2024届新教材二轮复习 　全概率公式 学案

2024届新教材二轮复习全概率公式学案素养导引1.结合古典概型,了解全概率公式的推导过程.(数学抽象)2.会利用全概率公式计算相关概率.(数学运算)3.了解贝叶斯公式以及简单实际应用.(数学抽象、数学建模)一、全概率公式一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B|A【批注】全概率公式可以将一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的加法公式求出最终结果,起到化难为易的效果.二、贝叶斯公式设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有P(Ai|B)=P(Ai)P(【批注】贝叶斯公式充分体现了P(A|B),P(A),P(B),P(B|A),P(B|A),P(AB)之间的转化.即P(A|B)=P(AB)P(B),P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A),P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P[诊断]1.(教材改编题)两批同种规格的产品,第一批占40%,合格品率为95%;第二批占60%,合格品率为96%.将两批产品混合,从混合产品中任取一件.则这件产品是次品的概率为 ()A.95.6%B.42.4%C.59.6%D.4.4%【解析】选D.40%×(1-95%)+60%×(1-96%)=4.4%.2.(教材改编题)某地区居民的肝癌发病率为0.1%,现用甲胎蛋白法进行普查,医学研究表明,化验结果是可能存有误差的.已知患有肝癌的人其化验结果99.9%呈阳性,而没有患肝癌的人其化验结果0.1%呈阳性,现在某人的化验结果呈阳性,则他真的患肝癌的概率是 ()A.0.999 B.0.9C.0.5 D.0.1【解析】选C.记事件A表示“某人患肝癌”,事件B表示“化验结果呈阳性”,由题意可知P(A)=11000,P(BA)=999P(BA)=11000所以P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=999106×2=9995×105.现在某人的化验结果呈阳性,则他真的患肝癌的概率P(AB)=P(学习任务一全概率公式及应用(数学运算)【典例1】(1)已知P(A)=0.6,P(B|A)=0.4,P(B|A)=0.3,则P(B)= ()A.0.36 B.0.24 C.0.18 D.0.30【解析】选A.P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=0.6×0.4+0.4×0.3=0.36.(2)设甲袋中有3个白球和4个红球,乙袋中有1个白球和2个红球.①从甲袋中取4个球,求这4个球中恰好有2个红球的概率;②先从乙袋中取2个球放入甲袋,再从甲袋中取2个球,求从甲袋中取出的是2个红球的概率.【解析】①依题意从7个球中取4个球有C74其中4个球中恰好有2个红球,即恰好有2个红球、2个白球,有C32C42种取法,所以4个球中恰好有2个红球的概率P②记A1为从乙袋中取出1个红球、1个白球,A2为从乙袋中取出2个红球,B为从甲袋中取出2个红球,所以P(A1)=C21C32=23,P(A所以P(B|A1)=C52C92=518,P(B|A所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=23×518+13×5【思维提升】全概率公式及应用(1)判断所求问题是否为全概率类型;(2)若是,正确假设事件组{Ai}及事件B;(3)计算P(Ai),P(B|Ai);(4)将(3)所得结果代入全概率公式计算.【即学即练】已知P(B)=0.3,P(B|A)=0.9,P(B|A)=0.2,则P(A)= ()A.17 B.37 C.0.33 D.0【解析】选A.由全概率公式可得:P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A),则0.3=P(A)×0.9+(1-P(A))×0.2,解得P(A)=17学习任务二贝叶斯公式及应用(数学运算)【典例2】(1)某批产品来自A,B两条生产线,A生产线占60%,次品率为4%;B生产线占40%,次品率为5%,现随机抽取一件进行检测,若抽到的是次品,则它来自A生产线的概率是 ()A.12 B.611 C.35 【解析】选B.因为抽到的次品可能来自A,B两条生产线,设事件A表示“抽到的产品来自A生产线”,事件B表示“抽到的产品来自B生产线”,事件C表示“抽到的一件产品是次品”,则P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(C|A)=0.04,P(C|B)=0.05,由全概率公式得P(C)=P(A)P(CA)+P(B)P(CB)=0.6×0.04+0.4×0.05=0.044,所以它来自A生产线的概率是P(AC)=P(AC)P(C)(2)临床诊断记录表明,利用某种试验检查癌症具有如下的效果:对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占95%,对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者占96%.现在用这种试验对某市居民进行癌症普查,如果该市癌症患者数约占居民总数的0.4%,求:①试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率;②试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率.【解析】①设事件A是试验结果是阳性反应,事件B是被检查者患有癌症,则P(B)=0.004,P(AB)=0.95,P(AB)=0.P(B)=0.996,P(AB)=0.05,P(AB)=0由贝叶斯公式得P(BA)=P(B)P(A②P(BA)=P(B)P(【思维提升】贝叶斯公式及应用(1)若随机试验可以看成分两个阶段进行,第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率.(2)利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步:利用全概率公式计算P(A),即P(A)=∑i=1nP(Bi)P(A|第二步:计算P(ABi),可利用P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)求解;第三步:代入P(Bi|A)=P(A【即学即练】1.一道考题有4个选项,要求考生将其中的一个正确选项选择出来.某考生知道正确选项的概率为13,而乱猜的概率为23.在乱猜时,4个选项都有机会被选择,如果他答对了,则他确实知道正确选项的概率是 (A.13 B.23 C.34 【解析】选B.设事件A表示“考生答对”,事件B表示“考生知道正确选项”,由全概率公式得,P(A)=P(B)P(AB)+P(B)P(AB)=13×1+23×14由贝叶斯公式得,P(BA)=P(B)P(2.在数字通讯中,信号是由数字0和1的长序列组成的,由于有随机干扰,发送的信号0或1各有可能错误接收为1或0.现假定发送信号为0和1的概率均为12,又已知发送0时,接收为0或1的概率分别为0.8和0.2;发送信号为1时,接收为1或0的概率分别为