2024届云南省峨山县大龙潭中学普通高中第一次联考高三数学试题

2024届云南省峨山县大龙潭中学普通高中第一次联考高三数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列满足,且,则的值是()A． B． C．4 D．2．在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0上存在点P，使得|PA|=2|PB|，则正实数m的最小值是()A． B．3 C． D．3．函数y=sin2x的图象可能是A． B．C． D．4．已知复数，则的虚部是（）A． B． C． D．15．在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为（）A． B． C． D．6．函数在的图象大致为（）A． B．C． D．7．已知的面积是,,,则（）A．5 B．或1 C．5或1 D．8．已知类产品共两件，类产品共三件，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件类产品或者检测出3件类产品时，检测结束，则第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为（）A． B． C． D．9．设，则（）A． B． C． D．10．已知抛物线,过抛物线上两点分别作抛物线的两条切线为两切线的交点为坐标原点若,则直线与的斜率之积为（）A． B． C． D．11．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A． B．C． D．12．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B． C． D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_______________.14．设命题：，，则：__________．15．已知实数a，b，c满足，则的最小值是______.16．如图所示梯子结构的点数依次构成数列，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在直角中，，通过以直线为轴顺时针旋转得到（）.点为斜边上一点.点为线段上一点，且.（1）证明：平面；（2）当直线与平面所成的角取最大值时，求二面角的正弦值.18．（12分）已知函数（1）当时，证明，在恒成立；（2）若在处取得极大值，求的取值范围.19．（12分）选修4­4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．20．（12分）已知函数,其中,.(1)函数的图象能否与x轴相切?若能,求出实数a;若不能,请说明理由.(2)若在处取得极大值,求实数a的取值范围.21．（12分）已知实数x，y，z满足，证明：.22．（10分）已知分别是椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，，且．（1）求的方程；（2）已知点是上的任意一点，不经过原点的直线与交于两点，直线的斜率都存在，且，求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】由，可得，所以数列是公比为的等比数列，所以，则，则，故选B.点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.2、D【解题分析】

设点，由，得关于的方程.由题意，该方程有解，则，求出正实数m的取值范围，即求正实数m的最小值.【题目详解】由题意，设点.，即，整理得，则，解得或..故选：.【题目点拨】本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题.3、D【解题分析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．4、C【解题分析】

化简复数，分子分母同时乘以，进而求得复数，再求出，由此得到虚部.【题目详解】，，所以的虚部为.故选：C【题目点拨】本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的虚部，属于基础题.5、C【解题分析】

在长方体中，得与平面交于，过做于，可证平面，可得为所求解的角，解，即可求出结论.【题目详解】在长方体中，平面即为平面，过做于，平面，平面，平面，为与平面所成角，在，，直线与平面所成角的余弦值为.故选:C.【题目点拨】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.6、B【解题分析】

先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.【题目详解】是奇函数，排除C，D；，排除A.故选：B.【题目点拨】本题考查函数图象的判断，属于常考题.7、B【解题分析】∵，,∴①若为钝角，则，由余弦定理得，解得；②若为锐角，则，同理得.故选B.8、D【解题分析】

根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出类产品的概率，不放回情况下第二次检测出类产品的概率，即可得解.【题目详解】类产品共两件，类产品共三件，则第一次检测出类产品的概率为；不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出类产品的概率为；故第一次检测出类产品，第二次检测出类产品的概率为；故选：D.【题目点拨】本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题.9、C【解题分析】试题分析：，．故C正确．考点：复合函数求值．10、A【解题分析】

设出A，B的坐标，利用导数求出过A，B的切线的斜率，结合，可得x1x2＝﹣1．再写出OA，OB所在直线的斜率，作积得答案．【题目详解】解：设A（），B（），由抛物线C：x2＝1y，得，则y′．∴，，由，可得，即x1x2＝﹣1．又，，∴．故选：A．点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路，由于与切线有关，所以一般先设切点，先设A,B,,再求切线PA,PB方程，求点P坐标，再根据得到最后求直线与的斜率之积.如果先设点P的坐标，计算量就大一些.11、B【解题分析】

还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果.【题目详解】由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为：四棱锥体积为：原几何体体积为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.12、B【解题分析】

，选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

画出函数的图象，再画的图象，求出一个交点时的的值，然后平行移动可得有两个交点时的的范围．【题目详解】函数的图象如图所示：因为方程有且只有两个不相等的实数根，所以图象与直线有且只有两个交点即可，当过点时两个函数有一个交点，即时，与函数有一个交点，由图象可知，直线向下平移后有两个交点，可得，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化，数形结合的思想，属于中档题．14、，【解题分析】

存在符号改任意符号，结论变相反.【题目详解】命题是特称命题，则为全称命题，故将“”改为“”，将“”改为“”，故：，.故答案为：，.【题目点拨】本题考查全(特)称命题.对全(特)称命题进行否定的方法：(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．15、【解题分析】

先分离出，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值.【题目详解】解：若取最小值，则异号，，根据题意得：，又由，即有，则，即的最小值为，故答案为：【题目点拨】本题考查了基本不等式以及二次函数配方求最值，属于中档题.16、【解题分析】

根据图像归纳，根据等差数列求和公式得到答案.【题目详解】根据图像：，，故，故.故答案为：.【题目点拨】本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）先算出的长度，利用勾股定理证明，再由已知可得，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）由（1）可得为直线与平面所成的角，要使其最大，则应最小，可得为中点，然后建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，进一步得到正弦值.【题目详解】（1）在中，，由余弦定理得，∴，∴，由题意可知：∴，，，∴平面，平面，∴，又，∴平面.（2）以为坐标原点，以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系.∵平面，∴在平面上的射影是，∴与平面所成的角是，∴最大时，即，点为中点.，，，，，，，设平面的法向量，由，得，令，得，所以平面的法向量，同理，设平面的法向量，由，得，令，得，所以平面的法向量，∴，，故二面角的正弦值为.【题目点拨】本题考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.18、（1）证明见解析（2）【解题分析】

（1）根据，求导，令，用导数法求其最小值.设研究在处左正右负，求导，分，，三种情况讨论求解.【题目详解】（1）因为，所以，令，则，所以是的增函数，故，即.因为所以，①当时，，所以函数在上单调递增.若，则若，则所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，所以在处取得极小值，不符合题意，②当时，所以函数在上单调递减.若，则若，则所以的单调递减区间是，单调递增区间是，所以在处取得极大值，符合题意.③当时，，使得，即，但当时，即所以函数在上单调递减，所以，即函数)在上单调递减，不符合题意综上所述，的取值范围是【题目点拨】本题主要考查导数与函数的单调性和极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.19、（1），（2）【解题分析】

试题分析：利用将极坐标方程化为直角坐标方程：化简为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即为x＋y＝1．再利用点到直线距离公式得：设点P的坐标为（2cosα，sinα），得P到直线l的距离试题解析：解：化简为ρcosθ＋ρsinθ＝1，则直线l的直角坐标方程为x＋y＝1．设点P的坐标为（2cosα，sinα），得P到直线l的距离，dmax＝．考点：极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式20、(1)答案见解析(2)【解题分析】

（1）假设函数的图象与x轴相切于，根据相切可得方程组，看方程是否有解即可；（2）求出的导数，设()，根据函数的单调性及在处取得极大值求出a的范围即可.【题目详解】(1)函数的图象不能与x轴相切,理由若下:.假设函数的图象与x轴相切于则即显然,,代入中得,无实数解.故函数的图象不能与x轴相切.(2)(),,设(),恒大于零.在上单调递增.又,,,∴存在唯一,使,且时,时,①当时,恒成立,在单调递增,无极值,不合题意.②当时,可得当时,,当时,.所以在内单调递减,在内单调递增,所以在处取得极小值,不合题意.③当时,可得当时,,当时,.所以在内单调递增,在内单调递减,所以在处取得极大值,符合题意.此时由得即,综上可知,实数a的取值范围为.【题目点拨】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．21、见解析【解题分析】

已知条件，需要证明的是，要想利用柯西不