江苏省南京市2021届高三上学期期初数学试题附答案解析

江苏省南京市2021届高三上学期期初考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）xxx20x1x3，则AB＝1．已知集合A＝，B＝2x2xx1x2D．x1x3x1x1A．B．C．2．已知(3﹣4i)＝1＋i，其中i为虚数单位，则在复平面内z对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限aba3．已知向量babab3，满足＝1，＝2，且，则与的夹角为A．6B．3C．6D．3xy224314．在平面直角坐标系xOy中，若点P(距离为6，则双曲线C的离心率为，0)到双曲线C：的一条渐近线的a9223A．2B．4C．D．5．在△ABC中，角ABC的对边分别为abc．若2bcosC≤2a﹣，则角B的取值范围是A．(0，]3333B．(0，]C．[，)，)D．[813a9b21.2c()6．设A．a＞b＞c7．在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，，，则4B．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞a＞b(xy1，点B(3，0)，过动点P引圆A222的切线，切点为T．若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为xy14x0xy14x022A．C．B．．22xy10x02xy10x0222f(x)fx)fx)f(x)．若当x(0，1]时，＝8．已知奇函数的定义域为R，且1f()2(2x，则的值是2A．﹣3B．﹣2C．2D．3二、多项选择题（本大题共45分，共计20至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产岀做出预测由上图提供的信息可知A．运营商的经济产出逐年增加B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D．信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势6f(x)2xg(x)yg(x)10．将函数A．函数B．函数C．函数D．函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则x的图象关于直线对称6g(x)g(x)g(x)的图象关于点(，0)对称6在区间(，)上单调递增6在区间(0，)上有两个零点2(2x2x)aaxaxaxaxaxax6，则．已知523450123456aaB．的值为16A．的值为205aaaaaaaaaC．的值为﹣5D．的值为120123456135f(x)g(x)I[f(x)xx012与的定义域的交集为IIg(x)](xx)0f(x)g(x))M恒成立，则称(，0数能构成“M函数对”的有1f(x)xg(x)g(x)xfx()e，A．C．，B．xx1f(x)xg(x)x2f(x)xD．，g(x)3x，3x三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球（小球rR，则＝3r．14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212第13题家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐1yx2交于A，B两点，则弦与拋物线C标系心中，已知直线l：＝4与抛物线C：4所围成的封闭图形的面积为．aS2Saa，nN，则a＝415．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且nnnnn1a1S＝＝2，则2分，第二空3分）；若(1x对一切xRabRe为自然对数的底数，162则a＋b的取值范围是．3四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1710分）nf(x)mn1．m3sinx，2cosx)，xR，设函数已知向量＝(2cosx，﹣1)，＝(f(x)（1）求函数的最小正周期；385f(a)]，且，求cos2a的值．（2）若a[，1812分）aS是公比为2的等比数列，其前n项和为，已知数列nn7SS2S2S3aa4a，③，这三个条件中任选一个，补，②（1）在①3132234aa的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意m，充到上述题干中．求数列nnNaan均为数列a中的项，说明理由；，mnnab()nbn，nN，求数列n1bnTn满足的前n项和．（2）设数列n1an注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．1912分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生404不达标达标男生女生36102430（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关?n(bc)2附：2．(ab)(cd)(acbd)0.0503.8410.0255.0240.0106.6350.0057.879k10.828（2）如果用这100名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1X表示“3X的分布列和数学期望．2012分）如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCDAD∥BCAB＝BC＝PA＝1，AD＝2，∠PAD＝∠DAB＝90°，点E在棱PC上，设CE＝CP．（1）求证：CD⊥AE；，求实数的值．（2）记二面角C—AE—D的平面角为，且52112分）5x2y1．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：24FT是椭圆C上的一个动点，求（1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1取值范围；的212（2）设A(0，﹣1)，与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于B，D两点，若△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．2212分）f(x)xx已知函数，kR．f(x)（1）当k＝2时，求函数的单调区间；f(x)k（2）当0＜x≤1时，恒成立，求k的取值范围；ln2lnnn(n（3）设nN，求证：．23n146江苏省南京市2021届高三上学期期初考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）xxx20x1x3，则AB＝1．已知集合A＝，B＝2x2xx1x2D．x1x3x1x1A．B．C．答案：C，∴集合A＝x1xxxx20，解析：∵集合A＝2x1x又∵B＝x1x，∴AB＝，故选C．2．已知(3﹣4i)＝1＋i，其中i为虚数单位，则在复平面内z对应的点位于A．第一象限答案：BB．第二象限C．第三象限D．第四象限1i117z)，在第二象限，故选解析：，故在复平面内z对应的点为(，3B．bab3a3．已知向量baab，满足＝1，＝2，且，则与的夹角为A．6B．3C．6D．3答案：Dab3a2b2+2abab1解析：，,b3ab11212ab，故与的夹角为，故选D．abxy2243134．在平面直角坐标系xOy中，若点P(距离为6，则双曲线C的离心率为，0)到双曲线C：的一条渐近线的a922A．2B．4C．D．答案：Axy2213x0，解析：双曲线C：的一条渐近线为a2973c23，故选A．6e2a3则，解得，a39a25．在△ABC中，角ABC的对边分别为abc．若2bcosC≤2a﹣，则角B的取值范围是A．(0，]3333B．(0，]C．[，)，)D．[答案：A1解析：∵2bcosC≤2a﹣c，∴2sinBcosC≤2sinA﹣sinC，故cosB≥，2∴0＜B≤，故选A．381a9b2c()6．设，，1.23，则C．a＞c＞b4A．a＞b＞c答案：CB．b＞a＞cD．c＞a＞b323232232，故解析：∵9＞8，∴3＞，223a93c12b从而有，故选C．242(xy17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点B(3，0)，过动点P引圆A222的切线，切点为T．若PT＝PB，则动点P的轨迹方程为xy14x0xy14x022A．B．．22xy10x02xy10x0C．222答案：C2解析：设P(，y)，∵PT＝PB，∴PT＝2PB，22(xy12[(xy]xy10x0，整理得：，故选C．∴222222f(x)fx)fx)f(x)＝8．已知奇函数的定义域为R，且．若当x(0，1]时，(2xf()，则的值是22A．﹣3B．﹣2C．2D．3答案：B8f(x)fx)fx)，可知函数的周期为4，解析：根据奇函数，满足3331f()f(f()f()f()42，故选B．∴222222二、多项选择题（本大题共45分，共计20至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产岀做出预测由上图提供的信息可知A．运营商的经济产出逐年增加B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D．信息服务商与运营商的经济产岀的差距有逐步拉大的趋势答案：ABD解析：从图表中可以看出2029年、2030年信息服务商在总经济产出中处于领先地位，C错误，故选ABD．6f(x)2xg(x)yg(x)10．将函数A．函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则x的图象关于直线对称6g(x)B．函数的图象关于点(，0)对称96g(x)g(x)在区间(C．函数D．函数，)上单调递增在区间(0，)上有两个零点6答案：ACD332gxxxx2())解析：可得，当，，故A正确；633x2x当当当，，故B错误；6x2)，(x(，，0)，故C正确；)，故D正确．32682xx(0，)，(，333故选ACD．(2x2x)aaxaxaxaxaxax6，则．已知523450123456aaB．的值为16A．的值为205aaaaaaaaa的值为120C．的值为﹣5D．123456135答案：ABC解析：令＝0，得a20，故A正确；2(5C55(4C45a5，故，B正确；aaaaaaa3①，又a2，令＝1，得01234560aaaaaa5，故C正确；∴123456aaaaaaa②，由①②得：令＝﹣1，得0123456aaa，D错误．135故选ABC．f(x)g(x)I[f(x)xx012与的定义域的交集为IIg(x)](xx)0f(x)g(x))M恒成立，则称(，010数能构成“M函数对”的有1f(x)xg(x)g(x)xfx()e，A．C．，B．D．xx1f(x)xg(x)x2f(x)x，g(x)3x，3x答案：AC解析：选项B满足f(x)g(x)F(x)f(x)g(x)存在两个非零，故不成立；选项D，的零点，故不成立．故选AC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球（小球rR，则＝3r．答案：2r4RrR2R2r342解析：．33r214．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287—前212学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的1yx2交于A，B两点，则弦平面直角坐标系心中，已知直线l：y＝4与抛物线C：4与拋物线C所围成的封闭图形的面积为．答案：3解析：首先得到弦的两个端点的坐标分别为(4，4)，(﹣4，4)，其次得在该两点处的抛物线的切线方程分别为y＝2x﹣4y＝﹣2﹣4，从而抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线188C所围成的封闭图形的面积为所围成的三角形面积为．23S2Saaa＝4，nN，则15．已知数列a的各项均为正数，其前n项和为，且nnnnn1a1S＝＝2，则2分，第二空3分）；若答案：4；220112Saa2Saaan1an12，解析：根据①，得②，①﹣②得nnn1n1nn1均为aa24a1aaaa与；当＝2，可得该数列满足故，且422k12k2k12kS＝220．公差为2的等差数列，即可求得(1x对一切xRabRe为自然对数的底数，162则a＋b的取值范围是．答案：(，﹣1]f(x)(，xf(x)f(0)恒成立，显然a≤0，解析：令2f(x)e[(2ab)xbfb10b1，，则x2f(x)e[(2ax]e(2a，x2xf(x))递减，f(x)f(0)符合题意，当a＝0时，在(，0)递增，(0，12a12af(x)，0)递增，(0，)递减a＜0时，在(，)递减，(aa12ax10f(x)0f(x)f(0)符合题意，x＜，故，2a综上，a≤0，b＝﹣1，因此a＋b(，﹣1]．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1710分）nf(x)mn1．m3x)，xR，设函数sinx，2cos2已知向量＝(2cosx，﹣1)，＝(f(x)（1）求函数的最小正周期；385f(a)]，且，求cos2a的值．（2）若a[，解：因为m＝(2cosx，－1)，n＝(3sinx，2cosx)，所以f(x)＝m·n＋1＝23sinxcosx－2cosx＋1π)．6＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x－2π（1）T＝＝π．28π)＝4（2）由f(α)＝，得sin(2－．565π7πππ]，得≤2－≤π，由α∈[，31226124π)＝－6π31－sin(2α－＝－1－()所以cos(2α－＝－，22565ππππ6π)sin－sin(2α－π6)＋]＝cos(2α－)cos从而cos2α＝cos[(2α－66663341－4－33．10××＝＝－－52521812分）aS是公比为2的等比数列，其前n项和为，已知数列nn7SS2S2S3aa4a，③，这三个条件中任选一个，补，②（1）在①3132234aa的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意m，充到上述题干中．求数列nnNaan均为数列a中的项，说明理由；，mnnab()nbn，nN，求数列n1bnTn满足的前n项和．（2）设数列n1an注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．1）选①，＋S＝2S＋2，因为S132－S＝S－S＋2，即a＝a＋2，所以S322132又数列{a}是公比为2的等比数列，＝2a＋2，解得a＝1，所以4a111因此a＝1×2＝2．n1－n1－a＝2·2此时任意m，n∈N，a＝2，mn2＋－*m1n1－－mn由于m＋n－1∈N，所以a*a是数列{a}的第m＋n－1项，mnn因此数列{a}满足条件P．选②，77＝＋a＋a＝，即a1因为S，33233又数列{a}是公比为2的等比数列，71＋2a＋4a＝＝，所以a1，解得a113131＝×2因此a．n1－n32a＝≤a，即aa不为数列{a}中的项，此时a＜a1129n12n13因此数列{a}不满足条件P．选③，a＝4a，因为a234又数列{a}是公比为2的等比数列，×4a＝4×8a，又a≠0，故a＝4，所以2a11111因此a＝4×2＝2．n1－n1＋此时任意m，n∈N，a＝2，mn2＋＋*a＝2·2m1n1＋＋mna是为数列{a}的第m＋n＋1项，由于m＋n＋1∈N，所以a*mnn因此数列{a}满足条件P．（2）因为数列a}是公比为2的等比数列，a所以n＝2，因此b＝n×2．＋an所以T＝1×2＋2×2＋3×2＋…＋n×2n－1，012n－1n则2T＝1×2＋2×2＋…＋(n－1)×2＋n×2，12两式相减得－T＝1＋2＋2＋…＋2n－1－n×2n121－2n1－2＝－n×2nn＝(1－n)2－1，所以T＝(n－1)2n＋1．1912分）为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40是否达标不达标达标性别男生女生36102430（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标与性别有关?n(bc)2附：2．(ab)(cd)(acbd)P(0.0503.8410.0255.0240.0106.6350.0057.8790.001k10.828（2）如果用这100名学生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和14女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1X表示“3X的分布列和数学期望．1）假设H：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得2450207100×(36×30－24×10)2χ＝＝≈11.836＞6.635，(36＋24)×(10＋30)×(36＋10)×(24＋30)成立时，χ≥6.635的概率约为0.01，因为当H02所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关．（2）记事件A为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；事件B为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标．24由题意知：P(A)＝＝，P(B)＝＝．6040302354随机变量X的取值可能为0，1，2，3．239P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，54100122233239P(X＝1)＝C××(1－)×(1－)＋×(1－)＝，5544510012232232P(X＝2)＝()×(1－)＋C××(1－)×＝，545545233P(X＝3)＝()×＝．5425所以随机变量X的分布列为：XP01239392531001002593923期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.55．2510010052012分）如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCDAD∥BCAB＝BC＝PA＝1，AD＝2，∠PAD＝∠DAB＝90°，点E在棱PC上，设CE＝CP．（1）求证：CD⊥AE；，求实数的值．（2）记二面角C—AE—D的平面角为，且51522222ABAD，AP}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．zPE→→则ADyBC→→所以x设E(，y，)，则(－1，y－1，z)＝λ(－1，－1，1)，→AE＝(1－λ，1－λ，λ)．→，y，z)，设平面AED的法向量为m＝(x111→m·AE＝0，(1－λ)x＋(1－λ)y＋λz＝0，111由→得y＝0，m·AD＝0，1令z＝1－λ，所以平面AED的一个法向量为m＝(－λ，0，1－λ)．λm·n10，|＝|＝因此|cosθ＝|cos<m，n>|＝||m||n|52·λ2＋(1－λ)222化简得3λ－8λ＋4＝0，解得λ＝或2．32因为E在棱PC上，所以λ∈[0，1]，所以λ＝．3102所以当|cosθ＝时，实数λ的值为．532112分）x2y1．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：24FT是椭圆C上的一个动点，求（1）设椭圆C的左、右焦点分别为F1取值范围；的212（2）设A(0，﹣1)，与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于B，D两点，若△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．x2(－3，0)，F(3，0)．1）因为椭圆C：＋y＝1，所以F2412→→，y)，则TF·TF，－y)·(3－x，－y)＝x设T(x0＝(－3－0＋y－3．20201000→→x2y)在椭圆C上，即·TF3x因为点T(x00＋y＝1，所以TF＝－2，且x∈[04]，222040104→→所以TF·TF的取值范围是[－2，1]．（2）因为直线l与坐标轴不垂直，故设直线l方程＝kx＋m(m≠－1，k≠0)．，y)，Ｄ(x，y)．设B(1122y＝kx＋m，x2由得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0，＋y＝1．22248km，xx＝4(m－1)．＋x＝－所以12121＋4k21＋42→→·AD因为△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB⊥AD，即AB＝0，＋1)(y＋1)＋xx＝0，即(kx＋m＋1)(kx＋m＋1)＋xx＝0，因此y1212121217)xx＋k(m＋1)(x＋x)＋(m＋1)从而(1＋k2＝0，1212即(1＋k)×4(m28km－1)－k(m＋1)×＋(m＋1)＝0，21＋4k21＋42)(m－1)－8km＋(1＋4k)(m＋1)＝0，也即4(1＋k2223解得m＝．54kmm)，且AM⊥BD，又线段BD的中点M(－，1＋4k21＋42m＋1151＋42所以＝－，即3m＝1＋4k，解得k＝±．2k54km－1＋4k25357625又当＝±，m＝时，△＝64km－4(1＋4k)(4m－4)＝＞0，255553x＋.所以满足条件的直线l的方程为y＝±2212分）5f(x)xx已知函数，kR．f(x)（1）当k＝2时，求函数的单调区间；f(x)k（2）当0＜x≤1时，恒成立，求k的取值范围；ln2lnnn(n（3）设nN，求证：．23n141）当＝2时，f(x)＝2x－xln，f′(x)＝1－lnx，由f′(x)＞0，解得0＜x＜；由f′(x)＜0，解得＞e，因此函数f(x)单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．（2）f()＝kx－lnx，故f′(x＝k－1－lnx．当k≥1时，因为0＜x≤1，所以k－1≥0≥lnx，因此f′(x)≥0恒成立，即f(x)在(0，1]上单调递增，所以f(x)≤f(1)＝k恒成立．当k＜1时，令f′(x)＝0，解得x＝e∈(0，1)．k1－)，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(e