人教课标实验A版选修2-3随机变量及其分布　正态分布

2.4正态分布产品的尺寸是产品质量的重要指标之一复习100个产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535

产品尺寸（mm)频率组距复习200个产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535

产品尺寸（mm)频率组距复习样本容量增大时频率分布直方图频率组距产品尺寸(mm)总体密度曲线复习产品尺寸(mm)总体密度曲线高尔顿板11总体密度曲线0YX导入产品尺寸的总体密度曲线就是或近似地是以下函数的图象：1定义：函数式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，称f(x)的图象称为正态曲线cdab平均数XY

若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率为:2.正态分布的定义:如果对于任何实数a<b,随机变量X满足:

则称为X的正态分布.正态分布由参数μ、σ唯一确定.正态分布记作N（μ，σ2）.其图象称为正态曲线.如果随机变量X服从正态分布，则记作X~N（μ，σ2）正态分布Normaldistribution德国数学家Gauss发现最早用于物理学、天文学Gaussiandistribution

在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；

在测量中，测量结果；

在生物学中，同一群体的某一特征；……；

在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水位；

总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。正态分布在概率和统计中占有重要地位。正态总体的函数表示式当μ=0，σ=1时标准正态总体的函数表示式012-1-2xy-33μ=0σ=1标准正态曲线（1）当=时,函数值为最大.(3)的图象关于对称.（2）的值域为

（4）当∈时为增函数.当∈时为减函数.正态总体的函数表示式μ（－∞，μ]（μ，+∞）012-1-2xy-33μ=0σ=1标准正态曲线=μ方差相等、均数不等的正态分布图示

3

1

2σ=0.5μ=

-1μ=0

μ=

1均数相等、方差不等的正态分布图示

=0.5=1=2μ=0

正态概率密度曲线图性质

(1)关于对称;(2)在处曲线最高;(3)若固定,随值不同,曲线位置不同,故称为位置参数；

(4)若固定,大时,曲线矮而胖；小时,曲线瘦而高,故称为形状参数。动画正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于1。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,

)＝S(-,-X)

正态曲线下的面积规律对称区域面积相等。S(-x1,-x2)-x1

-x2

x2

x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)

正态曲线下的面积规律

-4-3-2-101234-3-2-++2+3

S(-,

-3

)=0.0013S(-,

-2

)=0.0228S(-,

-1

)=0.1587S(-,

)=0.5S(-,

+3

)=0.9987S(-,

+2

)=0.9772S(-,

+1

)=0.6587S(-,)=1正态曲线下的面积规律

-4-3-2-101234-3-2-++2+3

1-S(

-3

,+3)=0.00261-S(

-2

,+2)=0.04561-S(

-

,+)=0.3174正态曲线下的面积规律

-4-3-2-101234-3-2-++2+3

S(-,

-3

)=0.0013S(-,

-2

)=0.0228S(-,

-1

)=0.1587S(-,

)=0.5S(-,

+3

)=0.9987S(-,

+2

)=0.9772S(-,

+1

)=0.6587S(-,)=1正态曲线下的面积规律-3-2-++2+3

S(-,

-3

)=0.0013S(-,

-2

)=0.0228S(-,

-1

)=0.1587S(-,

-0

)=0.5S(

-3

,

-2

)=0.0115S(

-2

,

-1

)=0.1359S(

-1

,

)=0.3413

-4-3-2-101234正态曲线下的面积规律-3-2-++2+3

S(-,

-3

)=0.0013S(-,

-2

)=0.0228S(-,

-1

)=0.1587S(-,

-0

)=0.5S(

-3

,

-2

)=0.0115S(

-2

,

-1

)=0.1359S(

-1

,

)=0.3413-3-2-10123正态曲线下的面积规律-3-++3

-2+2

S(

-3

,

-2

)=0.0115S(

-2

,

-1

)=0.1359S(

-1

,

)=0.3413S(-,

-3

)=0.0013S(-,

-2

)=0.0228S(-,

-1

)=0.1587S(-,

-0

)=0.5正态曲线下的面积规律

-1.96

+1.96

2.5%2.5%95%正态曲线下的面积规律

-1.64

+1.64

5%5%90%

正态曲线下的面积规律

-2.58

+2.58

0.5%0.5%99%正态曲线下的面积规律正态曲线下面积总和为1；正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等；对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相等；

-1.64

～+1.64

内面积为90%；

-1.96

～+1.96

内面积为95%；

-2.58

～+2.58

内面积为99%。小于

-3

的面积为0.13%;则在区间(

-3,+3)的面积为99.74%小于

-2

的面积为2.28%;则在区间(

-3,+3)的面积为95.44%小于

-

的面积为15.87%。则在区间(

-3,+3)的面积为68.26%估计频数分布质量控制正态分布的应用:（7）假设检验方法的基本思想①小概率事件的含义：

我们从上图看到，正态总体在以外取值的概率只有4.6％，在以外取值的概率只有0.3％。

由于这些概率值很小（一般不超过5％），通常称这些情况发生为小概率事件。即事件在一次试验中几乎不可能发生。例4：某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ服从正态分布，质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？解：()在，正态分布25.04()5.03×4,5.03×4+-N概率只有0.003,之外取值的

这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件.据此可认为该批零件是不合格的。估计频数分布某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布，其均数为3150g，标准差为350g。若以2500g作为低体重儿，试估计低体重儿的比例。首先计算标准离差：查标准正态分布表:

(-1.86)=0.0314结果：估计低体重儿的比例为3.14%.

质量控制质量控制的意义监控日常工作、科研过程、生产过程中误差的变化，分析变化的趋势是否出现异常，从而引起警觉和注意，以便分析原因，并及时采取措施。控制实验的检验误差以作为上、下警戒线

为控制线

根据正态分布的原理制定质量控制图(qualitycontrolchart)UCL(上控制限)UWL(上警戒限)CL(中心线)LWL(下警戒限)LCL(下控制限)样本编号、取样时间M+3SDM+2SDMM-2SDM-3SD质量控