四川省广安市2022-2023学年高一上学期期末数学试题含答案

广安市2022年秋季高一期末试题数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每题仅一项是符合题目要求的）1.集合，，则图中阴影部分表示的集合为A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】图中阴影部分表示，因为，所以，故选.2.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先去绝对值，分段解一元二次不等式，最后得到答案.【详解】当时，原不等式即为，所以；当时，原不等式即为，解得：或，所以，综上，原不等式的解集为.故选：A【点睛】本题考查含绝对值，一元二次不等式的解法，重点考查计算能力，属于基础题型.3.若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义可以排除C选项，根据定义域与值域的概念排除A，D选项.【详解】对于A选项，当时，没有对应的图像，不符合题意；对于B选项，根据函数的定义本选项符合题意；对于C选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合题意；对于D选项，值域当中有的元素在集合中没有对应的实数，不符合题意.故选：B．4.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先确定函数单调性，再利用零点存在定理确定零点所在的一个区间.【详解】明显函数为上的单调递增函数，且为连续函数，又，，由零点存在定理可得函数的零点所在的一个区间是.故选：A.5.在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．详解】在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除B．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是C．故选：C．6.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据对数函数为增函数，以及充要条件的定义可得答案.【详解】当时，根据对数函数为增函数，可得，当时，根据对数函数为增函数，可得，所以“”是“”的充要条件.故选：C【点睛】关键点点睛：根据对数函数为增函数，以及充要条件的定义求解是解题关键.7.，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性来比较大小即可.【详解】根据函数在上单调递减得，根据函数在上单调递减得，故.故选：D.8.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围.【详解】由题意，，在中，函数单调递增，∴，解得：，故选：C.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．）9.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】AB【解析】【分析】对于A、D项运用作差法判断，对于B项由不等式性质可判断，对于C项举反例可判断.【详解】对于A项，因为，所以且，即：且，故A项正确；对于B项，运用不等式的性质可知，若，，则正确，故B项正确；对于C项，当，，，时，满足，，但不满足，故C项错误；对于D项，因为，又因为，，所以，，所以，即：，故D项错误.故选：AB.10.下列函数中，最小值为2的函数是（）A. B.C D.【答案】BD【解析】【分析】对于A项，方法1：举反例，方法2：运用单调性性质分析；对于B项，换元法后使用基本不等式分析；对于C项，运用指数函数的值域分析；对于D项，运用二次函数的单调性分析其值域.【详解】对于选项A，方法1：当时，，所以2不是的最小值，故A项错误；方法2：因为在，上单调递增，所以其值域为R，故A项错误；对于选项B，因为定义域为R，令，则，所以，又因为，当且仅当时取等号，故的最小值为2，所以值域为，故B项正确；对于选项C，因为，所以，所以值域为，故C项错误；对于选项D，因为对称轴为，其在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以值域为，故D项正确.故选：BD.11.下列说法正确的有（）A.命题“，”的否定是“，”B.函数为奇函数C.函数（且）的图像恒过定点（2，1）D.函数的递减区间是【答案】BC【解析】【分析】运用含有一个量词的命题的否定书写方法可分析A项，运用奇函数的定义分析B项，运用对数函数恒过定点分析C项，运用多个单调区间的书写方法可分析D项.【详解】对于选项A，命题“”的否定是“”，故A项错误；对于选项B，因定义域为R，，所以为奇函数，故B项正确；对于选项C，因为，所以令，得，代入函数得，所以函数恒过定点，故C项正确；对于选项D，由多个单调区间用“，”隔开或“和”隔开，故D项错误.故选：BC.12.定义表示不大于的整数，设函数，则下列命题正确的有（）A.B.若，则的图象与函数的图象有1个交点C.在上单调递增D.使得不等式恒成立的的最小值是1【答案】ABD【解析】【分析】根据的定义，结合函数图象，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：，故A正确；对B：当，此时，令，解得或，均不满足，故舍去；当，此时，令，解得，不满足题意，故舍去；当，此时，令，解得（舍）或，此时方程有1根；当，此时，令，解得或，不满足题意，故舍去；当，则，故不是的根；综上所述：在上只有一个根为，故，则的图象与函数的图象有1个交点，正确；对：由可知，当当，此时，其在不单调，故在不可能单调递增，故C错误；对D：当时，恒成立，；当时，即，即，令，在平面直角坐标系中绘制其函数图象如下所示：注意到，当时，，故当时，的最小值为零，要满足题意，只需，解得；综上所述，的最小值为，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，处理问题的关键是能够根据的定义，灵活的应用函数的性质，属综合中档题.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数的定义域是__________．【答案】【解析】【分析】根据函数表达式,列出不等式组即可解得其定义域.【详解】因为函数,所以解得且，即函数的定义域为.故答案为：.14.已知幂函数在上单调递增，则m＝______．【答案】4【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解.【详解】由题意可得，解得故答案为：4.15.已知，，且，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】变形，然后展开，利用基本不等式求最值.【详解】，，，，当且仅当，即时等号成立.故答案为：.16.函数，若，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】做出函数图像，得出和的关系，以及，和的取值范围，即可求出的取值范围.【详解】由题意，中，，且，做出函数图像如下图所示：由图像可知，，，∴∴，故的取值范围是，故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分）17.计算下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接计算指数幂即可；（2）直接利用对数的运算性质计算即可.【小问1详解】；【小问2详解】.18.已知集合（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，然后由并集的定义可求得结果，（2）由，得，然后分和两种情况求解即可.【小问1详解】当时，，所以【小问2详解】因为，所以，若，符合，则，解得.若，由，得，即，解得，综上可知的取值范围是.19.已知函数为奇函数．（1）求实数的值，判断函数的单调性并用函数单调性的定义证明；（2）解不等式．【答案】（1）；在上是增函数；证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质可知，求后，再验证函数是奇函数，并利用单调性的定义证明函数的单调性；（2）方法一：先求得，再解分式不等式；方法二：利用函数的性质转化为，再利用函数的单调性，解不等式.【详解】解：（1）∵的解集是，∴的定义域是．又∵是奇函数，∴．∴，即．经检验知，当时，，符合题意．，经判断可知在上是增函数．证明：任取，且，则，∴为增函数，，∴．∴，，．∴，即．∴在上是增函数．（2）方法一：由，可得，∴等价于，解得，∴原不等式的解集为．方法二：由（1）在上是增函数，且，∵，∴，∴，综合得不等式的解集是．【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性的证明以及根据函数的单调性解不等式，本题的第一个关键是奇函数求解析式时，在处有定义时，，第二个关键是解抽象不等式时，需根据函数的单调性，去掉“”解不等式，不要忽略函数的定义域.20.最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古墓”进行考古发掘，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代．已知某放射性元素每年都会衰减为前一年的倍（），且该放射性元素的半衰期约为4500年（即：每经过4500年，该元素的存量变为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为a（参考数据：）．（1）求出并写出该元素的存量与时间（年）的关系；（2）经检测古生物中该元素现在的存量为，请推算古生物距今大约多少年？【答案】（1）（2）6000年【解析】【分析】（1）根据半衰期的定义即可得出该元素的存量与时间（年）的关系；（2）根据（1）中所给函数及古生物中该元素现在的存量，即可求出古生物距今大约多少年.【小问1详解】由题意，放射性元素每年都会衰减为前一年的倍（），且该放射性元素的半衰期约为4500年∴【小问2详解】由题意及（1）得，在中，当古生物中该元素现在的存量为时，，即，∴，解得：，∴古生物距今大约6000年.21.已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，．（1）求的解析式；（2）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用定义域为的函数是奇函数，求的值；求出的解析式，即可求的解析式；（2）若对任意的，不等式恒成立，在上是减函数，所以．即对任意恒成立，，即可求实数的取值范围．【小问1详解】因为定义域为的函数是奇函数，所以．因为当时，，所以．又因为函数是奇函数，所以．所以．综上，【小问2详解】由得．因为是奇函数，所以．又在上是减函数，所以．即对任意恒成立．解得．故实数的取值范围为．22.已知函数有如下性质：若常数，则该函数在上单调递减，在上单调递增．（1）已知，，利用上述性质，求函数的值域；（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将的解析式上下同除