人教B版（新）必修三 向量的数量积与三角恒等变换 三角恒等变换 两角和与差的余弦

第八章向量的数量积与三角恒等变换《两角和与差的余弦》课件学习目标1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明问题的方法，进一步体会向量法的作用.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式.3.会用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数式的求值、化简.重点：应用两角和与差的余弦公式求值、化简、证明.难点：两角差的余弦公式的推导及两角和与差的余弦公式的综合应用.知识梳理一、两角差的余弦公式

此式称为两角差的余弦公式，通常简记为Cα-β.提示：（1）在公式Cα-β中，α，β对任意角都成立.（2）公式的结构特征：左边是两角差的余弦，右边是这两角余弦之积与正弦之积的和，口诀记忆为“余余正正，符号不同.”

（cos

α，sin

α）（cos

β，sin

β）

二、两角和的余弦公式思考：在公式Cα-β中α，β可以是任意角，由此你能

推出两角和的余弦公式吗？证明：因为α+β＝α-（-β），所以cos（α+β）＝cos［α-（-β）］

＝cos

αcos（-β）+sinαsin（-β）＝cosαcosβ-sinαsinβ.

两角和的余弦公式Cα+β：公式结构特征的对比识记：

对于两角和与差的余弦公式要注意以下几点（1）公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是

几个角的组合.（2）结构特征：左边“两角和（差）的余弦”，右边是“两角的余弦积与正弦积的差（和）”.可记忆为：“余余正正符号相反”，“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和的余弦展开后的两项之间用“-”，两角差的余弦展开后的两项之间用“+”.（3）有了公式Cα+β，Cα-β，我们只要知道cosα，cosβ，sinα，

sinβ的值，就可求得cos（α+β），cos（α-β）的值.（4）要注意公式的正用、逆用.例如：

正用：cos（2α+β）＝cos［α+（α+β）］

＝cosαcos（α+β）-sinαsin（α+β）；

cos（2α+β）＝cos2αcosβ-sin2αsinβ.

逆用：cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα

＝cos［（α+β）-α］＝cosβ.常考题型一、化简与求值例1

求值：（1）sin460°·sin（-160°）+cos560°·cos（-280°）；

（2）sin285°.【解题提示】（1）先利用诱导公式将角变形，使待求的式子

转化为符合两角差的余弦公式形式，逆用公式求解；（2）利用诱导公式将角变形后再拆分成两特殊角差的形式，

用两角差的余弦公式求解.1.求值

◆含非特殊角的三角函数式求值的解法（1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，用公式直接求值.（2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和与差的正余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值.

A【解题提示】将8°转化为15°-7°，与另外两角统一，运用两角差的余弦公式展开化简.2.化简◆含非特殊角的商式化简方法（1）观察商式中各角，找出彼此间的关系，如其中一角是另外两角的和（差），或其中一角是另外一角与特殊角的和（差）等.（2）运用两角和（差）的余弦公式及诱导公式，把商式转化为分子分母有公因式的形式，然后约分，或者出现特殊角的三角函数值.（3）最后的结果是具体数值或形式最简的表达式.

二、条件求值

A训练题D2.给值求角◆给值求角问题的解答步骤第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角.

【注意】若待求角的范围过大，则不能唯一确定角的值，此时就要根据三角函数值的大小进一步缩小角的范围，使三角函数值与角之间一一对应，即可得出唯一的角.

训练题

【误区警示】本题容易因忽视角的范围和x与y的大小导致求得角的范围过大而出错.

◆选三角函数值的方法求角应当先求角的某一个三角函数值，至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内，这样可以使求得的角唯一，而不需要讨论解的情况.

三、与平面向量的综合

◆向量的数量积的计算方法（1）利用定义求解，此时需要知道向量的模和向量的夹角；（2）利用坐标求解，把数量积的计算归结为坐标的运算，必要时需建立直角坐标系；（3）利用基底向量来计算，也就是用基底向量来表示未知的向量，从而未知向量的数量积的计算可归结为基底向量的数量积的计算；（4）靠边靠角，也就是利用向量的线性运算，把未知向量转化到题设中的角或边对应的向量.训练题