陕西西安高新一中2024届高三下学期第四次诊断考试数学试题试卷

陕西西安高新一中2024届高三下学期第四次诊断考试数学试题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数，若在上有且仅有5个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．2．已知实数，则的大小关系是()A． B． C． D．3．已知是的共轭复数,则（）A． B． C． D．4．下列说法正确的是（）A．“若，则”的否命题是“若，则”B．在中，“”是“”成立的必要不充分条件C．“若，则”是真命题D．存在，使得成立5．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c6．二项式展开式中，项的系数为（）A． B． C． D．7．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若，则λ＋μ的值为（）A． B． C． D．8．已知数列是公比为的等比数列，且，若数列是递增数列，则的取值范围为（）A． B． C． D．9．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形为朱方，正方形为青方”，则在五边形内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（）A． B． C． D．10．已知函数，若有2个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．11．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（）A． B． C． D．12．已知复数，则（）A． B． C． D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记为等比数列的前n项和，已知，，则_______.14．已知三棱锥，，是边长为4的正三角形，，分别是、的中点，为棱上一动点（点除外），，若异面直线与所成的角为，且，则______.15．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.16．函数在区间(-∞，1)上递增，则实数a的取值范围是____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30cm，宽26cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．（1）试用x，y表示L；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2cm，每个菱形的面积为130cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？18．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记分，“不合格”记分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：等级不合格合格得分频数624（Ⅰ）若测试的同学中，分数段内女生的人数分别为，完成列联表，并判断：是否有以上的把握认为性别与安全意识有关？是否合格性别不合格合格总计男生女生总计（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取人进行座谈，现再从这人中任选人，记所选人的量化总分为，求的分布列及数学期望；（Ⅲ）某评估机构以指标（，其中表示的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？附表及公式：，其中.19．（12分）己知点，分别是椭圆的上顶点和左焦点，若与圆相切于点，且点是线段靠近点的三等分点.求椭圆的标准方程；直线与椭圆只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于，两点，求面积的取值范围.20．（12分）如图，在中，点在上，，，.（1）求的值；（2）若，求的长.21．（12分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）改革开放年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示在分以上为交通安全意识强.求的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；已知交通安全意识强的样本中男女比例为，完成下列列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；安全意识强安全意识不强合计男性女性合计用分层抽样的方式从得分在分以下的样本中抽取人，再从人中随机选取人对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查，求至少有人得分低于分的概率.附：其中

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由求出范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立不等量关系，即可求解.【题目详解】当时，，∵在上有且仅有5个零点，∴，∴.故选:A.【题目点拨】本题考查正弦型函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题.2、B【解题分析】

根据，利用指数函数对数函数的单调性即可得出．【题目详解】解：∵，∴，，．∴．故选：B．【题目点拨】本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3、A【解题分析】

先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．【题目详解】i，∴a+bi＝﹣i，∴a＝0，b＝﹣1，∴a+b＝﹣1，故选：A．【题目点拨】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．4、C【解题分析】

A：否命题既否条件又否结论，故A错.B：由正弦定理和边角关系可判断B错.C：可判断其逆否命题的真假，C正确.D：根据幂函数的性质判断D错.【题目详解】解：A：“若，则”的否命题是“若，则”，故A错.B：在中，，故“”是“”成立的必要充分条件，故B错.C：“若，则”“若，则”，故C正确.D：由幂函数在递减，故D错.故选：C【题目点拨】考查判断命题的真假，是基础题.5、A【解题分析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【题目详解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a．故选：A．【题目点拨】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6、D【解题分析】

写出二项式的通项公式,再分析的系数求解即可.【题目详解】二项式展开式的通项为,令,得,故项的系数为.故选：D【题目点拨】本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.7、B【解题分析】

建立平面直角坐标系，用坐标表示，利用，列出方程组求解即可.【题目详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，解得则.故选：B【题目点拨】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.8、D【解题分析】

先根据已知条件求解出的通项公式，然后根据的单调性以及得到满足的不等关系，由此求解出的取值范围.【题目详解】由已知得，则.因为，数列是单调递增数列，所以，则，化简得，所以.故选：D.【题目点拨】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据之间的大小关系分析问题.9、C【解题分析】

首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解.【题目详解】因为正方形为朱方，其面积为9，五边形的面积为，所以此点取自朱方的概率为.故选：C【题目点拨】本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.10、C【解题分析】

令，可得，要使得有两个实数解，即和有两个交点，结合已知，即可求得答案.【题目详解】令，可得，要使得有两个实数解，即和有两个交点，，令，可得，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减.当时，，若直线和有两个交点，则.实数的取值范围是.故选：C.【题目点拨】本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11、C【解题分析】

设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.【题目详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为，以12：00点为开始算起，则有，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：.故选：C【题目点拨】本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.12、C【解题分析】

根据复数模的性质即可求解.【题目详解】,,故选：C【题目点拨】本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

设等比数列的公比为，将已知条件等式转化为关系式，求解即可.【题目详解】设等比数列的公比为，，.故答案为:.【题目点拨】本题考查等比数列通项的基本量运算，属于基础题.14、【解题分析】

取的中点，连接，，取的中点，连接，，，直线与所成的角为，计算，，根据余弦定理计算得到答案。【题目详解】取的中点，连接，，依题意可得，，所以平面，所以，因为，分别、的中点，所以，因为，所以，所以平面，故，故，故两两垂直。取的中点，连接，，，因为，所以直线与所成的角为，设，则，，所以，化简得，解得，即.故答案为：.【题目点拨】本题考查了根据异面直线夹角求长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.15、【解题分析】

从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.【题目详解】由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有种，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有种，所以其概率为.故答案为：【题目点拨】此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.16、【解题分析】

根据复合函数单调性同增异减，结合二次函数的性质、对数型函数的定义域列不等式组，解不等式求得的取值范围.【题目详解】由二次函数的性质和复合函数的单调性可得解得.故答案为：【题目点拨】本小题主要考查根据对数型复合函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】试题分析：（1）由条件可先求水平方向每根支条长，竖直方向每根支条长为，因此所需木料的长度之和L=（2）先确定范围由可得，再由面积为130cm2，得，转化为一元函数，令，则在上为增函数，解得L有最小值．试题解析：（1）由题意，水平方向每根支条长为cm，竖直方向每根支条长为cm，菱形的边长为cm．从而，所需木料的长度之和L=cm．（2）由题意，，即，又由可得．所以．令，其导函数在上恒成立，故在上单调递减，所以可得．则=．因为函数和在上均为增函数，所以在上为增函数，故当，即时L有最小值．答：做这样一个窗芯至少需要cm长的条形木料．考点：函数应用题18、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）不需要调整安全教育方案.【解题分析】

（I）根据题目所给数据填写好列联表，计算出的值，由此判断出在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.（II）利用超几何分布的计算公式，计算出的分布列并求得数学期望.（III）由（II）中数据，计算出，进而求得的值，从而得出该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.【题目详解】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的学生答卷总数为，.性别与合格情况的列联表为：是否合格性别不合格合格小计男生女生小计即在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.（Ⅱ）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值为,.的分布列为：20151050所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知：.故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.【题目点拨】本小题主要考查列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列、数学期望和方差的计算，所以中档题.19、;.【解题分析】

连接，由三角形相似得，，进而得出，，写出椭圆的标准方程；由得，，因为直线与椭圆相切于点，，解得，，因为点在第二象限，所以，，所以，设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，设直线的方程为，则，求出面积的取值范围.【题目详解】解：连接，由可得，，，椭圆的标准方程；由得，，因为直线与椭圆相切于点，所以，即，解得，，即点的坐标为，因为点在第二象限，所以，，所以，所以点的坐标为，设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，设直线的方程为，则，当且仅当，即时，有最大值，所以，即面积的取值范围为.【题目点拨】本题考查直线和椭圆位置关系的应用，利用基本不等式，属于难题.20、(1)；（2）.【解题分析】

（1）由两角差的正弦公式计算；（2）由正弦定理求得，再由余弦定理求得．【题目详解】（1）因为，所以.因为，所以，所以.（2）在中，由，得，在中，由余弦定理可得，所以.【题目点拨】本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理和余弦定理，属于中档题．21、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）取的中点，连接，，由，进而，由，得.进而平面,进而结论可得证（2）（方法一）过点作的平行线交于点，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面平面的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取的中点，上的点，使，连接，得，，得二面角的平面角为，再求解即可【题目详解】（1）证明：取的中点，连接，，由已知得，所以，又点是的中点，所以.因为，点是线段的中点，所以.又因为，所