黑龙江省大兴安岭重点中学2023-2024学年高三上学期11月月考数学试卷（含答案）

大兴安岭重点中学2023-2024学年度上学期高三年级月考数学试题考试时间：120分钟;分值：150分第I卷一、单选题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A=xA.{B.{−C.{D.{−2.已知复数z=a+bA.1B.3C.1D.23.已知m、n、(1)若m⊂α(2)m//n且m(3)m//n且m(4)若m、n是异面直线,m//α,A.(1)(2)B.(3)(4)C.(2)(4)D.(1)(3)4.已知α∈π2,A.1B.4C.−D.−5.已知等比数列an的首项a1=2,前n项和为A.SB.SC.SD.S6.已知某种传染疾病的患病率为5%通过验血诊断该病的误诊率为2%,即非患者中有2%A.0.068B.0.046C.0.68D.0.467.在《九章算术商功》中将正四面形棱台体(棱台的上、下底面均为正方形)称为方亭.在方亭ABCD−A1B1A.7B.7C.7D.78.在△ABC中,AB⋅AC=9,sinBA.11B.11C.11D.11二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.给出下列命题,其中正确的是()A.对于独立性检验K2B.若随机变量ξ∼NC.若X∼BD.已知样本点xi,yii=1,2,10.已知等差数列an的公差为d,前n项和为SA.aB.aC.SnD.当n=7时,11.已知函数fx=2cosωxA.fB.fx在区间6C.gxD.若gx在区间−1,a12.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,A.三棱雉P−CEFB.点P到平面CEF的距离为2C.AP+DD.四面体BCEF外接球的表面积为14π第II卷三、填空题(本大题共4小题,每题5分,共计20分)13.设a,b为单位向量,且a+14.小李准备下载手机APP,可供选择的社交APP有3个,音乐APP有2个,视频APP有2个,生活APP有3个,从上述10个APP中选3个,且必须含有社交APP以及生活APP的不同选法种数为________15.将正方形ABCD沿对角线AC折起,并使得平面ABC垂直于平面ACD,直线AB与CD所成的角为________16.已知定义在0,+∞上的函数fx满足fx(1)fx在x=e处取得极大值,极大值为(2)fx(3)若fx<k−1(4)f1四.解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)已知等差数列an的前n项和为S(1)求an(2)设bn=1an​218.(本题满分12分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥AD(1)若AC=7,求(2)若∠ADC=π19.(本题满分12分)如图,在四棱雉P−ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD(1)证明:BE//平面PAD(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值20.(本题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn,且(1)求an(2)设bn=n2−Sn21.(本题满分12分)某专营店统计了最近5天到该店购物的人数yi和时间第xx12345y75849398100（1）由表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系?(若r>0.75,则认为线性相关程度高,可用线性回归模型拟合;否则,不可用线性回归模型拟合.计算(2)该专营店为了吸引顾客,推出两种促销方案:方案一,购物金额每满100元可减10元;方案二,购物金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率均为13参考数据:4340≈65.88.附:相关系数22.(本题满分12分)已知函数fx(1)若fx在定义域内单调递减,求实数a(2)若fx有两个极值点x1,x2,且x参考答案1.C2.D【分析】由复数的乘方、除法法则计算出z后可得a,【详解】由已知z=所以a=故选:D.3.B【分析】根据空间中线线、线面位置关系的性质定理与判定定理一一判断即可.【详解】解：对于(1)若m⊂α,n//对于(2),若m//n,且m//α,则对于(3),若m//n,且m⊥对于(4),若m、n是异面直线,m//α如图,因为m//α,所以存在直线a,a⊂α同理存在直线b,b⊂α且满足b//因为m、n是异面直线，所以a与b相交，设又a,b⊂故选:B4.D【分析】由倍角余弦公式并整理得3sin2α+2【详解】由3cos2α−所以sinα=13或sinα所以cosα=−2由tan2α故选：D5.B【分析】求得等比数列an的公比,然后根据等比数列前n【详解】设等比数列an的公比为q由于a1所以4a2=所以4q所以an所以Sn所以Sn故选:B6.A【分析】应用全概率公式PA【详解】设随机抽取一人进行验血,则其诊断结果为阳性为事件A,设随机抽取一人实际患病为事件B,随机抽取一人非患为事件B,则PA【分析】先根据方亭四个侧面的面积之和得到AA【详解】如图,过A1作A1E由四个侧面的面积之和为33知,侧面ABB1∴12AB由题意得:AE=12AB−连接AC,A1C1,过A易知四边形ACC1A1为等腰梯形且∴A∴该方亭的体积V=故选:D.8.C【分析】由已知条件求得解得b,c,cosA,再求得CB,可得到【详解】设AB=c,解得b=3∴CP又∵A、P∴2当且仅当x3+y故选:C9.BCD【分析】由独立性检验判断选项A,由正态分布的对称性,判断选项B,由二项分布的方差公式,判断选项C,由回归直线方程的求法,判断选项D.【详解】选项A,对于独立性检验K2选项B,ξ∼选项C,X∼B9选项D,把x=2代入回归直线方程y=剔除两个样本点−3,1和3又新的回归直线的斜率为3,即y=3x+a,则则新的回归方程为y=故选:BCD10.ACD【分析】根据a7>0【详解】因为a7=a选项B,因为a7>0,a9<0,又a6+a8+故选:ACD.11.BD【分析】对于A,根据余弦型函数的图象与性质进行判断：对于B,由余弦型函数增区间公式得出结果：对于C,根据图象平移变换及函数奇偶性定义进行判断：对于D,根据余弦型函数的定义域、值域的关系以及图像与性质得出结果.【详解】设fx的最小正周期为T,由题意,T4=1−−1=2,得T=8=2πω,所以ω=π4对于A,因为fx对于B,令−π+2kπ所以fx的单调递增区间为8k当k=1时,单调递增区间为对于C,因为gx所以gx对于D,当x∈−1,a时,π4x∈−π4,πa故选:BD.12.BCD【分析】对于A,根据正方体的性质,明确三棱雉的底面以及底面上的高,可得答案;对于B,利用A求得的三棱雉的体积,利用勾股定理求得△CEF对于C,根据正方体的性质,将点D1旋转使得A对于D,根据三棱雉的性质,设出外接球的球心,利用勾股定理,建立方程,结合球的面积公式,可得答案.【详解】根据题意,可作图如下:对于A,在正方体ABCD中,CB⊥AB,在三棱雉P−CEF中,以!PEF因为P∈A1B,易知△AB所以EF//A1B,且P到VP−CEF=13⋅CB⋅在Rt△AEF中,易知AE=AF在Rt△ACF中,易知AC=2在△CEF中,由余弦定理,cos∠则sin∠CEF=3点P到平面CEF的距离为3V对于C,在正方体ABCD中,易知A1D1因为A1B⊂平面AB将D1绕A1旋转得到D1'易知D1P=在VAA1DA=4+4对于D,取EC的中点M,易知M为Rt△BCE为外接圆圆心,连接AM作NM//AA1,FN//AM,取O∈MN,连接OE,OF,如下图:因为MN//AA1,所以MN⊥平面BCE,由M为Rt△BCE为外接圆圆心,则可设O为三棱雉F−BCE的外接球球心,即OE=OF=R,因为FN//AM,所以易知四边形AMNF为矩阵,则AM=FN13.3【分析】整理已知可得：a+b=a+b2,再利用a【详解】因为a,b所以a解得：2所以a故答案为:3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力,属于中档题.14.54【分析】先按要求分类,结合分类加法计数原理求解即可.【详解】因为要从10个APP中选3个下载,且必须含有社交APP以及生活APP,所以可以分成两类:第一类是:从3个社交APP以及3个生活APP中各选1个,再从2个音乐APP和2个视频APP中再选1个,有C3第二类是:从3个社交APP中选2个,再从3个生活APP中选1个,或者从3个社交APP中选1个和3个生活APP中选2个,有2×所以从上述10个APP中选3个,且必须含有社交APP以及生活APP的不同选法种数为:36+故答案为:54.15.60【详解】如图,取AC,BD,AD的中点,分别为O,M,N,则ON//12CD,MN//所以BO⊥平面ACD,又因为OD⊂平面ACD,所以BO⊥OD.设正方形边长为2,OB=OD=2,所以BD=2,则OM=16.(1)(3)(4)【分析】由已知得xfx=lnx+c(c为常数),根据f1=0可得fx=lnxx,求出f'x,利用导数可得f【详解】由已知得fx+xf'x=1x,即xfx'=1x,故当0<x<e时,fϕx>0,此时f对于(1),当x=e时,fx取得极大值,对于(2),由f1=0,f当x>0且x→0时,fx<0对于(3),要使fx<k−1x在只需k>lnxx+当0<x<1时,G'当x>1时,G'x=所以Gxmax=对于(4),fx在0,e上单调递增,由1<又f4=ln故答案为:(1)(3)(4).【点睛】关键点点睛:解题的关键点是由已知求出fx=ln17.(I)an=2n【分析】(I)设出公差,借助题设条件建立方程组求解;(II)借助题设条件运用裂项相消法求解.【详解】(I)设an的公差为d∴2联立方程2a1+(II)b∴=118.(1)3(2)3【分析】(1)根据条件,利用余弦定理求出BC,再利用面积公式即可求出结果;(2)在△ACD和△ABC中,利用正弦定理,建立等量关系ACsinπ3【详解】(1)因为∠ABCAC所以7=1+BC2所以S△(2)设∠CAD在△ACD中,由正弦定理得ACsin∠ADC在△ABC中,∠则ACsin∠ABC由(1)(2)得:23sinθ=1sinθ19.(1)证明见解析(2)3(3)2【分析】(1)以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；(2)求出平面PBD的一个法向量,再由向量法求解;(3)求出平面PBC的法向量n2【详解】(1)解:以点A为原点,AB,AD,AP分别为x轴,y可得B1,0,0,C2,故BE⋅AB=0,又又BE⊄面PAD所以BE//平面PAD(2)向量BD=设n=x,y,z为平面令y=1,得n=2,所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为3320.(1)a(2)λ【分析】(1)由2nSn+(2)先利用错位相减法求出Sn,即可求得bn,再求出【详解】(1)由2nS得2na则当n≥2时,所以an当n=所以an(2)由(1)知Sn∴1∴1∵1∴S因此bnbn∴当n=1,