2023年江西省景德镇高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

•X

1.记“个两两无交集的区间的并集为〃阶区间如（F』U［2,3］为2阶区间，设函数/（司=丽，则不等式

孔〃x）］+3W0的解集为（）

A.2阶区间B.3阶区间C.4阶区间D.5阶区间

2.设函数/（x）=sin"+?3>0）,若f（x）在。2加上有且仅有5个零点，则”的取值范围为（）

'1229、<1229］fl229）「1229-

A，B,C・而JD.［不，记一

3.正方体ABC。—A4G2，e（i=l,2,…,12）是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面4GB平行的直线

有几条（）

C.12D.6

4.已知4卜6,0）,B（V3,0）,P为圆Y+y2=i上的动点，而=①，过点尸作与AP垂直的直线/交直线Q3

于点M，若点M的横坐标为x,则凶的取值范围是（）

A.|x|>lB.|x|>1C.国22D.|x|>V2

5.若直线y=-2x的倾斜角为a,则sin2a的值为（）

444

A.-B.——C.±-

555

6.中国古典乐器一般按“八音”分类.这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼•春

官•大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（pao）,竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”

为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为()

3111D.2

A.—B.—C.—

1414147

=2■的虚部为(

7.复数z=)

z-2

A.2zB.-2/C.2D.-2

8.某校在高一年级进行了数学竞赛(总分100分)，下表为高一•一班40名同学的数学竞赛成绩:

55575961686462598088

98956073887486777994

971009997898180607960

82959093908580779968

如图的算法框图中输入的4为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出团，〃的值，则机一及=()

.

//人5.2,…・So/

~'y一--------

I'+11

<4>^>

/-0肛〃/

♦

「结束一］

A.6B.8C.10D.12

9.已知△ABC的面积是;，48=1,3。=血，则AC=()

A.5B.6或1C.5或1D.75

Y

10.已知定义在R上的奇函数/(X),其导函数为/'(x),当x2()时，恒有g/'(x)+/(x)>o.则不等式

—(1+2x)3/(l+2x)<0的解集为().

A.{x|-3<x<—1}B.{x|-1<x<

C.{x[%<-3或x>—1}D.{x|xV-1或x>-g}

11.已知双曲线餐-[=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60。的直线1与双曲线的右支有且只有一

ab

个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是()

A.[2,+oo)B.(1,2),C.(2,+oo)D.(1,2]

12.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，见=2方6=21,则4=

A.3B.4C.5D.6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x+2,x<-l

13.已知/(x)="2—5,-l<x<3,则/[/(4)]的值为.

log2x,x>3

/、3x^H---F1,X<0c/、c/\c

14.已知函数〃x)=X，若关于X的方程〃X)+/(—X)=0恰有四个不同的解，则实数”的取值范

21nx—6x,x>0

围是.

qinx

15.已知函数/(x)的定义域为凡导函数为尸(x),若/(x)=cosx-/(—x),K,f(x)+—<0,则满足

/(x+/)+/(x)W0的X的取值范围为.

16.(x—y)(x+2y)4的展开式中，dy?的系数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数g(x)=lnx-，nr-l.

(1)讨论g(x)的单调性；

(2)若函数/(x)=xg(x)在(0,+8)上存在两个极值点再，x2,且X1<w，证明InX]+111*2>2.

22

18.(12分)已知椭圆。:=+与=1(。>方>0)的左、右顶点分别为A、A,上、下顶点分别为四，B,,F为其

a~h

右焦点，雨⑷=1,且该椭圆的离心率为g;

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)过点A1作斜率为攵的直线/交椭圆。于X轴上方的点P,交直线x=4于点。，直线右。与椭圆。的另一个交

点为G,直线OG与直线4。交于点”.若“=几4月，求X取值范围.

19.(12分)已知函数/(x)=|x+l|—|4-2x|.

（1）求不等式/（X）…g（x—1）的解集；

21

（2）若函数/（x）的最大值为阳，且2。+力=机（a>O,b〉O）,求士+士的最小值.

ab

20.（12分）［选修4-5：不等式选讲］

设函数/（x）=|x+l|.

（1）求不等式/（幻45-/（%-3）的解集；

（2）已知关于x的不等式2/（x）+|x+a区x+4在［-1,1］上有解，求实数。的取值范围.

21.（12分）健身馆某项目收费标准为每次60元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下:

消费次数第1次第2次第3次不少于4次

收费比例0.950.900.850.80

现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数，得到数据如下:

消费次数1次2次3次不少于4次

6025105

假设该项目的成本为每次30元，根据给出的数据回答下列问题：

（1）估计1位会员至少消费两次的概率

（2）某会员消费4次，求这4次消费获得的平均利润；

（3）假设每个会员每星期最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件的概率，从会员中随机抽取两位，记从这两

位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为X,求X的分布列及数学期望E（X）

°

22.（10分）已知AABC满足,且〃=&，4=求的值及AABC的面积.（从①台二^^②^二百，

③a=3及s山8这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

可判断函数为奇函数，先讨论当X>()且时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应

常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解

【详解】

当x>()且x。1时，/(x)=W力2•令r(X)=°得X-e.可得,f'(x)和/(%)的变化情况如下表：

Xx—>0(。，1)(l，e)e(e,+oo)

小)/一—0+

/(x)0\e

令/")=，，则原不等式变为由图像知/⑺V-3的解集为七(YO/]U&，-1)UR，1)，再次由图像得到

〃x)e(-8jJUL，-l)UL，l)的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.

故选：D

【点睛】

本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想,

属于难题

2.A

【解析】

7t

由0VxK2不求出范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立。不等量关系，即可求解.

【详解】

人兀

当工1[0,2乃]时，CDX+—G—,2.7TCD+—,

•••在[0,2句上有且仅有5个零点，

兀1229

57r42XDTCH—<6乃,—W。<—.

5510

故选:A.

【点睛】

本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题.

3.B

【解析】

先找到与平面4。/平行的平面，利用面面平行的定义即可得到.

【详解】

考虑与平面4GB平行的平面片优［,平面儿昂1,平面/4鸟

共有C；+C；+C：=21,

故选：B.

【点睛】

本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.

4.A

【解析】

由题意得卜忸。|=2|。"，即可得点M的轨迹为以A,B为左、右焦点，4=1的双曲线，根据双曲线的

性质即可得解.

【详解】

如图，连接QP,AM,

由题意得||A叫一|他4||=忸。卜2\0P\=2,

二点M的轨迹为以4,B为左、右焦点，a=l的双曲线，

二|x|21.

故选：A.

【点睛】

本题考查了双曲线定义的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.

5.B

【解析】

根据题意可得：tan二=-2,所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后,

将tana=-2代入计算即可求出值.

【详解】

由于直线y=-2x的倾斜角为a,所以tana=-2,

._c.2sin«cosor2taniz-2x24

贝I)sin2a=2smacosa=——-------------=——-------=------——=——

sin-a+cosatarror+l(-2)+15

故答案选B

【点睛】

本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是

解本题的关键.

6.B

【解析】

分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.

【详解】

从“八音,，中任取不同的“两音,，共有c：=28种取法；

“两音”中含有打击乐器的取法共有-C：=22种取法；

.〜一»2211

-所求概率p=—­一—•

2814

故选：B.

【点睛】

本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.

7.D

【解析】

根据复数的除法运算，化简出z,即可得出虚部.

【详解】

4+3/(4+3«)(«+2)5+10z_

解:Z=R=E两一=

故虚部为2

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的除法运算和复数的概念.

8.D

【解析】

根据程序框图判断出的意义，由此求得〃，，”的值，进而求得机-〃的值.

【详解】

由题意可得”的取值为成绩大于等于90的人数，，〃的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故〃?=24,〃=12,

所以m—n=24-12=12.

故选：D

【点睛】

本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识.

9.B

【解析】

,•*S^BC=,AB-BC-sinB—AB=1,BC-V2

..D_1_V2

•"sinB=-T=-=—

V22

6

①若B为钝角，贝11cos8=-*-,由余弦定理得AC?=AB2+BC2-2COSB-A8-BC，

2

解得AC=6;

②若8为锐角，则cos8=上，同理得AC=1.

2

故选B.

10.D

【解析】

先通过(/'(X)+/(%)>0得到原函数g(x)=三区为增函数且为偶函数，再利用到)’轴距离求解不等式即可.

【详解】

构造函数g(x)=^j立，

贝！)g，(x)=//(x)+]=V，/,(x)+/(x))

由题可知:/'(X)+/(x)>0,所以g(尤)=立在x30时为增函数；

33

由d为奇函数，"X)为奇函数，所以g(x)=£?D为偶函数；

又x3f(x)-(1+2x)3/(I+2x)<0,即龙)<(1+2x)3/(I+2x)

即g(x)<g(l+2x)

又g(x)为开口向上的偶函数

所以|x|<|l+2x],解得x<T或x>—；

故选：D

【点睛】

此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.

11.A

【解析】

若过点F且倾斜角为?的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜

率.根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围.

【详解】

22

已知双曲线与-与=1("0,6>0)的右焦点为产，

a~/?

若过点尸且倾斜角为9的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,

则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率2,

a

：--..43,离心率/=丝J..4,

aa

：.e..2,

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件.

12.C

【解析】

a+d=2

]“：一）所以%=1+（5-l）xl=5.故选C.

方法一：设等差数列伍“｝的公差为d,贝！J,解得

64+等xd=21a=1

方法二：因为臬=6（"；4）=3（出+生）,所以3（2+6）=21,则%=5.故选C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-1

【解析】

先求/（4）,再根据44）的范围求出了"（4）］即可.

【详解】

由题可知/（4）=log24=2,

故/"（4）］=/（2）=22—5=—1.

故答案为：—1.

【点睛】

本题考查分段函数函数值的求解，涉及对数的运算，属基础题.

14.（-2,0）

【解析】

设g（x）=〃x）+/（-x）,判断g（x）为偶函数，考虑x>0时，g（x）的解析式和零点个数，利用导数分析函数的单

调性，作函数大致图象，即可得到。的范围.

【详解】

设g(x)=/(x)+/(—x),

则g(x)在(7,0)50,包)是偶函数，

当x〉0时，g(x)=21nx—6%+3x?---1-1,

x

由g(x)=。得a=2xlnx-6%2+3%3+了,

记〃(X)=2xlnx—6x?+3x3+x,

2

"(x)=21nx-12x+9f+3,V(x)=-+181220,

故函数”(x)在(0,+8)增，而"(1)=0,

所以人⑴在(0,1)减，在以用)增,〃⑴=—2,

当Xf+8时，〃(X)f+8,当x.0+时，/Z(X)-»(T,

因此g(x)的图象为

因此实数。的取值范围是(-2,0).

【点睛】

本题主要考查了函数的零点的个数问题，涉及构造函数，函数的奇偶性，利用导数研究函数单调性，考查了数形结合

思想方法，以及化简运算能力和推理能力，属于难题.

"万1

15.~~—,+°0

L2)

【解析】

构造函数g(x)=/(x)-罢，再根据条件确定g(x)为奇函数且在R上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简

不等式，解得结果.

【详解】

依题意，/(同一詈=_/(—)+哗立，

令g(X)=/(X)-S^'则g(x)=_g(T),故函数g(x)为奇函数

P1，.

g，(x)=〃x)-詈=/'(x)+警＜0,故函数g(x)在R上单调递减，

贝!l/(x+万)+/(x)W0n/(x+乃)_cos(；+-)+/(x)_g^£w0

7T兀

Og(x+;r)+g(x)w0og(x+»)w-g(x)=g(-x),即X+%2—X,故X?——,则X的取值范围为一K,+°°

2_2

故答案为：-5，+00)

【点睛】

本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.

16.16

【解析】

要得到My?的系数，只要求出二项式(x+2y)4中x2/的系数减去/),的系数的2倍即可

【详解】

少的系数为C"22-C；x2=16.

故答案为：16

【点睛】

此题考查二项式的系数，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)若加＜0,则g(x)在定义域内递增；若机＞0,则g(x)在(。，,］上单调递增，在［',+8］上单调递减(2)

VmJym)

证明见解析

【解析】

(1)/。)=匕竺，分〃2W0,加＞0讨论即可；

x

八Inx.lnxInx,+lnxInx,-InxInx,-Inx.2/、

L9!9!9!

(2)由题可得到2加=—=--=—------=—------故只需证一--------、＞------,(x,＜x2),即

%x2Xj+X2X1-X2Xi-X2X1+12

五-1

ln±<2•土一，采用换元法，转化为函数的最值问题来处理.

々A+1

X2

【详解】

-乙1zx1-mx

由已知，g(x)=--------

X

若“40,则g(x)在定义域内递增;

若机>0,则g(x)在上1单调递增，在(工,+8］上单调递减.

mm

(2)由题意/(x)=xlnx-/n/-元，x>0

对/(x)求导可得f\x)=Inx-2/nr,x>0

从而芭，今是/1)的两个变号零点，因此

In%1_Inx_InX]+Inx_Inx,-Inx

—--2=2—2

X]x2Xj+x2内一々

Inx,-Inx.2/、

下证：下丁>0?(王<々)

五-1

即证In工<2・a一

々A+1

X?

令.=土，即证：/z(r)=(r+l)lnz-2r+2,re(0,1)

X2

1t_I

对力⑺求导可得"(f)=lnf+±—1,re(0,1),h"⑴=下,因为0</<1

故力"⑺<0,所以"⑺在(0,1)上单调递减，而"⑴=0,从而/?(。>0

所以/?«)在(0,1)单调递增，所以〃。)<〃(1)=0,即以力<0

于是In%,+Inx2>2

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式，考查学生逻辑推理能力、转化与化归能力，是一道有一定难度

的压轴题.

18.(I)—+2t=i；(II)3).

433

【解析】

(I)由题意可得瓦《，丽的坐标，结合椭圆离心率，瓦4用户=1及隐含条件列式求得。，。的值，则椭圆方程

可求；(II)设直线4O：y=A(x+2),求得。的坐标，再设直线A2D:y=3Z(x-2),求出点G的坐标，写出0G的

方程，联立。G与A。，可求出”的坐标，由“=4取，可得X关于Z的函数式，由单调性可得尤取值范围.

【详解】

(I)A(-a，°)，旦(0/)，F(c,0),

B]A=(-a,-b)93]尸=(c,-b),

______c1

由8]41・8[尸=1,得〃一ac=l,又一=二，/=/+/,

a2

解得：a=2,b=y/s9c=l.

22

•••椭圆C的标准方程为上+汇=1；

43

(H)设直线4。：,=依％+2)(左＞0),则与直线x=4的交点。(4,6外,

又4(2,0),.•.设直线A2D:y=3k(x—2),

y=33(%-2)

联立《消y可得(1+12二消-48rx+48k2-4=0.

143

解得G24*E2-9一12k

1+1242)

y=&(x+2)

公

联立/,得(6-812k

2p.3+4公)

—+—=13+4公

143

直线。G.温巴

-6k

V=-----27----x-24&2+212k

联立厂12k-],解得H(

⑵2+512公+5

y=4(x+2)

•••庭二4审,

，(七,+2,yp)=A.(xH+2,yH),

•1•yP=办H，

,外12&2+512Z?+9-4°4

…％3+4/4公+34r+3

4

函数以k)=3-在(0,+8)上单调递增，

4H+3

.•.2=/We(1,3).

本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，意在考查学生对这些知识的理解掌

握水平和分析推理计算能力.

19.(1)[1,4](2)3

【解析】

x—5,x<—1,

(1)化简得到/(幻=3x-3,-l弱k2,,分类解不等式得到答案.

—x+5,x>2.

(2)F(x)的最大值加=/(2)=3,2a+b=3(a>Q,b>0),利用均值不等式计算得到答案.

【详解】

%—5,x<—1,

(1)/(尤)=k+l|—|4—2x[=<3x—3,—啜k2,

-x+5,x>2.

X<—1,"-啜k2,x>2,

因为故,

/(x)/(x-l),或《1或《1

3x-5>-(x-l)3x-3..(x-1)-x+5—(x

的解集为

解得啜W2或2<%,4,故不等式/(X)..A(x-l)[1,4].

(2)画出函数图像，根据图像可知Ax)的最大值加=/(2)=3.

因为2a+Z?=3(a>0S>0),所以2+LL(2a+㈤(2+口」(即+丝+5]-x(2x2+5)=3,

ab3[ab)ba)3

【点睛】

本题考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.

20.(1){x|-2<x<3}(2)-2<a<4

【解析】

(1)零点分段去绝对值解不等式即可(2)由题|x+a|W2—x在上有解，去绝对值分离变量a即可.

【详解】

(1)不等式f(x)W5-f(x—3),即|x+l|+|x-2|w5

x<—1,-l<x<2,x>2,

等价于或，或V

—x—1—x+245,x+1—x+245,x+1+X一245,

解得—2<x<3,

所以原不等式的解集为{x|-2<x<3};

(2)当xe[—1,1]时，不等式2f(x)+|x+a|Wx+4,Bp|x+a|<2-x,

所以|x+a区2-x在[一1,1]上有解

即-2WaW2-2x在［-1』上有解,

所以，-2WaW4.

【点睛】

本题考查绝对值不等式解法，不等式有解求参数，熟记零点分段，熟练处理不等式有解问题是关键，是中档题.

2249

21.(1)—(2)22.5(3)见解析，---

5200

【解析】

(1)根据频数计算频率，得出概率；

(2)根据优惠标准计算平均利润；

(3)求出各种情况对应的X的值和概率，得出分布列，从而计算出数学期望.

【详解】

解：(1)估计1位会员至少消费两次的概率〃=言，?=|；

(2)第1次消费利润60x0.95-30=27；

第2次消费利润60x0.90—30=24；

第3次消费利润60x0.85-30=21；

第4次消费利润60x0.80-30=18；

这4次消费获得的平均利润：----------------=22.5

4

327+24I27+24+21

(3)1次消费利润是27,概率是2次消费利润是一^—=25.5,概率是3次消费利润是——丁二=24,

概率是4次消费利润是22.5,概率是

1020

39

由题意：X=0,-,3,-

22

DZVm3311111187

554410102020200

…3、c/311111、9

254410102025

311129

P(X=3)=2(-x—