2023年河南省鹤壁市淇滨区鹤壁高中高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知meR,复数Z]=l+3i,z2=m+2z,且为实数，则m=()

22

A.----B.-C.3D.-3

33

2.一辆邮车从A地往8地运送邮件，沿途共有〃地，依次记为A,…A“(4为A地，4为5地).从4地出

发时，装上发往后面地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各

地的邮件各1件，记该邮车到达A,4,…各地装卸完毕后剩余的邮件数记为%(Z=1,2,…则4的表达式为

().

A.k{n-k+V)B.k(n-k-l)C.n(n-k)D.-k)

3.已知函数/(x)=x+eTg(x)=in(x+2)—4/r,其中。为自然对数的底数，若存在实数.%,使

/(%)—g(x0)=3成立，则实数。的值为()

A.-In2-1B.-l+ln2C.-In2D.In2

4.欧拉公式为*=cosx+isinx,(i虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，

建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e手表

示的复数位于复平面中的()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.若复数z=(7〃+1)+(2-加"(加6火)是纯虚数，贝("^卜()

A.3B.5C.V?D.375

丫2«4

6.已知双曲线当=1的一条渐近线方程为y=则双曲线的离心率为()

a~b~3

4553

A.-B・-C.-D.一

3342

7.已知集合A={x|x<0},B=1x|x24-/nx-12=01,若AIB-{-2),则机=()

A.4-4C.8D.一8

8.若复数z=J（beRi为虚数单位）的实部与虚部相等，则。的值为（）

2+i

A.3B.±3C.-3

_1+Z

9.已知复数z=l-i,三为z的共辗复数，则一=（）

10.命题“Vxw(0,1),"*>Inx”的否定是()

xA

A.Vxe(0,1),e~<InxB.G(0,1),e-'°>Inx0

xx

C.G(0,1),e~0<Inx0D.G(0,1),e~°<Inx0

11.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是().

A.收入最高值与收入最低值的比是3：1

B.结余最高的月份是7月份

C.1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同

D.前6个月的平均收入为4（）万元

兀

y=sin<2x-J、

12.为得到3的图象，只需要将卜二川初、的图象（）

7171

A.向左平移3个单位B.向左平移6个单位

nit

C.向右平移3个单位D.向右平移6个单位

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

21

13.若x>0,y>0,且一+—=1,则x+2y的最小值是.

%)

22

14.已知椭圆土+匕=1的左、右焦点分别为片、居，过椭圆的右焦点工作一条直线/交椭圆于点P、。.则△片PQ

43

内切圆面积的最大值是.

15.已知耳(—3,0),月(3,0)为双曲线C:二-2=1(〃>0/>0)的左、右焦点，双曲线C的渐近线上存在点尸满足

a'b~

\PFt\=2\PF2\,则〃的最大值为.

16.如图，四面体A3CD的一条棱长为x,其余棱长均为1,记四面体ABC。的体积为尸(x),则函数尸W的单调

增区间是一；最大值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(%)=5布"一看,0>0)的图象向左平移1后与函数8(%)=3(2%+0)(|同<|^图象

重合.

(1)求。和。的值；

(2)若函数/7(%)=/1+2]+8卜-^,求〃(X)的单调递增区间及图象的对称轴方程.

18.(12分)选修4—5；不等式选讲.

已知函数/(x)=|x|-

⑴若f(x)>|m-l|的解集非空，求实数〃?的取值范围；

⑵若正数%)'满足Y+y2=M,/为(1)中,“可取到的最大值，求证：x+y>2xy.

1e

19.(12分)设函数f(x)=ax2-a-lnx,g(x)=----,其中a£R,e=2.718…为自然对数的底数.

xe

(I)讨论f(x)的单调性；

(n)证明：当x>i时，g(x)>o；

(m)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1,+oo)内恒成立.

20.(12分)在四棱锥产一ABCD中，底面ABC。是平行四边形，底面

ABCD,PO=AD=1,A8=6sinNABO=@.

(1)证明：PA±BDi

(2)求二面角A—P8-C的正弦值.

21.(12分)语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司

的，，小爱同学，，智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了

了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精

灵”的人，具体数据如下：

“小爱同学”智能音箱“天猫精灵”智能音箱合计

男4560105

女554095

合计100100200

(1)若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性

比购买“天猫精灵”的女性多多少人？

(2)根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？

n^ad-bcy

(Q+〃)(c+d)(a+c)(h+d)

P(K2>k)0.100.050.0250.010.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

22.(10分)设函数.f(x)=sin(竿—J)—2cos2华+1(。＞0),直线y=百与函数图象相邻两交点的距离为

366

27r.

(I)求切的值；

(II)在AABC中，角AB,C所对的边分别是。，4％若点是函数y=/(x)图象的一个对称中心，且8=5,

求AABC面积的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

把彳2=机-2，和4=l+3i代入z「马再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为。求得m值.

【详解】

2

因为Z|Z=(1+3。(〃7-2。=(根+6)+(3加一2"为实数，所以3根-2=0,解得机=§.

【点睛】

本题考查复数的概念，考查运算求解能力.

2.D

【解析】

根据题意，分析该邮车到第k站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案.

【详解】

解：根据题意，该邮车到第攵站时，一共装上了(〃-D+5-2)+……(〃一口=生二1产3件邮件，

需要卸下1+2+3+……伏-1)=史|二12件邮件，

.(2n-1-k)xkkx(k-l)

贝ni！14=-----k--------------~-=k(n-k),

故选：D.

【点睛】

本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题.

3.A

【解析】

令f(x)-g(x)=x+exa-In(x+1)+4ea-x,

Az<1x+1

令y=x-In(x+1),y=1------=-----，

x+2犬+2

故y=x-In(x+1)在(-1,-1)上是减函数，(-L+co)上是增函数，

故当x=-1时，y有最小值-1-0=-1,

而e'-a+4ear2%(当且仅当e，-a=4ear,即乂=2+1111时，等号成立)；

故f(x)-g(x)>3(当且仅当等号同时成立时，等号成立)；

故x=a+lnl=-1,BPa=-1-Ini.故选：A.

4.A

【解析】

计算=cos&+isin工，得到答案.

3322

【详解】

根据题意e"=cosx+isinx,故=cos工+次皿工='+'"，表示的复数在第一象限.

3322

故选：A.

【点睛】

本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.

5.C

【解析】

先由已知，求出加=-1,进一步可得名@=l-2i,再利用复数模的运算即可

Z

【详解】

由z是纯虚数，得加+1=0且2—m。0,所以团二-1,z=3i.

殳且=生空=卜2,[=有.

因此,

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题.

6.B

【解析】

由题意得出匕的值，进而利用离心率公式e=<1+可求得该双曲线的离心率.

aV

【详解】

双曲线4一£=1的渐近线方程为丫=±々》，由题意可得”==3,

a2b2aa2{3J9

5

因此，该双曲线的离心率为

3

故选:B.

【点睛】

b

本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式6=1+计算较为方便，考查计算能力，属于

a）

基础题.

7.B

【解析】

根据交集的定义，AI8={—2},可知—2W3,代入计算即可求出加.

【详解】

由AI6={-2},可知—2e3,

又因为8=卜|工2+〃比—12=。},

所以x=—2时，（—2）2—2/〃-12=0,

解得,“=-4.

故选:B.

【点睛】

本题考查交集的概念，属于基础题.

8.C

【解析】

利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.

【详解】

[-bi_2-b-(2b+^i

z=,又z的实部与虚部相等,

2+i~5

:.b-2=2h+\,解得匕=一3.

故选:c

【点睛】

本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.

9.C

【解析】

求出三，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.

【详解】

l+z_2-;_i-3f

+2

故选：C

【点睛】

本题考查复数的代数形式的四则运算，共轨复数，属于基础题.

10.D

【解析】

根据全称命题的否定是特称命题，对命题进行改写即可.

【详解】

全称命题的否定是特称命题，所以命题“Vxe(O,l),e-，>lnx”的否定是：m与€(0,1),e^<lnx0.

故选D.

【点睛】

本题考查全称命题的否定，难度容易.

11.D

【解析】

由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1,故A项正确；

结余最高为7月份，为80-20=60,故B项正确；

1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C项正确；

前6个月的平均收入为!(40+60+30+30+50+60)=45万元，故D项错误.

6

综上，故选D.

12.D

【解析】

yrjr万

.y=sm(2x--)=S»[2(x--)]v=sin，2K-

试题分析：因为36，所以为得到3的图象，只需要将y=sm2x的图象向右平

71

移6个单位；故选D.

考点：三角函数的图像变换.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.8

【解析】

(21、

利用1的代换，将x+2y写成(x+2y—+—，然后根据基本不等式求解最小值.

(%y)

【详解】

(2]、4vx[x=4

因为x+2y=(x+2y)—I——4H-----1—28(%=2,即<取等号)，

y)%y[y=2

所以最小值为8.

【点睛】

ab

已知一+一=。，求解/(。、b、c、m、n>Q)的最小值的处理方法：利用

xy

—+—=1,得至1]如+〃)，=("+2)(相工+町0,展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.

excyexcy

971

14.16

【解析】

令直线/:x=my+],与椭圆方程联立消去x得(34+4)9+6冲_9=0,可设P&,y),0(%％)，则

6my必=——?—•可知S.FFQ=:恒周E-%1=J(X+%)2-4X%=%+1

凶+必=一2

3M+43〃r+4+4广

;n2+l1/1

又刖“2+/=川，-i—；-记，故久"。"3•三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角

(3加+力9(加+1)+至/6

形面积的二倍'则内切圆半径其面积最大值为意.故本题应填工.

点睛：圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑

利用图形性质来解决，这就是几何法.(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目

标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法，判别式法，重要不等式及函数的单调性法等.

【解析】

设尸(X,y),由|「用=2|Pg|可得(x+3)2+y2=4[(x_3)2+y。，整理得(x-5>+「=16,即点P在以(5,0)为圆心,

4为半径的圆上.又点尸2到双曲线C的渐近线的距离为。，所以当双曲线C的渐近线与圆(x-5)2+)2=16相切时，b

取得最大值，此时g=解得8=g.

(或写成(0,当)):

【解析】

试题分析：设=取A3中点M,则CMLAB,DMLAB,因此AB_1面。力加,所以

24xe(0,g)，因为y=3”产/e(0,3)在(0,3单调递增,

F(X)=--X-SAC/W—73%-X,

3A"4"32V44122

最大值为，所以尸(x)单调增区间是(0,当)，最大值为:

考点：函数最值，函数单调区间

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

_71,57r.兀，)k九7t,

17.(1)69=2,(p=—；(2)k7C——-,K7C+—KEZx=---1---9keZ.

3L1212j9212

【解析】

(1)直接利用同角三角函数关系式的变换的应用求出结果.

(2)首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果.

【详解】

(1)由题意得0=2,

/卜+,)==cos(2x+()

,.,|^|<y>：.<p

717171

(2)/?(%)=/x++=sin2x+^|-j4-cos(2x+^|-

81212

=V2sin2x+—71

3

,_7C.7C4k/CTC

由2xH--=ZsTTH---9解Tt得X=----1---9

32212

kjrjr

所以对称轴为X=—+—,keZ.

212

TTTTTT

由---<2x+—<2kjrH——，

232

解得k兀--<x<k7r+—,

1212

57r7i

所以单调递增区间为k兀一五，k兀十五,keZ„

【点睛】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力,

属于基础题型.

18.(1)[0,2]；(2)见解析.

【解析】

—1,xv0,

试题分析：（1）讨论三种情况去绝对值符号，可得/（x）=<2x-l,04x41,所以/（x）nux=1,由此得|加一1|«1,解

l,x>1,

得（2）利用分析法，由（1）知，M=2,所以％2+y2=2,因为x>0,y>0,要证》+y之2D，只需

证（工+才1//,即证（2孙+1乂呼-1）40,只需证孙41即可得结果.

-1,x<0,

试题解析：（1）去绝对值符号，可得/（x）={2x-1,04x41,

l,x>1,

所以小）皿=1，

所以I根一1|«1,解得0W〃?W2,

所以实数〃?的取值范围为[0,2].

(2)由(1)知，M=2,所以f+y2=2.

因为x>0,y>0,

所以要证x+yN2D，只需证(x+yyN4x2y2,

即证2（町了一町一1M0,即证（2砂+1）（9一1）40.

因为2孙+1>0,所以只需证冲<1,

因为2肛4_?+>2=2,.,.孙41成立，所以x+yN2盯

JI

22

解法二：x+y=2f队y£R+,x+y>2xyO<0<—

x=yflsinO（八万、

设：厂o<^<-

y=y/2cos0\2J

证明：x+y-2xy=后sin0+Vicos。一2•2sinacos0

=V2（sin6+cosB）_4sin0-cos0

令sinO+cos。=%

/.1+2sin^cos0=t29,/0<A1<^<^2

2sin6cos6=『-1

-'*原式=2（/—i）

二一2r+"+2

=

当r=V2时，ymin-2x2+2+2=0

x+y>2xy

19.(I)当工£(0,心)时，/fU)<0,f(x)单调递减；当X£(J，+8)时，/'(x)>0,/(x)单调递增；(II)

\J2a72a

详见解析；(皿)4ZG[1,+00).

2

【解析】

试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能

力和计算能力.第(I)问，对/(幻求导，再对a进行讨论，判断函数的单调性；第(H)问，利用导数判断函数的单

调性，从而证明结论，第(IH)问，构造函数〃(x)=/(x)-g(x)(x>l),利用导数判断函数〃(x)的单调性，从而

求解a的值.

试题解析：(I)f\x)=2ax--=-^2-1(x>0).

XX

当a<0时，/'(x)<0,/(x)在(0,+oo)内单调递减.

当a>0时，由/"(X)=0有x=.

y/2a

当xe（0,吉）时，f\x）<0,f（x）单调递减;

当xw(J=,+oo)时，/'(x)>0,f(x)单调递增.

J2a

(U)令s(x)=一x,则s'(x)=e1-1-1.

当x>l时，s'(x)>0,所以e'T>x，从而g(x)=4--J-r>0.

X&

(ni)由(ii),当x>i时，g(x)>o.

当aV(),x>l时，/U)=«(x2-l)-lnx<0.

故当/（x）>g（x）在区间（l，+8）内恒成立时，必有a>（）.

当0<a<L时,

2

由（I）有/弓^〈/⑴肛而且（右）>o，

所以此时fw>g（x）在区间a,+8）内不恒成立.

当。之5时，令=/（X）-g（x）（X>1）.

、b-jf/\n11i-x111d—2x+1元2—2x+1

当了>1时，〃（x）=2奴---1—z--e>x----1—z--=---------->---------->0.

XXXXXXX

因此，力（工）在区间（1，+8）单调递增.

又因为〃⑴=0,所以当x>l时，h（x）=f（x）-g（x）>0,即/（X）>g（尤）恒成立.

综上，。£［』,+8）.

2

【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题

【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的

能力和计算能力.求函数的单调性，基本方法是求/'(X),解方程/'(x)=0,再通过了'(X)的正负确定f(x)的单调性;

要证明不等式/(x)>g(x),一般证明/(X)-g(x)的最小值大于0,为此要研究函数〃(幻=)(幻-g(x)的单调性.本

题中注意由于函数〃(X)的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围.比较新颖，学生不易想到，

有一定的难度.

2

20.(1)见解析(2)-

3

【解析】

(1)利用正弦定理求得sinZADB=1,由此得到ZADB=90n3。_LAO,结合，3。证得BD±平面PAD，

由此证得

(2)建立空间直角坐标系，利用平面ABP和平面PBC的法向量，计算出二面角A-依-C的余弦值，再转化为正

弦值.

【详解】

(1)在△ABO中，由正弦定理可得:

sinZADBsinZABD

sinZADB==1,ZADB=90BD1AD,

•••PD,底面AB。。，：.PD±BD,

平面Q4£)，

:.PA±BD；

(2)以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，•；PD=AD=1,AB=6：.BD=2,

A(l,0,0),8(0,2,0),C(-l,2,0),P(0,0,l),AB=(-l,2,0),CB=(1,0,0),PB=(0,2,-1)

_fn-AB=0f-x+2y=0_

设平面ABP的法向量为〃=(x,y,z),由〈一可得：*，，令丁=1，贝。=(2,1⑵，

n-PB=0[2y-z=0

,——\m-CB-0[x,=0_

设平面P8C的法向量为m=(X]，x，Z]),由〈一可得:〈c八，令>1=1，则加=(0,1,2),

[m-PB=0[2y=0

设二面角A—P8—C的平面角为。，由图可知。为钝角，

c,八I---Iin-n5yj5

贝！Jcos0=-cos<m,n>\=——————=---广=-----,

3亚

・•.sine=Jl—cos——,故二面角A—PB—C的正弦值为一.

3