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沿y=xz第一页第二页，共16页。沿第二页第三页，共16页。柯西定理由于复变函数可以看作平面上的实矢量场，它的积分可以应用实矢量场的积分来研究闭路l上的积分连续，且同理连续，且在S这两个条件就是柯西－黎曼公式。因此第三页第四页，共16页。柯西定理：在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界的积分为零。奇点复变函数不可导的点。孤立奇点复变函数在其有限小邻域可导的奇点。含孤立奇点的区域，可将其每个奇点的有限小邻域挖掉，使原区域变为复通区域在A
围成的区域中含的孤立奇点，引入曲线将此奇点挖掉，余下的区域（复连通区域）中解析。第四页第五页，共16页。由柯西定理或又
与方向相反，但与方向相同。第五页第六页，共16页。2.2.柯西定理闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向的积分等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的和。固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分第六页第七页，共16页。并且整数
一个公式第七页第八页，共16页。全平面解析，积分只与起、终点有关。改沿实轴第八页第九页，共16页。2.3不定积分由柯西定理，在单通区域，解析函数沿任意路径的积分只与起点与终点有关。于是在这样的区域中，任意选取两点作起点和终点，唯一确定了复变函数的一个积分值。或者说，对于固定起点，积分是积分上限的单值函数。并且可以证明这是解析函数，有。即它是原函数。并且，第九页第十页，共16页。例计算a.在回路之外，无论何n此积分为零。b.在回路之内，，被积函数解析，积分为零。c.在回路之内，，将回路变形为以为圆心的半径为
的圆。积分变为第十页第十一页，共16页。故第十一页第十二页，共16页。1.在C外2.3.4.002iπ第十二页第十三页，共16页。第十三页第十四页，共16页。2.4柯西公式1.若在闭单通区域上解析，为的境界线，为内任一点，则有柯西公式证明由有为函数的奇点。以为圆心，为半径作圆，函数
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