（）

A.当。=1时，/（x）在x=o处的切线方程为y=x

B.若函数/（%）在（一兀，兀）上恰有一个极值，则a=0

C.对任意a>0,“X）20恒成立

D.当”=1时，/（x）在（一兀,兀）上恰有2个零点

三、填空题（共20分）

13.若（2+%）"=/+q（1+%）+4（1+%）-+…+"［7（1+"）"，则％+q+a,+%+…+。|6="

14.已知ABC的外心为O,AO-8C=3BO-AC+4CO-BA,则cos3的取值范围是.

15.《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开,

得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖腌（四个面均为直角三角形

的四面体）.在如图所示的堑堵A8C-AgG中，84=3。=26,48=2,4。=4,且有鳖腌。工8小和

鳖腌q-A8C,现将鳖席G—45C沿线BG翻折，使点C与点S重合，则鳖腌G-ABC经翻折后，与

鳖腌C,-A8片拼接成的几何体的外接球的表面积是.

16.对于正整数小设是关于X的方程4—log“+/"="2+3”的实数根.记4=/,其中国表示不

超过X的最大整数，则«,=；设数列｛《,｝的前〃项和为S,,则=—.

四、解答题（共70分）

2

17.已知数列｛叫的前〃项和为S“，且s,=2u，数列也｝满足：a“=log2%

⑴求数列｛《,｝,也｝通项公式;

--------，勿为奇数

+2）

(2)设c“=<T”为数列｛qj的前几项和，求

-,?〃为偶数

b“

1-2cos-x+1

18.已如函数/(%)=26sin(兀一%)sin~+JC

（1）求函数/（X）的单调递增区间；

（2）在锐角43C中，内角A,B,C对边分别为a,h,c,已知/（A）=2,。=2,求A3c面积的

最大值.

19.第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用

球MIKSA-V200W，已知这种球的质量指标4（单位:g）服从正态分布N（270,52）.比赛赛制采取单循环方式,

即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1

取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗

塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p（0<p<l）.

（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在（260,265］内的排球个数（计算结果取整数）.

(2)第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为/(p).

(i)求出加)的最大值点P。；

(ii)若以P。作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X,求X的分布列.

参考数据：7~M"，cr2),则户0.6826,p(/i-2a<X</z+2<7)=0.9644.

20.如图1，矩形ABCD中，2AB=3C,将矩形A3C£>折起，使点A与点。重合，折痕为M，连接A/、

CE,以AE和族为折痕，将四边形A8EE折起，使点8落在线段尸C上，将△CDE向上折起，使平面

OEC，平面FEC,如图2.

(1)证明：平面4组平面EFC；

(2)连接BE、BD，求锐二面角A—BE-O的正弦值.

22

21.已知椭圆C.二+々=1(。>。>0)与抛物线r：y2=2px(〃>0)共焦点，以椭圆的上下顶点M、

a2b2

N和左右焦点为、色所围成的四边形的面积为8,经过尸2的直线交抛物线于A、B,交椭圆于C、

(1)求出桶圆和抛物线标准方程；

(2)若点。在第三象限，且点A在点B上方,点C在点，上方，当面积取得最大值S时,求F2Ft-F2B

的值.

22.已知函数/(X)=xe'(xeR),其中e为自然对数的底数.

(1)当x>l时，证明：/(x-l)-(l-x)lnx>2x2-3x+l；

(2)设实数占，以%ww)是函数g(x)=/(x)—g“x+l)2的两个零点，求实数。的取值范围.

江苏、福建、广东、河北、辽宁、湖北、湖南、重庆等八省市2021届高三新高考统一适应性考试

数学试题(二)

考试时间：120分钟

一、单选题(共40分)

1.已知全集〃=11,A={x|f-2x<0},5={%|x>l},则A&B)=()

A.{x|x>0}B.{x|x<l}C.{x|x<2}D.{x[O<x<l}

【答案】C

【分析】解出集合A中的不等式，然后可得答案.

【详解】因为A={x|x2-2x<0}={x[0<x<2},8={x|xNl}

所以亳,8={小<1},所以A@8)={也<2}

故选：C

2.设a=3",^=log30.2,c=log,3,则()

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b

【答案】D

【分析】利用对应指对数函数性质即可判断“，b,。的范围，即可知它们的大小关系.

【详解】由y=3,的性质知：0<。<1,

由y=k)g3X的性质知：b<0,

由y=log2X的性质知：c>l,所以c>a>0.故选：D

276cos(a-/)=^^,且0<a<当，37r

3.已知sina=------，0</?<—,则sin/?=()

7v7544

D.包

A.皿RiiVio「Vis

35353535

【答案】A

【分析】易知sin4=sin(a-(a-p)),利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosa和sin(a-A),

分别在sin(a-〃)=姮和-半两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin£,结合〃的范围可确定

最终结果.

【详解】sina=越＜也且0＜a〈红，.•.0＜。＜2，/.cos«=Vl-sin2«=-.

72447

又0＜用(,，；.一弓＜a一4＜£,.1.sin(a-/?)=±^1-cos2(«-/?)=±.

当sin(a一,)=/^时，

sin/?=sin(a-(a-4))=sinacos(a-/7)-cosasin(a-7?)=,

0＜夕＜9，.Fin/?〉。，.七如夕=一巫不合题意，舍去；

435

当sin(0-/7)=-巫，同理可求得sin£=2姮，符合题意.

综上所述：$缶/7=生叵.故选：A.

35

【点睛】易错点睛：本题中求解cosa时，易忽略sina的值所确定的夕的更小的范围，从而误认为cosa的

取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.

4.已知直线/与曲线/(x)="和g(x)=lnx分别相切于点4(石,%)，8(口%卜有以下命题:⑴

NAOB>90°(。为原点)；(2)为G(-1,1);⑶当玉<0时，々一%>2(后+1b则真命题的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】先利用导数求斜率得到直线/的方程，可得出J尤2，分类讨论司的符号，计算化

x

e'(1-X|)=lnx2—1

，1

e]=—

简。△・。5二王卜-小--)并判断其符号即得命题①正确；由，&结合指数与对数的互

X]

e(1-Xj)=lnx2-1

化，得到即得占的范围，得命题②错误；构造函数月(%)=△--「，研究其零点

X,-1%—1

%)el再构造函数入。)=",一》并研究其范围，即得到々一玉=e』一司>20+2,得到命题

③正确.

【详解】r(x)=—,所以直线/的斜率匕=e3直线/的方程为1一d=N'(x-,),

即>="x+(l—X)e”,同理根据g(x)=lnx可知，直线/的方程为y=」-x+(ln/T),故

<x2，得％=In—=—Inx2.

x

e'(1-Xj)=Inx2-1

命题①中，若玉=0,由可得％=1，此时等式/(1—%)=ln9—1不成立，矛盾;

xixx1x

尤1/0时，OAOB=xix2+yxy2=xle~+e'-(-x1)=x1^e~-e'),因此，

若王<0,则一王>0>3，有ef-e*>0，此:时。4-O5<0；

若芯>0,则一X|<0<X|,有"*'一6为<0，此时。4-。8<0.

所以根据数量积定义知，cosNAOB<0,即NAOB>90,故①正确;

e'=—InX-)—1—x}—1X+1

命题②中,由彳々得炉"=7彳=》>°,得玉<一1或%>1,故②错

x

e'(1-%,)=111%2-1

误;

命题③中，因为马一西=e"他一芭=e-*'—七,由②知，e*=玉<-1或X]>1,

x+12

故当当<0时，即玉<-1,设/(九)=/'-则九'(X)=e$+(x_]y>0,故

尸(x)在(一8,—1)是增函数，而/(-2)=e-2_g<o,尸(_|]=(>0,故F(X)N*-甘-0的

根龙।e1-2,-"I),因为%一％="为一天，故构造函数〃(x)=e-*-x,xe^-2,--|^j,则

/ir(x)=-e-x-l<0,故〃(x)在1—2,-上单调递减，所以

/Q\34Q

/J(X)=e~x-x>g-1-J=e2+1>5+->272+2,故/一%>2(夜+1),故③正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了利用导数几何意义求曲线的切线，考查了利用函数的单调性研究函数的零点问题，属

于函数的综合应用题，属于难题.

5.琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、填、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中

国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器''知识讲座，共连续安

排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐

器互不相邻的概率为（）

1171

A.-----B.-C.—D.—

36061515

【答案】B

【分析】先求出全部的结果总数为A2，再求出琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的基本

事件总数为反耳，再利用古典概型的概率求解.

【详解】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器

中挑五种全排列，有8种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐

器，有可种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为可用.

所以所求的概率=故选：B.

Ao6

【点睛】方法点睛：排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特

殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.

6.《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处

是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法,在如图所示的羡除中，平面ABDA

是铅垂面，下宽A4'=3m,上宽5D=4m，深3m,平面BOEC是水平面，末端宽CE=5m,无深，长

6m（直线CE到8。的距离），则该羡除的体积为（）

A.24m3B.30m③C.36m3D.42m3

【答案】C

【分析】在BD,CF上分别取点B',C,使得BB'=CC=3m,连接A'B',AC',BC',把几何体

分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算.

【详解】如图，在80，CF上分别取点B'，C，使得BB'=CC'=3m,连接A®,A'C,BC,则

三棱柱A36'A」是斜三棱柱，该羡除的体积V=V棱在AB-C%+VKW

八B，D=(g欠s]^+V226,3k笄.故选：C.

【点睛】思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不

规则儿何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算.考查了空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能

力.

22

7.已知耳，居分别是椭圆］+4=1（4>匕>0）的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），若

a~b

存在以4C为半径的圆内切于与工，则椭圆的离心率的取值范围是（）

【答案】A

【分析】根据三角形的面积关系，可得g（2a+2c）也c=g2c|yj，再根据I外区人可得关于“，c的不等

式，从而可求得离心率的取值范围.

【详解】的面积关系可得：g（2a+2c）*c=g2cly/，

/.（a+c）c=y/2c^y^<>/2bc,（a+c）<y/2b,

22

（«+c）<2b,则0W〃一2ac_3c2,

(a+c)(a-3c)20,a>3c,0<e4§.故选：A.

【点睛】本题考查椭圆的定义运用、三角形内切圆、椭圆的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思

想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意不等关系的建立.

8.2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎(COVID-19)疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很

快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大.武

汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新

冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四

类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密

切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家

庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为P)且相互独立，该家庭至少检

测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为/(p),当。=〃0时，/(p)最大，则p0=()

A.B.旦C.-D.1—3

3323

【答案】A

【分析】根据题意分别求出事件A：检测5个人确定为“感染高危户”发生的概率和事件B：检测6个人确

定为“感染高危户”发生的概率,即可得出了(P)的表达式，再根据基本不等式即可求出.

【详解】设事件A：检测5个人确定“感染高危户”，

事件B：检测6个人确定为“感染高危户”，

==“)5.

即/(〃)=〃(1-〃),+〃(1-〃)5=〃(2-〃)(1-〃)4

4

设X=1-P〉0,则g(x)=/(/?)=(1-X)(1+%)X=(1一%2卜4

/.g(x)=(l-x2)x4=lx[(2-2x2)xx2xx2]<lxQ"}='

当且仅当2—2尤2即x=45时取等号，即p=p1一逅.故选：A.

3°3

【点睛】本题主要考查概率的计算，涉及相互独立事件同时发生的概率公式的应用，互斥事件概率加法公式的

应用，以及基本不等式的应用，解题关键是对题意的理解和事件的分解，意在考查学生的数学运算能力和数学

建模能力,属于较难题.

二、多选题(共20分)

9.甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球：乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲罐中随机取

出一球放入乙罐，分别以A，4和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取

出一球，以M表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（）

A.P（M）=；B.尸W|A）=\

c.事件M与事件A不相互独立D.4，为，4是两两互斥的事件

【答案】BCD

【分析】根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析四个选项的真假，可得答案.

【详解】解：甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球.

先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A、4和4表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件;

再从乙罐中随机取出一球，以M表示由乙罐取出的球是红球的事件,

.463535541

对A,P(M)=-x一+—x—+—x一=——声一，故A错误;

1011101110111102

_4_x__6

对B,2也4）=噜?=改严=白，故B正确；

P（A）411

10

对C,当A发生时，尸（M）=A，当A不发生时，P（M）=（,.•.事件M与事件4不相互独立，故C

正确;

对D,4，4，A3不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正确；故选：BCD.

【点睛】本题考查概率的基本概念及条件概率，互斥事件概率加法公式，考查运算求解能力.

10.定义空间两个向量的一种运算a③。=问・卜卜皿（。力），则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立

的有（）

A.=③b

B.a®h=h®a

C.+=（a®）c）+（〃③c）

D.若a=（xpy）,Z?=（^,y2）,则=人必_々丁|

【答案】BD

【分析】对于A,B,只需根据定义列出左边和右边的式子即可，对于C,当〃=历时，

(a+b)(8)c=(1+/1)1,dsintAc)，

(a丑(?)+伍<3>£?)=上耳卜曲卜,0)+忖.卜卜也9,0)=(1+到司.卜曲(。,0),显然不会恒成立,对于D,

根据数量积求出cos。乃)，再由平方关系求出sin(a乃)的值，代入定义进行化简验证即可.

【详解】解：对于A：2(a<S)b)=2M.1卜由但勒,(2a)®>=冈|。卜|卜皿。力),

故4(a<8)b)=(/la)<8)b不会恒成立；

对于8,a③8=班上卜由(4,。>,b<8)a=W-同sin0,a),故a®b=b®a恒成立;

对于C,若a=hb，且九>0,(a+0)<8)c=(l+X)卜Hdsin(b,c),

(a®c)+^®cj=|/l£>|-|c|sin^,c^+|/?|-|c|sin^,c^=(l+2)|z?|-|c|sin^,c^,

显然(a+b)®c=(a®c)+(。③c)不会恒成立；

/、2

对于6"，Si《小

即有展仁业“1饰T叫小2_产滑］

=Jx；+y；Jx；+£_笄-/粤

\IAW+XJ

=J(x；+才)(考+y；)-(芯々+x%『=Jx：y；+x；y；-2X|X2xy2

则a®b=|x1y2一人%|恒成立•故选:BD.

【点睛】本题考查向量的新定义，理解运算法则正确计算是解题的关键，属于较难题.

H.已知等比数列｛叫的公比为q,前〃项和s,>o,设d=%+2—5。“+1，记也｝的前〃项和为北，则下

列判断正确的是()

A.若q=l,则］=S.B.若g>2,则7；>S.

13

C.若夕=—，则(>S〃D.若q=—，则Tn>Sn

44

【答案】BD

【分析】先求得夕的取值范围，根据0的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出7；和S“的大小关系.

【详解】由于｛%｝是等比数列，5„>0,所以q=，>O,gHO,

当q=l时，S“=〃q>0,符合题意；

M

,\-q"八fl-«>0,-/<0-,

当qwl时，S=\"二〉0,即丁乂->0,上式等价于'①或"②.解②得。>1.

"\-q\-q[l-q>0

解①，由于"可能是奇数，也可能是偶数，所以qe(-1,0)(0,1).

综上所述，9的取值范围是(一1,0)(0,4w).

2=%+2-1+1=/,一|4),所以雹=卜_|。卜“，所以

I,一S“=S"(/—'-l)=S“｛q+g1(q—2),而S,>0,且qe(-l,0)50,+oo).

所以，当—l<q<—！，或夕>2时，7；,-5„>0,即7；>S,,故BD选项正确，C选项错误

当—!<4<2(4工0)时，Tn-Slt<0,即7；<S".

当4=—：或4=2时，T“-S“=0,T“=S”,A选项错误.

综上所述，正确的选项为BD.故选：BD

【点睛】本小题主要考查等比数列的前〃项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想

方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

12.关于函数/(x)=ae*—cosx,%€(-兀,兀)下列说法正确的是()

A.当。=1时，/(x)在x=0处的切线方程为y=x

B.若函数/(x)在(-兀,兀)上恰有一个极值，则a=0

C.对任意a>0,/("NO恒成立

D.当a=l时，/(力在(—兀,兀)上恰有2个零点

【答案】ABD

【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A选项；利用分离参数法，构造

新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC选项；通过构造新函数，转化为两函数的

交点个数来解决零点个数问题，即可判断D选项.

【详解】解:对于A,当4=1时，f(x)=ex-COSX,XG(-7l,7l),

所以〃0)=e°—cos0=0,故切点为(0,0),

则r(x)=e'+sinx,所以/'⑼=e°+sin0=l,故切线斜率为1,

所以/(%)在x=0处的切线方程为：y—0=lx(x—0),即卜=》，故A正确；

对于B,/(x)=aex—cosx,XG(-71,71),则/'(x)=ae、+sinx,

若函数/(x)在(-兀，兀)上恰有一个极值，即/'(x)=0在(-兀，兀)上恰有一个解，

令r(x)=0,即ae'+sinX=0在(一兀,兀)上恰有一个解,

则a=s?"在(_兀,兀)上恰有一个解,

即y与8(力=二岁的图象在(一私兀)上恰有一个交点，

，/、sinx-cosx/、

g(%)=---------，XG(-7U,7l),

令g'(x)=。，解得：X\=~~^~f%2=(，

当xe卜肛一"时，g'(x)>0,当xe(一年，时，g'(x)<0，

；.g(x)在卜肛-弓)上单调递增，在(一弓,?)上单调递减，在件,万)上单调递增,

yflV2

所以极大值为g(一四)=名>o,极小值为g(七)=<Q,

而g(f)=o,g(»)=o,g(o)=o,

作出g(x)=H^,xe(一兀，兀)的大致图象，如下：

由图可知，当a=0时，>=a与g（x）=：7一的图象在（一兀，兀）上恰有一个交点,

即函数/（x）在（一兀,兀）上恰有一个极值，则a=0,故B正确；

对于C,要使得7（x）20恒成立，

即在xe（-7l,兀）上，/（x）=oe*-cosx.O恒成立,

即在XW（-兀，兀）上，a>—「恒成立，即——,

设=XG（-7l,7l）,则/z'（X）=SinA：COSX,X^（一兀,兀），

ee

,

令/(x)=0,解得：玉=-?,x2~~~

当元一肛-7］时，//（x）>0,当工£（一^’-^）时，//（1）<（）,

.•/（X）在卜肛—上单调递增，在（一弓）上单调递减，在（弓上单调递增,

交

所以极大值为4-工］=_2->0，〃（一万六白次乃人士，

I4）3©e

包

所以/z(x)=在Xe(-兀,兀)上的最大值为"(_工)=_2_

>0,

72

所以aN_2_时,在兀)上,/(x)=ae*-cosxN0恒成立,

-n

e

V2

即当时，〃x)20才恒成立,

eW

所以对任意。＞0,f(x)N0不恒成立，故C不正确;

对于D,当4=1时，/(x)=ev-cosx,XG(-71,71),

令〃x)=0,贝Lf(x)=e，一cosx=0,即e*=cosx，

作出函数y=e，和y=cosx的图象，可知在xe(—兀,兀)内，两个图象恰有两个交点,

则/(x)在(-71,K)上恰有2个零点,故D正确.

【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的儿何意义求切线方程，考查分离参数法的应用

和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.

三、填空题(共20分)

217fl

13.若(2+%)“=«0+tzl(l+x)+«2(l+x)+...+al7(l+x),则a。+q+出+%+---+i6=,

【答案】2|7-1

【分析】

先利用二项展开式的通项公式求解=1，然后利用赋值法求解g+q+4+%+…+%6・

【详解】由题意，由(2+X)”=U+(1+X)『7,=(1+X)”，

；・。17=1，

令X=0,则2"=4+4+/+…+。］7，所以4+4+%+。3+…+"16=2"11.

故答案为：217—1.

14.己知ABC的外心为O,AO-8C=3BO-AC+4CO・BA,则cosB的取值范围是.

【答案】、-』

【分析】

作出图示，取8c的中点D,则有OD八8C,再由向量的线性表示和向量数量积的运算得出

222222

AOBC^^(b-cyBOAC=-(a-c),CO-BA^^(b-a),代入已知得/+2。2=3/，由

余弦定理表示cosb,再由基本不等式可求得范围.

【详解】作出图示如下图所示，取3。的中点。，连接0。，AD,因为ABC的外心为。，则8八3C,

因为A。•BC=(AD+DO^BC=AD-BC+DO-BC=AD-BC,

又AZ>BC=，(AB+AC)•(AC-A8)=，(AC?-AB?)=，(/一0?),所以AO.BC=，(〃一),

22\'22

22

同理可得60-4。=；(/一。2),COBA=^(b-a),

所以AO-6C=38O-AC+4coBA化为g(从-c2)=3xg(a2-c2)+4xgW-/),

即a2+2c2=3b2.

2222

由余弦定理得Ra+c-b^+c--(a-+2c-)12a2+,2.

cosB=--------------=-------------------------=-x----------

2ac2ac32ac

又2'+/»汉包£=后,当且仅当缶=c时，取等号，又0<3<",所以Y24COS6<1.

2ac2ac3

故答案为：

【点睛】本题考查向量的数量积运算，以及三角形的外心的定义和性质，关键在于三角形的外心的定义和

向量的线性表示，转化表示向量的数量积，将已知条件转化为三角形的边的关系，属于较难题.

15.《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开,

得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖席（四个面均为直角三角形

的四面体）.在如图所示的堑堵ABC-ABCI中，B4=3。=26,48=2,47=4,且有鳖腌6工881和

鳖腌G-A8C,现将鳖席G—A8C沿线8G翻折，使点C与点5重合，则鳖膈£一A6C经翻折后，与

鳖腌G-拼接成的几何体的外接球的表面积是.

_.100万

【答案】-----

3

【分析】

当G-ABC沿线BC翻折，使点C与点Bi重合，则鳖牖G-ABC经翻折后，A点翻折到E点，关

于3对称，所拼成的几何体为三棱锥G-AE4,根据外接球的性质及三棱锥性质确定球心，利用勾股定理

求出半径即可求解.

【详解】当£—A8C沿线8G翻折，使点C与点B重合，则鳖腌G—A8C经翻折后，A点翻折到E点,

AE关于B对称，所拼成的几何体为三棱锥G-A3,如图,

由g=BC=2G,AB=2,AC=4,

可得AB,=个BB；+AB?=4,Bg=个BB；+BE?=4,

即△B|AE为正三角形，

所以外接圆圆心为三角形中心。।,

设三棱锥外接球球心为。，连接。0,则O0"L平面A&E,连接OG，Oq,在VOBG中作。MJ.4G，

垂足为M，如图，

因为OC]=0Bl=R,OM_LB}C],

所以M是4G的中点，由矩形MOO.B,可知00尸/£=加=6

因为。为三角形AgE的中心，

所以回。="|g8=gx2G=#

在R/VB|。。中,R=《OO；+BQ；

所以S=4»R2100万

3

100万

故答案为:

3

【点睛】本题主要考查了几何体的翻折问题，三棱锥的外接球，球的表面积公式，考查了空间想象力，属

于难题.

16.对于正整数〃，设%是关于x的方程4-1。8“+/"=〃2+3〃的实数根.记%=J厂，其中［同表示不

xL2x/>J

超过X的最大整数，则％=；设数列｛4｝的前〃项和为S“则逆£=—.

【答案】(1).0(2).1010

【分析】

(1)当〃=1时，化简方程，通过构造函数方法，找到函数零点的范围，进而求出结果.

1

(2)令乙=丁化简方程，通过构造函数的方法，找到零点的范围,即f“得范围，分类讨论〃为奇数和

偶数时凡，求得结果.

【详解】(1)当”=1时，，•一log,x=4,

x2

设/(x)=」?-log，X-4单调递减，

x

/(^)=1>0,/(1)=-3<0,所以;<玉<1,<1

%==0

122

(2)令)=~—,则方程化为：(2/“厂+〃log“+]2t“=n~+3n

2

令f(x)=(2x>+nlogn+I2x-n-3n,则/(X)在(0,+8)单调递增

/(^)=/?lo