专题13 一元一次方程的概念及一元一次方程的解法（解析版）

专题13一元一次方程的概念及一元一次方程的解法（解析版）第一部分典例剖析及变式训练类型一一元一次方程的概念典例1已知下列方程：①x2+1＝0；②x＝0；③1x+x＝3；④x+y＝0；⑤x3=6x﹣2；⑥0.2x＝4；⑦2x+1﹣3＝2（A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【思路引领】正确理解一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，再根据一元一次方程的定义对所给方程进行分析并作出判断，可得出结论．【解答】解：①x2+1＝0只含有一个未知数，但未知数的次数是2，是一元二次方程，故本小题错误；②x＝0只含有一个未知数，且未知数的次数是1，是一元一次方程，故本小题正确；③1x+x＝3是分式方程，化简得x2﹣3x＝1，只含有一个未知数，但未知数的次数是④x+y＝0是二元一次方程，故本小题错误；⑤x3=6x﹣⑥0.2x＝4是一元一次方程，故本小题正确；⑦经过化简后为﹣2＝﹣2，故本小题错误．一元一次方程的有②⑤⑥．故答案为：B．【总结提升】本题主要考查了一元一次方程的判断，熟练掌握一元一次方程的定义是关键．变式训练1．已知关于x的一元一次方程15x3m+2=0，则m＝【思路引领】先根据一元一次方程的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元一次方程15∴3m+2＝1，解得m=-1故答案为：-1【总结提升】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键．2．（2020秋•崇川区校级期中）已知方程（m﹣4）x+2＝2009是关于x的一元一次方程，则m的取值范围是m≠4．【思路引领】观察方程知，未知数的系数为m﹣4，若方程是一元一次方程，需保证未知数的系数不为0，由此可知m﹣4≠0，m≠4．【解答】解：∵方程（m﹣4）x+2＝2009是关于x的一元一次方程，∴m﹣4≠0，解得：m≠4．故答案为：m≠4．【总结提升】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．3．（2022秋•礼泉县期末）若（m﹣2）x|m|﹣1＝5是关于x的一元一次方程，则m的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【思路引领】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．【解答】解：由题意可知：m-2≠0|m|-1=1解得：m＝﹣2，故选：A．【总结提升】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是熟练运用一元一次方程的定义，本题属于基础题型．类型二一元一次方程的解的概念典例2（2023秋•集美区校级期中）检验下列各数是不是方程3x（1）x＝2；（2）x＝﹣1．【思路引领】（1）将x＝2直接代入方程的左右进而判断即可；（2）将x＝1直接代入方程的左右进而判断即可．【解答】解：（1）当x＝2时，左边=32，右边＝∵左边≠右边，∴x＝2不是方程的解；（2）当x＝﹣1时，左边＝﹣3，右边＝﹣3，∵左边＝右边，∴x＝﹣1是方程的解．【总结提升】此题主要考查了方程的解，正确计算得出方程左右的值是解题关键．变式训练1．（2020秋•渝中区校级期中）下列方程中，解是x＝3的是（）A．3x﹣2＝6 B．6﹣x=23xC．2（x+1）＝x+4 D．12（x﹣1）﹣5＝【思路引领】将x＝3代入，找出能满足左边＝右边的方程．【解答】解：A、当x＝3时，3x﹣2＝7，原方程的左边与右边不相等，不故本选项不合题意；B、当x＝3时，6﹣x＝3，23x+1＝3C、当x＝3时，2（x+1）8，x+4＝7，原方程的左边与右边不相等，不故本选项不合题意；D、当x＝3时，12（x﹣1）﹣5＝﹣4故选：B．【总结提升】本题考查了方程的解，使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．类型三利用一元一次方程的解的概念求字母系数的值典例3如果关于x的方程5x+3a＝﹣3的解是x＝﹣6，那么a＝9．【思路引领】直接把x的值代入方程，进而得出a的值．【解答】解：∵关于x的方程5x+3a＝﹣3的解是x＝﹣6，∴5×（﹣6）+3a＝﹣3，解得：a＝9．故答案为：9．【总结提升】此题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题关键．变式训练1．若关于x的方程x-k3=1与2x+1＝3同解，则2k+3的值是﹣1【思路引领】求出第二个方程的解得到x的值，代入第一个方程计算即可求出k的值．【解答】解：方程2x+1＝3，移项合并得：2x＝2，解得：x＝1，把x＝1代入x-k3=1得：1﹣k＝3，即k＝﹣则2k+3＝﹣4+3＝﹣1．故答案为：﹣1．【总结提升】此题考查了同解方程，解决的关键是能够求解关于x的方程，要正确理解方程解的含义．2．（2023秋•夏津县月考）m取什么整数时，关于x的方程4x+m（x﹣6）＝2（2﹣3m）的解是正整数．并求出方程的解．【思路引领】根据方程的解是正整数，可得（4﹣m）是4的约数，可得m的值，根据m的值，可得答案．【解答】解：化简，得（4+m）x＝4，解得x=4关于x的方程4x+m（x﹣6）＝2（2﹣3m）的解是正整数，得m＝0，m＝﹣2，m＝﹣3，当m＝0时，x＝1，当m＝﹣2时，x＝2，当m＝﹣3时，x＝4．综上所述：x＝1，x＝2，x＝4．【总结提升】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解是正整数得出（4﹣m）是4的约数是解题关键．类型四等式的性质典例4下列说法中正确的是（）A．在等式ax＝bx两边除以x，可得a＝b B．由等式a2＝b2，一定有a＝b C．在等式a3=b3两边除以3，得到D．由等式5x＝4x+1，可得x＝1【思路引领】根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．【解答】解：A、当x＝0时，等式ax＝bx两边除以x无意义，故A错误；B、等式a2＝b2，一定有a＝b或a＝﹣b，故B错误；C、等式a3=b3两边除以3，得到D、等式5x＝4x+1，两边都减4x，得x＝1，故D正确；故选：D．【总结提升】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．类型五解一元一次方程典例5（2022春•南关区校级月考）（1）2+24﹣x＝3x；（2）y﹣320﹣2y＝10；（3）3x﹣[1﹣（2+3x]＝7；（4）1-2x-5（5）2x-13-x+16（6）2（x﹣2）﹣3（4x﹣1）＝9（1﹣x）．【思路引领】（1）移项、合并同类项、系数化为1，即可求解；（2）移项、合并同类项、系数化为1，即可求解；（3）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解；（4）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解；（5）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解；（6）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解．【解答】解：（1）2+24﹣x＝3x，3x+x＝2+24，4x＝26，x=13（2）y﹣320﹣2y＝10，y﹣2y＝10+320，﹣y＝330，y＝﹣330；（3）3x﹣[1﹣（2+3x]＝7，3x﹣（1﹣2﹣3x）＝7，3x﹣（﹣1﹣3x）＝7，3x+1+3x＝7，6x＝6，x＝1；（4）1-2x-512﹣2（2x﹣5）＝3（3﹣x），12﹣4x+10＝9﹣3x，﹣4x+3x＝9﹣12﹣10，﹣x＝﹣13，x＝13；（5）2x-13-x+162（2x﹣1）﹣（x+1）＝6（x﹣2），4x﹣2﹣x﹣1＝6x﹣12，4x﹣6x﹣x＝﹣12+2+1，﹣3x＝﹣9，x＝3；（6）2（x﹣2）﹣3（4x﹣1）＝9（1﹣x），2x﹣4﹣12x+3＝9﹣9x，2x﹣12x+9x＝9+4﹣3，﹣x＝10，x＝﹣10．【总结提升】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．第二部分专题提优训练1．（2023秋•苏州校级期中）下列判断错误的是（）A．若a＝b，则a﹣3＝b﹣3 B．若a＝b，则7a﹣1＝7b﹣1 C．若a＝b，则acD．若ac2＝bc2，则a＝b【思路引领】根据等式的基本性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A、若a＝b，则a﹣3＝b﹣3，正确；B、若a＝b，则7a﹣1＝7b﹣1，正确；C、若a＝b，则acD、当c＝0时，若ac2＝bc2，a就不一定等于b，故本选项错误；故选：D．【总结提升】此题考查了等式的性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．2．（2016秋•太仓市校级月考）下列去括号中正确的是（）A．3x﹣（2x﹣1）＝4，得3x﹣2x﹣1＝4 B．﹣4（x+1）+3＝x，得﹣4x+4+3＝x C．2x+7（x﹣1）＝﹣9x+5，得2x﹣7x﹣7＝﹣9x+5 D．3﹣[2x﹣4（x+1）]＝2，得3﹣2x+4x+4＝2【思路引领】各方程变形得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、3x﹣（2x﹣1）＝4，得3x﹣2x+1＝4，错误；B、﹣4（x+1）+3＝x，得﹣4x﹣4+3＝x，错误；C、2x+7（x﹣1）＝﹣9x+5，得2x+7x﹣7＝﹣9x+5，错误；D、3﹣[2x﹣4（x+1）]＝2，得3﹣2x+4x+4＝2，正确，故选：D．【总结提升】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．3．（2022春•宜阳县期中）解方程3x-12A．5（3x﹣1）＝2（4x+2）﹣1 B．2（3x﹣1）＝5（4x+2）﹣1 C．5（3x﹣1）＝2（4x+2）﹣2 D．5（3x﹣1）＝2（4x+2）﹣10【思路引领】利用去分母的法则写出正确的结论即可．【解答】解：去分母得：5（3x﹣1）＝2（4x+2）﹣10，故选：D．【总结提升】本题主要考查了解一元一次方程，正确利用去分母的法则进行运算是解题的关键．4．（2020秋•安新县期末）已知关于x的方程3x+a＝0的解比关于x的方程5x﹣a＝0的解小1，则a的值为（）A．-18 B．18 C．-15【思路引领】分别解出关于x的方程3x+a＝0的解和方程5x﹣a＝0的解，然后根据已知条件“关于x的方程3x+a＝0的解比方程5x﹣a＝0的解大1”列出关于a的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：由方程3x+a＝0，得x=-a由方程5x﹣a＝0，得x=a又∵方程3x+a＝0的解比方程5x﹣a＝0的解小1，∴a5-（-a解得a=15故选：D．【总结提升】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．5．若关于x的方程2（x﹣3）+a＝b（x﹣1）是一元一次方程，则b≠2．【思路引领】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．【解答】解：原方程可化为：（2﹣b）x+a+b＝0，由一元一次方程的特点得2﹣b≠0，解得：b≠2．故填：≠2．【总结提升】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不是0，特别容易忽视的一点就是系数不是0的条件．这是这类题目考查的重点．6．已知x＝﹣3是关于x的方程mx﹣3＝8x+6的解，则m＝5．【思路引领】把x＝3代入方程即可得到一个关于m的方程，解方程即可求解．【解答】解：把x＝﹣3代入方程得：﹣3m﹣3＝﹣24+6，解得：m＝5．故答案为：5．【总结提升】本题考查了一元一次方程的解的定义，理解定义是关键．7．已知关于x的方程12x＝2与3x+mx＝8的解相同，则m＝﹣1【思路引领】首先求出一元一次方程12x＝2的解，再将其解代入3x+mx＝8中，你有思路了吗？接下来解关于m的方程即可得到m【解答】解：解方程12x＝2可得x＝4将x＝4代入3x+mx＝8中，可得12+4m＝8，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．【总结提升】本题考查了同解方程，先求出第二个方程，把方程的解代入第一个方程得出关于m的一元一次方程是解题关键．8．已知关于x的方程3x+a＝0的解比关于x的方程5x﹣a＝0的解小1，那么a的值为158【思路引领】分别解出关于x的方程3x+a＝0的解和方程5x﹣a＝0的解，然后根据已知条件“关于x的方程3x+a＝0的解比方程5x﹣a＝0的解大1”列出关于a的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：由方程3x+a＝0，得x=-a由方程5x﹣a＝0，得x=a又∵方程3x+a＝0的解比方程5x﹣a＝0的解小1，∴a5-（-a解得a=15故答案为：158【总结提升】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．9．（2022秋•海陵区校级期末）如果方程x-43-8=-x+22的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，则代数式a-1【思路引领】先解关于x的方程得出x＝10，将其代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1求得a的值，继而代入计算可得．【解答】解：解方程x-43-8=-x+22得将x＝10代入4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1得：40﹣3a﹣1＝60+2a﹣1，解得：a＝﹣4，则原式=-15故答案为：-15【总结提升】本题主要考查方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念和解一元一次方程的能力．10．（2021秋•广饶县期末）当x＝﹣14时，式子3（x﹣2）和4（x+3）﹣4的值相等．【思路引领】先列出方程，再根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．【解答】解：根据题意得，3（x﹣2）＝4（x+3）﹣4，去括号得，3x﹣6＝4x+12﹣4，移项得，3x﹣4x＝12﹣4+6，合并同类项得，﹣x＝14，系数化为1得，x＝﹣14．故答案为：﹣14．【总结提升】本题考查了一元一次方程的解法，注意移项要变号．11．（2020秋•安吉县期中）如果关于x的方程3x﹣1＝kx的解为x＝1，那么k的值为​2．【思路引领】将x＝1代入3x﹣1＝kx，求出k的值即可．【解答】解：将x＝1代入3x﹣1＝kx，∴3﹣1＝k，∴k＝2，故答案为：2．【总结提升】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解与方程的关系是解题的关键．12．（2022秋•香坊区校级月考）比方程2（x+7）＝4的解的4倍少5的数是﹣25．【思路引领】求出方程2（x+7）＝4的解，即可得出答案．【解答】解：2（x+7）＝4，x+7＝2，x＝﹣5，4×（﹣5）﹣5＝﹣20﹣5＝﹣25，即比方程2（x+7）＝4的解的4倍少5的数是﹣25．故答案为：﹣25．【总结提升】本题考查了一元一次方程的解，求出方程2（x+7）＝4的解是解答本题的关键．13．（2015春•衡阳校级月考）若3xm+3y2n与2x2m﹣2yn+1为同类项，则m＝5．【思路引领】由同类项的定义可知，x，y的指数分别相同，即m+3＝2m﹣2，2n＝n+1，求出m，n的值．【解答】解：∵3xm+3y2n与2x2m﹣2yn+1为同类项，∴m+3＝2m﹣2，2n＝n+1，∴m＝5，n＝1，故答案为：5．【总结提升】此题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解本题的关键．14．（2019•市中区校级开学）若|a﹣5|+（a+b﹣3）2＝0，则a＝5，b＝﹣2．【思路引领】根据非负数的性质，把此题转化成方程组a-5=0a+b-3=0【解答】解：∵|a﹣5|+（a+b﹣3）2＝0，∴a-5=0a+b-3=0∴a=5b=-2故答案为5，﹣2．【总结提升】本题主要考查的是非负数的性质，即几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．15．（2021春•偃师市期中）（k﹣3）x|k|﹣2＝2是关于x的一元一次方程，则k＝﹣3．【思路引领】根据题意首先得到：|k|﹣2＝1，解此绝对值方程，求出k的两个值．分别代入所给方程中，使系数不为0的方程，解即可；如果系数为0，则不合题意，舍去．【解答】解：根据题意得：|k|-2=1k-3≠0解得：k＝﹣3．故答案为：﹣3．【总结提升】本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1．16．（2021秋•三河市期末）关于x的一元一次方程（k﹣1）x﹣8＝0的解是﹣2，则k＝﹣3．【思路引领】代入x＝﹣2，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．【解答】解：将x＝﹣2代入原方程得﹣2（k﹣1）﹣8＝0，解得：k＝﹣3，∴k的值为﹣3．故答案为：﹣3．【总结提升】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．17．（2015秋•海安市期中）关于x的方程﹣4+ax＝3x+b有无数个解，则a、b的值分别是（）A．﹣3；4 B．0；0 C．3；﹣4 D．3；4【思路引领】方程移项合并后，根据有无数个解确定出a与b的值即可．【解答】解：方程移项合并得：（a﹣3）x＝b+4，由方程有无数个解，得到a﹣3＝0，b+4＝0，解得：a＝3，b＝﹣4，故选：C．【总结提升】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．18．若2x3m﹣3+4m＝0是关于x的一元一次方程，求m的值及方程的解．【思路引领】根据一元一次方程的定义可得3m﹣3＝1，求出m的值，再代入2x3m﹣3+4m＝0，解方程即可．【解答】解：由题意得：3m﹣3＝1，m=42x+4×43解得：x=-8【总结提升】此题主要考查了一元一次方程的定义，关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．19．已知关于x的方程a（2x﹣1）＝4x+3b，当a，b为何值时，方程满足下列条件？（1）方程有唯一解（2）方程有无数个解（3）方程无解．【思路引领】方程移项合并整理得到结果，（1）由方程有唯一解，确定出a的范围即可；（2）由方程有无数个解，求出a，b的值即可；（3）由方程无解，确定出a的值，及b的范围即可．【解答】解：方程移项合并得：（2a﹣4）x＝3b+a，（1）由方程有唯一解，得到2a﹣4≠0，即a≠2；（2）由方程有无数个解，得到2a﹣4＝0，3b+a＝0，解得：a＝2，b=-2（3）由方程无解，得到2a﹣4＝0，3b+a≠0，解得：a＝2，b≠-2【总结提升】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．20．x为何值时，代数式2x+33-1与【思路引领】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题意得：2x+33-1+去分母得：4（2x+3）﹣12+3（5x﹣6）＝0，去括号得：8x+12﹣12+15x﹣18＝0，移项合并得：23x＝18，解得：x=18【总结提升】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．21．（2021秋•武威月考）x等于什么数时，代数式3x-23的值比4x-14的值的2倍小【思路引领】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题意得：3x-23=2×去分母得：6x﹣4＝12x﹣3﹣6，移项合并得：6x＝5，解得：x=5【总结提升】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．对于最简方程ax＝b（a，b为常数），当a≠0时，方程有唯一的解x=ba；当a＝0且b≠0时，方程无解；当a＝b＝根据上述结论，解决下列问题：当k，m为何值时，关于x的方程kx+m＝（2k﹣1）x+4：（1）有唯一解；（2）有无数个解；（3）无解．【思路引领】首先要仔细审题，然后化简方程得到ax＝b的形式即可分析求解．【解答】解：∵kx+m＝（2k﹣1）x+4：∴（1﹣k）x＝4﹣m．（1）∵方程有唯一解，∴1﹣k≠0，∴k≠1，∴当k≠1时，方程有唯一解．（2）∵方程有无数个解，∴1﹣k＝0，4﹣m＝0，∴k＝1，m＝4，∴当k＝1且m＝4时，方程有无数个解．（3）∵方程无解，∴1﹣k＝0，4﹣m≠0，∴k＝1，m≠4，∴当k＝1且m≠4时，方程无解．【总结提升】本题考查一元一次方程的解、分类讨论思想的题目，培养学生对方程的解答能力．23．（2022秋•南岗区校级月考）解方程（1）3x﹣2＝5x﹣4；（2）8y﹣3（3y+2）＝6；（3）x+12（4）2x+13【思路引领】（1）方程移项、合并同类项、系数化为1即可；（3）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；（3）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；（4）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．【解答】解：（1）3x﹣2＝5x﹣4，移项，得3x﹣5x＝2