2024届辽宁省葫芦岛市第一中学高三一诊考试-数学试题

2024届辽宁省葫芦岛市第一中学高三一诊考试-数学试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．为虚数单位,则的虚部为（）A． B． C． D．2．已知为抛物线的焦点，点在上，若直线与的另一个交点为，则()A． B． C． D．3．记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间，设函数，则不等式的解集为（）A．2阶区间 B．3阶区间 C．4阶区间 D．5阶区间4．已知函数（，，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知，，则（）A． B． C． D．7．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（）A． B． C． D．8．函数且的图象是（）A． B．C． D．9．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（）A．2014年我国入境游客万人次最少B．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差10．已知正方体的体积为，点，分别在棱，上，满足最小，则四面体的体积为A． B． C． D．11．双曲线：（，）的一个焦点为（），且双曲线的两条渐近线与圆：均相切，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．12．如果直线与圆相交，则点与圆C的位置关系是（）A．点M在圆C上 B．点M在圆C外C．点M在圆C内 D．上述三种情况都有可能二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，满足不等式组，则的取值范围为________．14．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．15．设为抛物线的焦点，为上互相不重合的三点，且、、成等差数列，若线段的垂直平分线与轴交于，则的坐标为_______.16．若x，y满足，则的最小值为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．18．（12分）已知椭圆：的离心率为，直线：与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点，过点的直线交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）以线段为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.19．（12分）如图在四边形中，，，为中点，.（1）求；（2）若，求面积的最大值.20．（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.表中，.（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据，，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.21．（12分）如图，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成的角为.（1）求证：平面平面BDE；（2）求二面角B-EF-D的余弦值.22．（10分）已知函数，其中．（1）①求函数的单调区间；②若满足，且．求证：．（2）函数．若对任意，都有，求的最大值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

利用复数的运算法则计算即可.【题目详解】，故虚部为.故选：C.【题目点拨】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数的虚部为，不是，本题为基础题，也是易错题.2、C【解题分析】

求得点坐标，由此求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得点坐标，进而求得【题目详解】抛物线焦点为，令，，解得，不妨设，则直线的方程为，由，解得，所以.故选：C【题目点拨】本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.3、D【解题分析】

可判断函数为奇函数，先讨论当且时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解【题目详解】当且时，.令得.可得和的变化情况如下表：令，则原不等式变为，由图像知的解集为，再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.故选：D【题目点拨】本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题4、B【解题分析】

先根据图象求出函数的解析式,再由平移知识得到的解析式,然后分别找出和的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出.【题目详解】设,根据图象可知,,再由,取,∴.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,∴.,,令,则,显然,∴是的必要不充分条件.故选：B．【题目点拨】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换,二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.5、C【解题分析】

由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，可得有解，令，则，对分类讨论，得出时，取得极大值，也即为最大值，进而得出结论.【题目详解】解：由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，即有解，令，则，则当时，；当时，，故时，取得极大值，也即为最大值，当趋近于时，趋近于，所以满足条件．故选：C.【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题．6、D【解题分析】

分别解出集合然后求并集.【题目详解】解：，故选：D【题目点拨】考查集合的并集运算，基础题.7、B【解题分析】

直接利用向量的坐标运算得到向量的坐标，利用求得参数m，再用计算即可.【题目详解】依题意，，而，即，解得，则.故选：B.【题目点拨】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.8、B【解题分析】

先判断函数的奇偶性，再取特殊值，利用零点存在性定理判断函数零点分布情况，即可得解.【题目详解】由题可知定义域为，，是偶函数，关于轴对称，排除C，D.又，，在必有零点，排除A.故选：B.【题目点拨】本题考查了函数图象的判断，考查了函数的性质，属于中档题.9、D【解题分析】

ABD可通过统计图直接分析得出结论，C可通过计算中位数判断选项是否正确.【题目详解】A．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；B．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；C．入境游客万人次的中位数应为与的平均数，大于万次，故正确；D．由统计图可知：前年的入境游客万人次相比于后年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误.故选：D.【题目点拨】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.10、D【解题分析】

由题意画出图形，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，可得当时最小，设正方体的棱长为，得，进一步求出四面体的体积即可．【题目详解】解：如图，

∵点M，N分别在棱上，要最小，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，三线共线时，最小，

∴

设正方体的棱长为，则，∴．

取，连接，则共面，在中，设到的距离为，

设到平面的距离为，

.

故选D．【题目点拨】本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题．11、A【解题分析】

根据题意得到，化简得到，得到答案.【题目详解】根据题意知：焦点到渐近线的距离为，故，故渐近线为.故选：.【题目点拨】本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.12、B【解题分析】

根据圆心到直线的距离小于半径可得满足的条件，利用与圆心的距离判断即可.【题目详解】直线与圆相交，圆心到直线的距离，即．也就是点到圆的圆心的距离大于半径．即点与圆的位置关系是点在圆外．故选：【题目点拨】本题主要考查直线与圆相交的性质，考查点到直线距离公式的应用，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知在点处取得最小值，即，所以由图可知的取值范围为．14、C【解题分析】

根据确定是异面直线与所成的角，利用余弦定理计算得到答案.【题目详解】由题意可得.因为，所以是异面直线与所成的角，记为，故.故选：.【题目点拨】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.15、或【解题分析】

设出三点的坐标，结合等差数列的性质、线段垂直平分线的性质、抛物线的定义进行求解即可.【题目详解】抛物线的准线方程为：，设，由抛物线的定义可知：，，，因为、、成等差数列，所以有，所以，因为线段的垂直平分线与轴交于，所以，因此有，化简整理得：或.若，由可知；，这与已知矛盾，故舍去；若，所以有，因此.故答案为：或【题目点拨】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了等差数列的性质，考查了数学运算能力.16、5【解题分析】

先作出可行域，再做直线，平移，找到使直线在y轴上截距最小的点，代入即得。【题目详解】作出不等式组表示的平面区域，如图，令，则，作出直线，平移直线，由图可得，当直线经过C点时，直线在y轴上的截距最小，由，可得，因此的最小值为.故答案为：4【题目点拨】本题考查不含参数的线性规划问题，是基础题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析；（2）详见解析.【解题分析】

（1）利用平行四边形的方法，证明平面.（2）通过证明平面，由此证得.【题目详解】（1）设是中点，连接，由于是中点，所以且，而且，所以与平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）连接，由于直三棱柱中，而，，所以平面，所以，由于,所以.由于四边形是矩形且，所以四边形是正方形，所以,由于,所以平面，所以.【题目点拨】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18、（1）；（2）是，定点坐标为或【解题分析】

（1）根据相切得到，根据离心率得到，得到椭圆方程.（2）设直线的方程为，点、的坐标分别为，，联立方程得到，，计算点的坐标为，点的坐标为，圆的方程可化为，得到答案.【题目详解】（1）根据题意：，因为，所以，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，点、的坐标分别为，，把直线的方程代入椭圆方程化简得到，所以，，所以，，因为直线的斜率，所以直线的方程，所以点的坐标为，同理，点的坐标为，故以为直径的圆的方程为，又因为，，所以圆的方程可化为，令，则有，所以定点坐标为或.【题目点拨】本题考查了椭圆方程，圆过定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19、（1）1；（2）【解题分析】

（1），在和中分别运用余弦定理可表示出，运用算两次的思想即可求得，进而求出；（2）在中，根据余弦定理和基本不等式，可求得，再由三角形的面积公式以及正弦函数的有界性，求出的面积的最大值．【题目详解】（1）由题设，则在和中由余弦定理得：，即解得，∴（2）在中由余弦定理得，即，∴所以面积的最大值为，此时.【题目点拨】本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．20、（1）更适宜（2）（3）x为2时，烧开一壶水最省煤气【解题分析】

（1）根据散点图是否按直线型分布作答；（2）根据回归系数公式得出y关于的线性回归方程，再得出y关于x的回归方程；（3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件.【题目详解】（1）更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型.（2）由公式可得：，，所以所求回归方程为.（3）设，则煤气用量，当且仅当时取“”，即时，煤气用量最小.故x为2时，烧开一壶水最省煤气.【题目点拨】本题考查拟合模型的选择，回归方程的求解，涉及均值不等式的使用，属综合中档题.21、（1）证明见解析；（2）【解题分析】

（1）要证明平面平面BDE，只需在平面内找一条直线垂直平面BDE即可；（2）以O为坐标原点，OA，OB，OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，分别求出平面BEF的法向量，平面的法向量，算出即可.【题目详解】（1）∵平面ABCD，平面ABCD.∴.又∵底面ABCD是菱形，∴.∵，∴平面BDE，设AC，BD交于O，取BE的中点G，连FG，OG，，，四边形OCFG是平行四边形，