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文档简介

正弦定理正弦定理正弦定理；ABCabc在直角三角形ABC中的边角关系有：对于一般的三角形是否也有这个关系？正弦定理证明一:在任意斜△ABC当中：S△ABC=两边同除以即得：==证法二:∵边AB、AC在y轴上射影相等,∴bsinC＝csinB,＝bsinBcsinC∴．

同理＝．

asinAbsinB

＝＝．asinAbsinBcsinC∴ABCabcxyxyABCabc正弦定理

在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等．

＝＝asinAbsinBcsinC＝正弦定理？正弦定理

＝＝asinAbsinBcsinC＝2R．=2RbsinBB`ABCbOABCbOB`ABCbO正弦定理（1）已知两角及一边；（2）已知两边和其中一边的对角；（3）已知两边及夹角；（用余弦定理）（4）已知三边．（用余弦定理）ABCabc

＝＝asinAbsinBcsinC＝2R．正弦定理例1在

ABC中，已知c＝10，A＝45°,C＝30°,求b．解：∵＝，bsinBcsinCB=180°–(A＋C)＝105°，ABCcbb

＝≈19．csinBsinC∴正弦定理注:这是一类已知两角和任一边,求其他两边和一角问题例2在

ABC中,已知a＝20,b＝28,A＝40°,求B和c．解：∵sinB＝≈0．8999bsinA

a∴B1＝64°，B2＝116°40°ABCbB1B2······正弦定理注:这是一类已知两边的其中一边的对角解三角形的问题

在例2中，将已知条件改为以下几种情况，结果如何？（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3;（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3;（3）b＝20，A＝60°，a＝15．60°ABCb正弦定理（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3sinB＝＝，bsinAa12B＝30°或150°，∵150°＋60°>180°，∴B＝150°应舍去．60°2020√3ABC正弦定理（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3sinB＝＝1，bsinAaB＝90°．B60°AC20正弦定理（3）b＝20，A＝60°，a＝15．sinB＝＝，bsinAa2√332√33

∵>1，∴无解．60°20AC

思考：当b＝20，A＝60°，a＝？时，有1解、2解、无解．正弦定理√230°练习

ABC中，（1）已知c＝√3，A＝45°，B＝75°，则a＝____，（2）已知c＝2，A＝120°，a＝2√3，则B＝____，（3）已知c＝2，A＝45°，a＝，则B＝___________．2√6375°或15°正弦定理小结2．正弦定理可解以下两种类型的三角形：（1）已知两角及一边；(只有一解)（2）已知两边及其中一边的对角→↓．1．正弦定理

是解斜三角形的工具之一．

＝＝asinAbsinBcsinC＝2R正弦定理解三角形时，注意大边对大角正弦定理⑴若A为锐角时:babababaa已知边a,b和ÐA有两个解仅有一个解无解a³bCH=bsinA<a<ba=CH=bsin

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