导函数及其运用

高考冲刺系列〔二〕——导数及其运用根底知识回忆导数的几何意义函数y=f〔x〕在点x处的导数的几何意义是曲线y=f〔x〕在点p〔x，f〔x〕〕处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f〔x〕在点p〔x，f〔x〕〕处的切线的斜率是f〔x〕。相应地，切线方程为y－y=f/〔x〕〔x－x〕。根本函数的导数公式:①〔C为常数〕②③;④;⑤⑥;⑦;⑧导数的运算法那么复合函数的导数复合函数的导数和函数和的导数间的关系为,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.假设,那么函数的单调性与导数的关系:在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．说明：特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．求解函数单调区间的步骤：〔1〕确定函数的定义域；〔2〕求导数；〔3〕解不等式，解集在定义域内的局部为增区间；思维技巧对于可导函数来说,是函数思维技巧对于可导函数来说,是函数在(a,b)上为单调增函数的充分不必要条件,是函数在(a,b)上为单调减函数的充分不必要条件,如函数在R上为增函数,但,所以在处不满足.利用导数极值：定义：设函数f〔X〕在点X0的领域内，假设在X0的领域内，f〔X0〕>f〔X〕,X≠X0那么X0称为极大点f〔X0〕为极大值；假设在X0的领域内，f〔X0〕<f〔X〕那么X0称为极小点f〔X0〕为极小值，函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大点与极小点称为极值点定理设函数f〔X〕在点X0的领域内有定义，且X0是f〔X〕的极值点，如果f〔X〕可导，那么f`〔X0〕=0定理设函数f〔X〕满足：①在点X0的领域内可导②f`〔X0〕=0那么：〔1〕假设在X0的左侧附近f`〔X〕>0,在X0右侧附近f`〔X〕<0那么f〔X0〕为极大值〔2〕假设在X0左侧附近f`〔X〕<0,在X0右侧附近f’〔X〕>0那么f〔X0〕为极小值〔3〕假设在X0左右两侧f`〔X〕同号,那么f`〔X〕不是极值点利用导数求函数极值步骤：〔1〕确定函数的定义域；〔2〕求出函数的导函数〔3〕令=0，解得x的值〔4〕列表求极值二、导数常见用法考点1：单调性和极值例1.设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。解：假设，对恒成立，此时只有一个单调区间，矛盾假设，∴，也只有一个单调区间，矛盾假设∵，此时恰有三个单调区间∴且单调减区间为和，单调增区间为例2：函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是.解：由=0，得，当时，>0，当时，<0，当时，>0，故的极小值、极大值分别为，而故函数在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17例3：函数在上不具有单调性．〔I〕求实数的取值范围解：〔I〕，………………〔2分〕∵在上不具有单调性，∴在上有正也有负也有0，即二次函数在上有零点………………〔4分〕∵是对称轴是，开口向上的抛物线，∴的实数的取值范围………………〔6分〕例4.函数．〔I〕假设函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；解：〔I〕，……………〔2分〕∵函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，∴当时，恒成立，……………〔4分〕即恒成立，∴在时恒成立，或在时恒成立，∵，∴或………………〔6分〕例5.函数．〔I〕求函数的单调区间；〔II〕函数的图象的在处切线的斜率为假设函数在区间〔1，3〕上不是单调函数，求m的取值范围．解：〔I〕 〔2分〕当当当a=1时，不是单调函数 〔5分〕〔II〕〔6分〕 〔8分〕〔10分〕 〔12分〕考点2：函数交点与零点问题例6.函数的图象如下图．〔I〕求的值；〔II〕假设函数在处的切线方程为，求函数的解析式；〔III〕在〔II〕的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围．〔I〕由图可知函数的图象过点〔0，3〕，且得…………〔4分〕〔II〕依题意且解得所以…………〔8分〕〔III〕．可转化为：有三个不等实根，即：与轴有三个交点；，+0-0+增极大值减极小值增．…………〔10分〕当且仅当时，有三个交点，故而，为所求．…………〔12分〕例7.函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．〔I〕求实数的取值范围；〔II〕假设方程恰好有两个不同的根，求的解析式解：〔I〕 由，因为当时取得极大值， 所以，所以；…………〔4分〕〔II〕由下表：+0-0-递增极大值递减极小值递增 依题意得：，解得： 所以函数的解析式是：例8.常数，为自然对数的底数，函数，讨论函数在区间上零点的个数解：，由，得，列表-0+单调递减极小值单调递增当时，函数取极小值，无极大值．…………〔6分〕由〔I〕，∵，∴，∴，…………〔8分〕〔i〕当，即时，函数在区间不存在零点〔ii〕当，即时假设，即时，函数在区间不存在零点假设，即时，函数在区间存在一个零点；假设，即时，函数在区间存在两个零点；综上所述，在上，我们有结论：当时，函数无零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点．…………〔12分〕考点3：恒成立问题例9.函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.[@#中国^教育出版&网~]〔1〕假设对一切x∈R，f(x)1恒成立，求a的取值集合；[z〔2)在函数f(x)的图像上去定点A〔x1,f(x1)〕,B(x2,f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈〔x1,x2〕,使恒成立.解：令.当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当.①令那么当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.综上所述，的取值集合为.〔Ⅱ〕由题意知，令那么令，那么.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.例10.设函数〔1〕求函数的单调区间、极值.〔2〕假设当时，恒有，试确定a的取值范围.解答：〔1〕=令得列表如下：x〔-∞，a〕a〔a，3a〕3a〔3a，+∞〕-0+0-极小极大∴在〔a，3a〕上单调递增，在〔-∞，a〕和〔3a，+∞〕上单调递减时，，时，〔2〕∵0<a<1，∴对称轴，∴在[a+1，a+2]上单调递减∴，依题，即解得，又0<a<1∴a的取值范围是例11.函数，，〔1〕证明：当时，恒有〔2〕当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围;解：〔1〕设，那么=，当时，，所以函数在〔0，单调递增，又在处连续，所以，即，所以。〔2〕设，那么在〔0，恒大于0，，，的根为0和即在区间〔0，上，的根为0和假设，那么在单调递减，且，与在〔0，恒大于0矛盾；假设，在〔0，单调递增，且，满足题设条件，所以，所以例12.函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值．对于〔II〕中的函数，对任意，求证：．解：对任意的实数都有 在区间[-2，2]有： 函数上的最大值与最小值的差等于81， 所以例13.函数在上不具有单调性．〔I〕求实数的取值范围；〔II〕假设是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等式恒成立解：〔I〕，………………〔2分〕∵在上不具有单调性，∴在上有正也有负也有0，即二次函数在上有零点………………〔4分〕∵是对称轴是，开口向上的抛物线，∴的实数的取值范围……………