2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学中考数学二模试卷（含答案）

2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.-3的倒数为.（）

C.3D.—3

2.下列运算正确的是()

A.a6—a2=a4B.(a+b)2=a2+b2

C.(—2a)3=—8a3D.d+=a3

3.下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是（）

A令，心。⑨。命

4.已知点M（1,—7H2—1）在反比例函数y=：的图象上，则下列说法错误的是（）

A.fc<0B.图象经过（一1,血2+1）

C.y随x增大而增大D.当久>。时，y<0

5.由4个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，它的三视图中面积最大的

是（）

A.主视图

主视方向

B.左视图

C.俯视图

D.无法确定

6.如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15。

方向的A处，若渔船沿北偏西75。方向以40海里/小时的速度航行，

航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60。方向上，

则B、C之间的距离为（）

A.20海里

B.■海里

C.20/0每里

D.30海里

7.如图，平行四边形4BCD,E是B4延长线上一点，CE与4。、BD分E

别交于点G、尸，则下列说法错误的是（）

BC

A.EA：CD=EG：CGB.CD：BE=CG：CE

C.EG：GC=AG：BCD.CF-.GF=DA：DG

8.有一矩形长边8米，短边6米，现将长边加长x米、短边同时缩短x米，使变化后的矩形面

积为40平方米，则下列方程正确的是（）

A.8x6-x2=40B.（8+x）（6-x）=40

C.（8+x）（6-x）4-2=40D.（8-x）（6+x）=40

9.如图，已知RtAABC中，^ACB=90°,AC=6,BC=4,A

将△ABC绕直角顶点。顺时针旋转90。得到△DEC,若点尸是DE

的中点，连接4F,则4F的长是（）/7V

BCD

A.3B.4C.5D.6

10.某天早晨，小明从家出发步行上学，小明爸爸发现若小明按目前步行速度每分钟100米

的速度上学则要迟到，于是立即骑上自行车从家出发追赶小明，追上小明后带着小明一起到

学校，结果比小明步行到达学校少用3分钟，假设步行和骑车的速度均为匀速，如图表示小明

爸爸出发时间双分钟）与离家距离y（米）的函数图象，则小明家到学校的距离是米.（）

俨米）

A.500B.600C.1500D.1600

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.把1745000000用科学记数法表示为______.

12.函数y=含中，自变量x的取值范围是.

13.计算：V27-J^=.

14.把多项式5a2b-125b分解因式的结果是.

15.不等式组2x<l-x<x+5的解集是.

16.一个扇形的半径是6cm,面积是15兀cm?,则此扇形的圆心角为度

17.已知边长为3的正方形4BC。中，点E为DC上一点，tan^DEA=y/~3,M为AE中点，过M

作直线分别与力。、BC相交于P、Q,若PQ=AE,则ZP=.

18.如图，△ABC是。。的内接三角形，点。是弧BC的中点，己----、

知4/108=100°,/.CAB=60°,贝1此48。=度/

19.小明的卷子夹中放了大小相同的试卷共15张，其中语文8张、数学5张、英语2张，则随

机抽出一张试卷为数学试卷的概率为.

20.如图，四边形/BCD中，乙B=60°,乙C=90°,AB=6,AD=A

2c,E在BC上，连4E、DE,若NE4D=4/1DE,BE=2,则/

三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）

先化简，再求值（I+E）+W，其中

x=2sm600—tan45°

四、解答题（本大题共6小题，共53.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

22.（本小题7.0分）

已知：图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1,

点4、点B在小正方形的顶点上.

（1）在图1中画出△4BC（点C在小正方形的顶点上），使^ABC是等腰三角形且44BC为钝角三

角形；

(2)在图2中画出△ZBD(点。在小正方形的顶点上)，使△ZBD是等腰三角形且tan乙4BD=1.直

接写出△4B0的面积.

23.(本小题8.0分)

为了响应国家提出的“每天锻炼1小时”的号召，某校积极开展了形式多样的“阳光体育”运

动，小明对该班同学参加锻炼的情况进行了统计，(每人只能选其中一项)并绘制了下面的图1

和图2,请根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)小明这次一共调查了多少名学生？

(2)通过计算补全条形统计图.

(3)若该校有3000名学生，请估计该校喜欢足球的学生约有多少人？

・人数

24.(本小题8.0分)

在平行四边形4BCD中，点E在CD上，点尸在4B上，连接AE、CF、DF、BE,乙DAE=LBCF.

(1)如图1,求证：四边形DFBE是平行四边形；

(2)如图2,若E是CD的中点，连接G",在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中以GH

为边或以G”为对角线的所有平行四边形.

25.(本小题10.0分)

某汽车销售公司销售4、B两种品牌汽车，每辆4品牌汽车售价比每辆8品牌汽车售价多2万，

4月份4品牌汽车销售额为200万元，B品牌汽车销售额为80万元，销售的4品牌汽车数量恰好

是B品牌汽车销售数量的2倍.

(1)求4、8品牌汽车的售价分别是多少万元？

(2)月品牌汽车进价每辆7.5万元，B品牌汽车进价每辆6万元，时值五一黄金周，汽车销售公司

让利销售，决定每售出一辆4品牌汽车，返还顾客现金a万元；每售出一辆B品牌汽车，按九

折付款.为了完成五月份的两种汽车销量都比4月份翻一番，并且保证利润不低于62万元，则

返还顾客的现金a万元最多是多少？

26.(本小题10.0分)

如图1,在。。中，直径弦CD.

(1)求证：劣弧BD=劣弧BC；

(2)如图2,弦力E与弦。F交于点N,弦EG1DF,连接4。，若弧FG=^AG,求证：AD=DN；

(3)如图3,在(2)的条件下，设EG与4B交于点Q,CD与AE交于点乩延长CD至点M,使DM=

连接MN并延长交EQ于点P,若4D1MN,AH=y/~5,MN=5,求PQ的长.

图11图2图3

27.(本小题10.0分)

如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+n与抛物线y=/+bx+©交于点A,B,点

A的横坐标为1,且为抛物线的顶点，点B的横坐标为3.

(1)求b的值；

(2)如图2,作BD〃x轴，交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若线段4B与％轴交于点C(点C不

与点4,B重合)，连接CD交y轴于点F,设△DEF的面积为d,求d关于c的函数关系式，并直

接写出自变量c的取值范围；

(3)如图3,在(2)的条件下，在延长线上取点Q,连接QD并延长，交支轴于点P,连接FQ,

若DP=DC,△DFQ的面积为12d,求c与n的值.

图1图2图3

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于1,那么这两个数互为倒数.根据倒数的定义

进行解答即可.

【解答】

解：•••(-3)X(-1)=1,

•・・一3的倒数是一提

故选：A.

2.【答案】C

【解析】解：4与一不属于同类项，不能合并，故4不符合题意；

B、(a+b~)2=a2+2ab+b2,故8不符合题意；

C>(-2a)3=—8a3,故C符合题意；

。、a6^a2=a4,故。不符合题意；

故选：C.

利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数辱的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运

算即可.

本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数基的除法，解答的关键是对相应的

运算法则的掌握.

3.【答案】A

【解析】解：4旋转180。，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；

8.旋转180。，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；

C.旋转180。，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；

D旋转180。，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；

故选:A.

根据中心对称图形的性质得出图形旋转180。，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分

别判断得出即可.

此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：•••点”(1,一小2一1)在反比例函数y=5的图象上，

・•・/c==-TH2-1<o,故A正确，不合题意；

v—1x(m24-1)=—m2—1=k,故8正确，不合题意；

v/c<0,

二反比例函数y=g的图象在每个象限y随x的增大而增大，故C错误，符合题意；

Vfc<0,

・••反比例函数y=：的图象在二，四象限，

.•.当x>0时、y<0,故。正确，不合题意.

故选：C.

根据反比例函数系数k=xy=-m2-l<0即可判断出4根据各点横坐标的特点即可判断B；根

据反比例函数的增减性即可判断C、D；

此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解题的关键.

5.【答案】A

【解析】解：作图如下：

rrRErm

主视图左视图俯视图

所以它的三视图中面积最大的是主视图.

故选:A.

主视图有3列，每列小正方形数目分别为1,1,2；左视图有1列，小正方形数目为2：俯视图有3列，

小正方形数目分别为1,1,1.

本题考查了作图一三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到

的图形.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题.解题的难点是推知△

4BC是等腰直角三角形.如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角

形，通过解该直角三角形来求BC的长度.

【解答】

解：如图，v/.ABE=15°,^DAB=/.ABE,

•••Z.DAB=15°,

^CAB=^.CAD+/.DAB=90°.

又•••NFCB=60°,乙CBE=LFCB,ZLCBA+^ABE=^LCBE,

^CBA=45°.

・•・在直角A4BC中，sin乙4BC="=竺q=C，

BCBC2

BC=20/2海里.

故选C.

7.【答案】C

【解析】解：•••四边形4BC0为平行四边形，

■■■AB//CD,AD//BC,AB=CD,BC=AD,

■：AE//CD,

*'•△AEG~ADCG9

•••AE：DC=EG：CG,所以4选项不符合题意；

-AG//BC,

••AB：BE=CG：CE,

••AB=CD,

ACD：BE=CG：CE,所以B选项不符合题意；

-AG//BC,

EAG^ls.EBC,

・・・EG：EC=AG：BC,所以C选项符合题意；

・・•DG//BC,

BCF~>DGF,

ACF：GF=BC：DG,

••BC=AD,

CF：GF=AD：DG,所以。选项不符合题意.

故选：C.

先根据平行四边形的性质得到AB〃CD,AD//BC,AB=CD,BC=AD,再证明△DCG,

则利用相似三角形的性质可对4选项进行判断；由于4G〃BC,根据平行线分线段成比例定理得到

AB：BE=CG：CE,然后利用4B=CD可对B选项进行判断;通过证明AE4G“AEBC,则利用相

似三角形的性质可对C选项进行判断；证明△BCFs^DGF得至IJCP：GF=BC：DG,然后利用BC=

4。可对。选项进行判断.

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共

角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.在应用相似三角形的性质时利用相似比进

行几何计算.也考查了平行四边形的性质.

8.【答案】B

【解析】解：根据题意得：变化后的长边(8+为米，短边(6-乃米，

变化后的矩形面积(8+%)(6-%)=40.

故选：B.

由原矩形的长和宽，可得出变化后的长边(8+x)米，短边(6-X)米，结合变化后的矩形面积为40

平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.

9.【答案】C

【解析［解：作FH1AC于如图，

•••△4BC绕直角顶点C顺时针旋转90。得到△DEC,

：.CE=BC=4,CD=CA=6,4ECD=4ACB=90°,

AE=AC-CE=2,

•••点尸是DE的中点，

.••FH为△ECD的中位线，

1

CH=EH=2,FH=^CD=3,

在RtaAFH中，AF=732+42=5.

故选：C.

作FH_L4C于H,如图，利用旋转的性质得CE=8。=4,CD=CA=6,Z.ECD=^ACB=90°,

再证明F”为4ECD的中位线，CH=EH=2,FH=^CD=3,然后根据勾股定理计算4尸的长.

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于

旋转角；旋转前、后的图形全等.

10.【答案】D

【解析】解：由图象得，爸爸的速度为型*包=200(米/秒)，

设爸爸送小明上学的时间为x分钟，

则200%=500+(x+3)X100,

解得x=8,

•••200x8=1600(米)，

••.小明家到学校的距离为1600米.

故选：D.

根据图象求出爸爸的速度，再设爸爸送小明上学的时间为x分钟,根据两人所走路程相同列出方程,

解方程即可.

本题考查一次函数的应用，关键是从图象中读取有效信息求出爸爸的速度.

11.【答案】1.745x109

【解析】解：把1745000000用科学记数法表示为1.745xIO、

故答案为：1.745x109.

科学记数法的表示形式为axl(P的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n

是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax1(P的形式，其中1<|a|<10,n

为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

12.【答案】XK—

【解析】解：由题意得，3%+1。0,

解得，

故答案为：X力—g.

根据分母不等于0列式计算即可得解.

本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

13.【答案】?

【解析】解：原式=3-g=|.

故答案为：

直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案.

此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键.

14.【答案】5b(a+5)(a—5)

【解析】解：5a2/)-125b

=5b(a2-25)

=5b(a+5)(a—5).

故答案为：5b(a+5)(。-5).

先提取公因式，再利用平方差公式分解.

本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键.

15.【答案]—2<x<|

【解析】解：由题意得：

(2x<1—%①

[1-%<%+5②’

解①得X<i,

解②得x2-2.

故不等式组的解集为-2<x<1.

故答案为：-2<x<|.

先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可.

本题考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小

小找不到.

16.【答案】150

【解析】解：设这个扇形的圆心角为n。,

H7TX62«L

讨=15兀'

解得，n=150,

故答案为：150.

根据一个扇形的半径为6c机，面积为15兀cm2,然后根据扇形面积公式5=宴，即可求得这个扇

360

形的圆心角的度数.

2

本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积计算公式S=霖

360

17.【答案】1或2

【解析】解：根据题意画出图形，过P作PNLBC,交BC于点N,

•・,四边形/BCD为正方形，

:.AD=DC=PN,

在Rt△40E中，tanZ.DEA=V-3,

・••Z-DEA=60°,

・•・Z,DAE=30°,

-AD=3,

r)p__

tan30°=—,即DE=口,

根据勾股定理得：AE=J32+(回2=2口

•・・M为AE的中点,

•­AM=^AE=V3,

在山△ADE和RtZkPNQ中，

(AD=PN

[AE=PQ，

・••Rt△ADE^Rt△PNQ(HL),

・•.DE=NQ,/.DAE=乙NPQ=30°,

•・•PN//DC,

・•・/.PFA=Z.DEA=60°,

/.Z.PMF=90°,即PMJLAF,

在RtzMMP中，LMAP=30°,cos3(T=粤

AP

AM『n

“"APn一^§^一亘一2，

2

由对称性得到4P'=£»P=4。-AP=3—2=1,

综上，4P等于1或2.

故答案为：1或2.

根据题意画出图形，过P作PN1BC,交BC于点N,由4BCD为正方形，得到4。=DC=PN,在

直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出4E的长，根据M

为4E中点求出4M的长，利用也得到三角形4DE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对

应角相等得到DE=NQ,/.DAE=Z.NPQ=30°,再由PN与DC平行，得到4PR4=4DEA=60。,

进而得到PM垂直于4E,在直角三角形4PM中，根据4M的长，利用锐角三角函数定义求出4P的

长，再利用对称性确定出4P'的长即可.

此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本

题的关键.

18.【答案】100

【解析】解：连接。。，如图，

vOA—OB,

••Z.OAB=Z.OBA,

・・・乙OBA=1(180°-乙408)=1(180°-100°)=40°,

B

•・•点。是弧BC的中点,

・・・乙BOD=Z.CAB=60°,

・•・Z,OBD=60°,

・・・Z.ABD=Z.OBA+乙OBD=400+60°=100°.

故答案为：100.

接。。，易得心OAB=△OBA,根据三角形内角和定理得N0B4=：(180。一44。8)=40。，由点。是

弧BC的中点得/BOD=60°,所以4OBD=60°,然后利用NABD=/.OBA+4OBC进行计算.

本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相

等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

19.【答案埒

【解析】解：•••试卷共15张，其中语文8张、数学5张、英语2张，

・••随机抽出一张试卷为数学试卷的概率为得=

故答案为:

直接利用概率公式计算可得答案.

本题考查了概率公式：随机事件4的概率P(A)=事件4可能出现的结果数除以所有可能出现的结果

数.

20.【答案】＜3

【解析】解：过点E作EF_L4B于点F,

4BEF=30°,

vBE=2,

•••BF=1,

二由勾股定理得：EF=V22—I2=y/~3f

vAB=6,

二/尸=6—1=5,

由勾股定理得：AE=q4/2+EF2=J52+(n)2=

vZ.EAD=Z-ADE,

ED=AE=2<7,

又•；AD=2V7,

:.ED=AE=AD,

••・△40E为等边三角形，

・•・Z,AED=60°,

・•・Z-DEC+^AEF=180°―/.AED-乙BEF=90°,

又・・・Z,EAF4-AEF=90°,

:.(DEC=Z.EAF9

・•・在△DEC和△£1",

Z-AFE=ZC=90°

/-EAF=乙DEC

AE=AD

：^DEC=LEAF{AAS}.

DC=EF=V-3.

故答案为：3.

过点E作EF_L4B于点F,利用含30。角的直角三角形的性质求得BF,则4E的值可求，再用勾股定

理求得E尸、4E和4。的值，然后判定△4DE为等边三角形，之后判定△DEC三△E4F(44S),由全

等三角形的性质可得答案.

本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、30。角所对的直角边等于斜边的

一半及勾股定理在计算中的应用等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

21.【答案】解：由题意可知：x=2xy-l=/3-l，

原式=F+/I?

x-22Q-2)

_x-12(%-2)

-x-2。+1)(%-1)'

=--2-.

x+1

当％=「一1时，原式=言=雪.

【解析】根据锐角三角函数的值以及分式的运算法则即可求出答案.

本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.

22.【答案】解:⑴A4BC即为所求;

（2）A4BD即为所求；

图1图2

【解析】（1）利用勾股定理发现48=5,作AC=AB=5即可解决问题；

（2）由△ABC是等腰三角形且tan乙4BD=1,可知△ABD是等腰直角三角形，作48=4。=5,

乙BAD=90。即可；

本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学

知识解决问题，属于中考常考题型.

23.【答案】解：（1）20+40%=50（名），

（2）50-20-10-15=5（名）,补全统计图如图:

（3喘x100%=20%,3000x20%=600（名）

答：若该校有3000名学生，估计该校喜欢足球的学生约有.600人.

【解析】(1)用打篮球的人数除以打篮球人数所占的比例进行计算即可；

(2)求出打乒乓球的人数，不全条形图即可；

(3)用总人数乘以喜欢足球的人所占的比例，即可求得.

本题考查条形统计图，正确从图中获取有用信息是解题关键.

24.【答案】⑴证明：•.•四边形ABC。是平行四边形，

AB//CD,/.ADE=乙CBF,AD=BC,

NADE=乙CBF

在AADE和△CBF中，卜D=BC,

ADAE=乙BCF

:.&ADE三&CBFiASA),

•••DE=BF,

又DE//BF,

二四边形DFBE是平行四边形；

(2)解：•・•£是CD的中点，

・•・DE=CE,

•••以G”为边的平行四边形有平行四边形GH凡4、平行四边形G/78F、平行四边形GHED、平行四边

形GHCE；

以GH为对角线的平行四边形有GFHE.

【解析】⑴由平行四边形的性质得出4B〃CD,/.ADE=ZCBF,AD=BC,由ASA证明△ADENA

CBF,得出£>E=8尸，即可得出四边形DFBE是平行四边形；

(2)由中点的定义得出DE=CE,由平行四边形的判定方法即可得出平行四边形.

本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，

证明三角形全等得出DE=B尸是解决问题(1)的关键.

25.【答案】解：(1)设A品牌汽车售价是x万元，

20080„

—=^X2>

解得：x=10,

经检验，%=10是原方程的解，

10-2=8(万元),

答：4B品牌汽车的售价分别是10万元和8万元.

(2)200+10=20(辆)，80+8=10(辆)，

(10-7.5-a)X20x2+(8x90%-6)x10x2>62,

解得：a<1.52,

答：返还顾客的现金a万元最多是1.52万元.

【解析】(1)求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系.等量关系为：销售的4品牌汽车数量

恰好是B品牌汽车销售数量的2倍.

(2)根据利润不低于62万元得出不等式解答即可.

本题考查分式方程和一元一次不等式的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的

关键.

26.【答案】(1)证明：连接CO,DO,令4。交CC于点M,

•••AD-AC>

劣弧BD=劣弧BC；

(2)证明:连接OF,0G,如图,

•••ADFE=|AEOD,^DAE=1乙EOD,

:.Z.DFE=Z.DAE,

FG=AG>

・•・Z.FOG=Z-AOGf

■■■"EG=1乙FOG,/.AEG=1^AOG,

:.Z-FEG=Z-AEG,

•・・EG1DF,

・・・Z.ESF=乙ESN=90°,

在△EFS和AENS中，

"ES=(AES

ES=ES，

Z-ESF=乙ESN=90°

••・△EFS王AENSG4s4),

・・・乙EFN=(ENF,

又・・•乙ENF=乙AND,

・・・乙DAN=乙AND,

：.AD=DN；

(3)解：连接BD,如图3,

图3

•・・48为。。的直径,

・・・/.ADB=90°,

・•・AD1BD,

-ADLMN,

・・・BD”MN,

・・・乙AID=乙ANM,

设Z1M/=/?,贝=90。-0

由(2)知4/NO=(DAN=乙ENF='

・・・乙NEP=90°-/?=乙ANM,

•・・乙ANM=乙ENP,

，乙NEP=CPNE=90°-B，

・•.EP=NP,

・・・(EPN=2氏

延长交NM于点K,

-AD1MN,

・•.ADKM=90°.

设NKDM=^ADH=a,则4OMK=4ZZ4H=90°-a,

过点M作MR_LNH于R,连接R。，

vDM=DH,

・•・DR为Rt△MR”斜边中线，

DK=DM=DH=^MH9

:,乙RHD=(HRD,乙DMR=LDRM,

设zD4H=y,WJzDH/V=Z.ADH+Z.DAH=a+yf

・•・乙DRH=a+y,

・•・乙RMH=90°—a—y,

・•・乙NMR=乙DMK-乙RMH=90。-a—(90°-a-y)=y,

・•・乙NDR=4ARD—Z.DNR=a+y—y=a,

・•・Z.NDR=Z.ADH=a,

在AONR和△1X4〃中，

NNDR=Z.ADH

DN=AD

ZDNR=Z.DAH

•••△DNRwZkZMHQIS/),

:.NR=AH=C，

在RSMRN中，

vMR=VMN2-NR2=J52-(C)2=2门，

,KTAAn4.nNRy/~51

・•・tan乙NMR=tanp=—=77==彳，

MR2V52

过点。作DS_L4N于点S,则4S=SN,

---MRLNH,DSLAN,

MR//DS,

vDM=DH,

OS是△"/?”的中位线，

•••DS=3x2屋=R,RS=HS,

在△DSN中，

••1tanzD/VS=tanfi=糕=票=：,

NS=2y/~5,

Rt△DNS中，

由勾股定理得：DN=7NS2+DS2=5,

vMN=5,

MN=DN.

NR=RS=AH=<5.

又：DSLSH,

ns”为等腰直角三角形，

乙SDH=乙SHD=45°,且a+B=45。.

在长△DSN中，

DN=yTZDS=xH=VTO=DM,

过点N作NL1MD于L,

•・•△DNM是等腰三角形，

儿="乙=扣”=?，

在RtAMNL中，

由勾股定理得：NL=VMN2-ML2=J52-(^)2=^^

•••tan/MNL=tan(45°-位=器=三=tana,

过点。作0Pl4。于V,

则乙401/=Z.ADH=a,

115

：.AV=DV=^AD=^x5=^f

AV

:.tanz,A…0V7=—=-1,

515

・・・0V=34V=3x>旨.

在Rt△/OV中，

由勾股定理得：40=VAV2+0V2=J(|)2+(丹=3电,

连接。£

・・・乙DHN=Z-AHC=45°,

-AB1CD,4比4。=45。，

•・,0E=0Af

・•・乙AEO=Z.EAO=45°,

・・・Z-AOE=90°.

・•・Rt△40E为等腰直角三角形，

・・・EF=>f2A0=V_2X=5H，

・・•乙AND=乙ENF=45°-a,

vEG1FN,

/.ANEG=45。+a,

・・・乙OEQ=乙NEG-AAEO=45。+a—45。=a,

在RMOEQ中，

^OEQ=tana=^=l

QO=-OE=-X—^―=—^—•

^.RtsOEQ^p,

由勾股定理得：EQ=yjOE2+OQ2=y.

过点P作PW1EN于W,

•••等腰AEPN中，EP=PN,

：.EW=EN,Z.EPW=p.

■：EN=AE—AN=5y/~5-4屋=C，

•••EW=NW=

在AEWP中，

F]A7I

•・,tanZ.EPW=tanp=—=

PWz

•••PW=2EW=屋,

在RtAEWP中，

由勾股定理得：EP=VEW2+PW2=I，

50535

PnQn=EQ-ErDP=---=

oZo

【解析】(1)连接c。，DO,利用垂径定理和圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理解答即可；

(2)连接。F,0G,利用圆周角定理得到NFEG=41EG,再利用全等三角形的判定定理和性质定理

解答即可；

(3)连接BD,利用圆周角定理和平行线的判定与性质得到=设乙DAI=0,利用三

角形的内角和定理及其推论得到NEPN=20；延长4。交NM于点K,设NKDM=4ADH=a,则

^DMK=^DAH=90°-a,过点M作MRJ.于R,连接RD,利用直角三角形斜边上的中线的

性质，三角形的中位线的性质和三角形的内角和定理及其推论得到NNDR=44DH=a,通过证

明△DNRm^DAH,求得NR=AH=C，在RtAMRN中，利用勾股定理和浙江省举行的边角关

系定理得到£。印=看过点。作。S14N于点S,过点N作NL1AW于L,过点。作。V14D于V,

过点P作PVK1EN于W,利用勾股定理和直角三角形的边角关系定理求得相关线段的长度，最后

利用PQ=EQ-EP求得结论.

本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形

的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，三角形的中位线，本题综合性

较强，添加恰当的辅助线是解题的关键.

27.【答案】解：(1)・.,点A的横坐标为1,且为抛物线的顶点,

由顶点坐标公式得：％=-及=-?■=一,=1,

2a2x12

解得：b=-2；

(2)y=x=—2x+c,

V8。〃%轴，

根据点的对称性，。点的横坐标为-1,

・・・D(T3+c),DE=1,

•・•直线y=2