山西省晋中市四校2024届高三4月质量检查数学试题试卷

山西省晋中市四校2024届高三4月质量检查数学试题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，则（）A． B． C． D．2．已知集合,，则A． B．C． D．3．如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．4．已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．5．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．16．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的-一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的关系为（）A． B．C． D．7．已知正四面体的棱长为，是该正四面体外接球球心，且，，则（）A． B．C． D．8．在中，为边上的中线，为的中点，且，，则（）A． B． C． D．9．若复数（）在复平面内的对应点在直线上，则等于()A． B． C． D．10．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]11．若双曲线的离心率，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A． B．2 C． D．112．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．函数在上单调递减B．函数在上单调递增C．函数的对称中心是D．函数的对称轴是二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．定义在R上的函数满足：①对任意的，都有；②当时，，则函数的解析式可以是______________.14．已知为双曲线的左、右焦点，过点作直线与圆相切于点，且与双曲线的右支相交于点，若是上的一个靠近点的三等分点，且，则四边形的面积为_______．15．如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为.16．如图，在平行四边形中，，,则的值为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，记不等式的解集为.（1）求；（2）设，证明：.18．（12分）已知函数，其中．（1）讨论函数的零点个数；（2）求证：．19．（12分）在本题中，我们把具体如下性质的函数叫做区间上的闭函数：①的定义域和值域都是；②在上是增函数或者减函数.（1）若在区间上是闭函数，求常数的值；（2）找出所有形如的函数（都是常数），使其在区间上是闭函数.20．（12分）椭圆：（）的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线恒过一个定点.21．（12分）已知函数，其中.（1）当时，求在的切线方程；（2）求证：的极大值恒大于0.22．（10分）已知圆外有一点，过点作直线．(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；(2)当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

分别解出集合然后求并集.【题目详解】解：，故选：D【题目点拨】考查集合的并集运算，基础题.2、D【解题分析】

因为,,所以,,故选D．3、A【解题分析】

分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设=所以当时，上式取最小值，选A.点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。4、D【解题分析】

求出命题不等式的解为，是的必要不充分条件，得是的子集，建立不等式求解.【题目详解】解：命题，即:，是的必要不充分条件，，，解得．实数的取值范围为．故选：．【题目点拨】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验．5、A【解题分析】

由可确定集合中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【题目详解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4种情况，所以选A项.【题目点拨】考查集合并集运算，属于简单题.6、A【解题分析】

设椭圆的半长轴长为，双曲线的半长轴长为，根据椭圆和双曲线的定义得：，解得，然后在中，由余弦定理得：，化简求解.【题目详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的长半轴长为，由椭圆和双曲线的定义得：，解得，设，在中，由余弦定理得：，化简得，即.故选：A【题目点拨】本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7、A【解题分析】

如图设平面，球心在上，根据正四面体的性质可得，根据平面向量的加法的几何意义，重心的性质，结合已知求出的值.【题目详解】如图设平面，球心在上，由正四面体的性质可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中，，，，，，因为为重心，因此，则，因此，因此，则，故选A.【题目点拨】本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题.8、A【解题分析】

根据向量的线性运算可得,利用及，计算即可.【题目详解】因为,所以，所以，故选：A【题目点拨】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.9、C【解题分析】

由题意得，可求得，再根据共轭复数的定义可得选项.【题目详解】由题意得，解得，所以，所以，故选：C.【题目点拨】本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题.10、B【解题分析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.11、C【解题分析】

根据双曲线的解析式及离心率，可求得的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.【题目详解】双曲线的离心率，则，，解得，所以焦点坐标为，所以，则双曲线渐近线方程为，即，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得，故选：C.【题目点拨】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.12、B【解题分析】

根据图象求得函数的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.【题目详解】由图象可得，函数的周期，所以.将点代入中，得，解得，由，可得，所以.令，得，故函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，故A正确；令，得，故函数在上单调递增.当时，函数在上单调递增，故B错误；令，得，故函数的对称中心是，故C正确；令，得，故函数的对称轴是，故D正确.故选：B.【题目点拨】本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（或，答案不唯一）【解题分析】

由可得是奇函数，再由时，可得到满足条件的奇函数非常多，属于开放性试题.【题目详解】在中，令，得；令，则，故是奇函数，由时，，知或等，答案不唯一.故答案为：（或，答案不唯一）.【题目点拨】本题考查抽象函数的性质，涉及到由表达式确定函数奇偶性，是一道开放性的题，难度不大.14、60【解题分析】

根据题中给的信息与双曲线的定义可求得与,再在中,由余弦定理求解得,继而得到各边的长度,再根据计算求解即可.【题目详解】如图所示：设双曲线的半焦距为.因为,,,所以由勾股定理,得.所以.因为是上一个靠近点的三等分点,是的中点,所以.由双曲线的定义可知：,所以.在中,由余弦定理可得,所以,整理可得.所以,解得.所以.则.则,得.则的底边上的高为.所以.故答案为：60【题目点拨】本题主要考查了双曲线中利用定义与余弦定理求解线段长度与面积的方法,需要根据双曲线的定义表示各边的长度,再在合适的三角形里面利用余弦定理求得基本量的关系.属于难题.15、.【解题分析】.16、【解题分析】

根据ABCD是平行四边形可得出，然后代入AB＝2，AD＝1即可求出的值．【题目详解】∵AB＝2，AD＝1，∴＝1﹣4＝﹣1．故答案为：﹣1．【题目点拨】本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析【解题分析】

（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集.（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立.【题目详解】（1）解：，由，解得，故.（2）证明：因为，所以，，所以，所以.【题目点拨】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.18、（1）时，有一个零点；当且时，有两个零点；（2）见解析【解题分析】

（1）利用的导函数，求得的最大值的表达式，对进行分类讨论，由此判断出的零点的个数.（2）由，得到和，构造函数，利用导数证得，即有，从而证得，即.【题目详解】（1），∴当时，，当时，在上递增，在上递减，.令在上递减，在上递增，，当且仅当时取等号．①时，有一个零点；②时，，此时有两个零点；③时，，令在上递增，，此时有两个零点；综上:时，有一个零点;当且时，有两个零点;（2）由（1）可知：，令在上递增，．【题目点拨】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）依据新定义，的定义域和值域都是，且在上单调，建立方程求解；（2）依据新定义，讨论的单调性，列出方程求解即可。【题目详解】（1）当时，由复合函数单调性知，在区间上是增函数，即有，解得；同理，当时，有，解得，综上，。（2）若在上是闭函数，则在上是单调函数，①当在上是单调增函数，则，解得，检验符合；②当在上是单调减函数，则，解得，在上不是单调函数，不符合题意。故满足在区间上是闭函数只有。【题目点拨】本题主要考查学生的应用意识，利用所学知识分析解决新定义问题。20、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程；（2）设点，，，由，，结合斜率公式化简得出，，即，满足，由的任意性，得出直线恒过一个定点.【题目详解】（1）依题意得，解得即椭圆：；（2）设点，，其中，由，得，即，注意到，于是，因此，满足由的任意性知，，，即直线恒过一个定点.【题目点拨】本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题.21、（1）（2）证明见解析【解题分析】

（1）求导，代入，求出在处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；（2）分类讨论得出极大值即可判断.【题目详解】（1），当时，，，则在的切线方程为；（2）证明：令，解得或，①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，∴函数无极值；②当时，令，解得，令，解得或，∴函数在上单调递增，在，上单调递减，∴；③当时，令，解得，令，解得或，∴函数在上单调递增，在，上单调递减，∴，综上，函数的极大值恒大于0.【题目点拨】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数