5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式（第1课时）课件-高一上学期数学人教A版

5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式问题导学（5分钟）思考1：如何用α，β的正弦、余弦来表示cos(α－β)?思考2：你认为会是cos(α－β)=cosα－cosβ吗?请阅读课本P215-216,并思考下列问题：点拨精讲（22分钟）探究cos(α－β)与角α，β的正弦、余弦之间的关系？xyOα终边A(1,0)P1PA1β终边α-β终边如图，在直角坐标平面xOy内作单位圆O，并作出角α、β和α–β.由圆的旋转对称性知：A1P1=AP“形”“数”（α≠2kπ+β.k∈Z）A1(cosβ,sinβ)P(cos(α-β),sin(α-β))A(1,0)P1(cosα,sinα)各点坐标：在坐标平面内的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),xyO..P1(x1,y1)P2(x2,y2)M1(x1,0)M2(x2,0)N1(0,y1)N2(0,y2)QP1Q=M1M2=┃x1–x2┃，QP2=N1N2=┃y1–y2┃，由勾股定理，可得P1P22=P1Q2+QP22=(x1–x2)2+(y1–y2)2,=┃x1–x2┃2+┃y1–y2┃2∟∟∟∟∟由此得到平面内P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间距离公式：P1P2=根据两点间距离公式，结合A1P1＝AP，有：整理得

．请你借助以上“两点间的距离公式”，结合以上“数”与“形”的探究，你能得到什么结论？两点间距离公式：（α≠2kπ+β.k∈Z）P(cos(α-β),sin(α-β))A(1,0)P1(cosα,sinα)A1(cosβ,sinβ)数

A1P1＝AP形

当α，β终边重合时，cosα＝cosβ，sinα＝sinβ．此时等式（*）左侧＝cos2kπ＝1，右侧＝sin2α＋cos2α＝1，两侧的值相等，因此上述结论仍然成立．新知探究思考：如果两个任意角终边重合，上述结论成立吗？（α＝2kπ+β.k∈Z）两角差的余弦公式

简记作例1、利用公式C（α－β）证明、求值：证明：课本p217练习1（1）练习1、证明：∴左边＝右边，得证证明：课本p217练习4

本课时出现过的哪些性质、公式、定理，它们之间具有怎样的推出关系？叙述公式

，你在使用公式解决问题时有哪些心得体会？此外你还有哪些感悟？课堂小结（2分钟）

1、使用公式

时，由于α，β均为任意角，故可以代换成任意值，包括零、特殊角、负角等等．

2、cos(α－β)需要sinα，cosα，sinβ，cosβ四个值齐备时方可算出，缺一不可，若有所缺，往往可以借助同角三角关系算出所缺的数值．3、公式

中含有两个任意角，是诱导公式更上位的公式，可以推导出诱导公式.4、先从“数”的角度出发，再从“形”的角度考虑，最后融合“数”与“形”，似乎是一种探究数形关系的有效策略．1、化简、求值：(1)cos75°当堂检测（15分钟）金版p144例2（1）金版p144、145课本p217练习3课本p217练习55、选做（2）4、金版p145例31、化简、求值：(1)cos75°（2）（2）3、4、5、5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式问题导学（5分钟）你能从公式C(α－β)

出发，推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？请阅读课本P217-219,并思考下列问题：cos(α＋β)=?sin(α＋β)=?sin(α－β)=?tan(α＋β)=?tan(α－β)=?点拨精讲（22分钟）思考1：你能依据α＋β与α－β之间的联系，利用公式C(α－β)，推导出两角和的余弦公式cos(α＋β)吗？比较cos(α＋β)与cos(α－β)α＋β=α－(－β)将公式C(α－β)中的β替换为－β，可得:cos(α＋β)=cos［α－(－β)］=cosαcos(－β)+sinαsin(－β)=cosαcosβ-sinαsinβ简记为C(α＋β)．

诱导公式五、六可以实现正弦与余弦的转化；证明如下：新知探究探究2

我们已经得到了两角和与差的余弦公式，那么怎样利用已推出的公式得到正弦公式呢？以前学过的哪个公式可以实现正弦、余弦的转化呢？请你试一试．简记为S(α－β)．问题：类比推导cos(α＋β)的过程，如何从sin(α－β)出发，推导出sin(α＋β)？∴sin(α＋β)=sin［α－(－β)］=sinαcos(－β)-cosαsin(－β)=sinαcosβ+cosαsinβ简记为S(α＋β)．∴∵sin(α－β)=sinαcosβ-cosαsinβ简记为S(α－β)．然后用－β替换上式中的β可得:

探究3你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从S(α±β)，C(α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？简记为T(α＋β)．

然后用－β替换上式中的β可得:简记为T(α－β)．∵∴简记为T(α＋β)．问题：如何从tan(α+β)出发，推导出tan(α-β)？

例1

已知

，α是第四象限角，求

，

，

的值．解：由

，α是第四象限角，得所以于是有练习1

已知

的值解：课本P220练习2（2）例2

利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin72°cos42°－cos72°sin42°；（2）cos20°cos70°－sin20°sin70°；(3)解：（1）由公式S（α－β），sin72°cos42°－cos72°sin42°（2）由公式C（α＋β），得cos20°cos70°－sin20°sin70°＝sin（72°－42°）＝sin30°＝

；＝cos（20°＋70°）＝cos90°＝0；（3）由公式T（α＋β）及tan45°＝1，

余弦公式课堂小结（2分钟）正弦公式sin(α＋β)=sin(α-β)=cos(α+β)=cos(α－β)=正切公式tan(α+β)=tan(α－β)=当堂检测（15分钟）3．已知sin（α－β）cosα－cos（β－α）sinα＝，β是第三象限角，求

的值．（选做）4（2）sin20°cos110°＋cos160°sin70°2．求下式的值：21化简：(1)课本P220练习4（1）课本P220练习3（4）（6）课本P220练习5（1）cos74°sin14°-sin74°cos14°已知,求

的值.3课本P220练习2（3）1、原式=sin30。cosx-cos30。sinx=sin(30。-x)=-(sinx-30。)（2）sin20°cos110°＋cos160°sin70°原式=sin20°cos（90+20）°+cos（180-20）°sin(90-20)°

=sin20°(-sin20°)＋(-cos20°)cos20°=-(cos20°cos20°+sin20°sin20°)=-[cos(20°-20°)]=-12、（1）cos74°sin14°-sin74°cos14°原式=sin(14-74)°

=sin(-60°)=-sin60°

=解：3．已知sin（α－β）cosα－cos（β－α）sinα＝，β是第三象限角，求

的值．（选做）4二倍角公式(正用)练习1：二倍角公式(逆用)

练习2：例1：例1变式：探究：由二倍角公式我们还可以想到哪些式子之间的关系？1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导2、熟悉“一般到特殊”、“转化与划归”的数学思想3、二倍角正弦、余弦、正切公式的正向和逆向运用以及变形用小结说课环节说课流程说教材说教法学法说教学程序说板书设计教材内容教学目标教学地位与作用教学的重难点突破重难点的策略一、说教材一二三四五二倍角公式的推导；二倍角公式的简单应用三角函数是高中数学重要内容之一，而二倍角公式又是三角函数中的重中之重，有着广泛的实际应用。教学目标1、2、3、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力。通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。教学重点教学难点二倍角公式的推导及公式的应用二倍角公式的灵活应用突破重难点的策略

通过创设问题情境，让学生自主探索二倍角公式，并通过变式训练，帮助学生灵活应用二倍角公式，从而突破本节的重难点。学情分析学情相对于同年龄层次的学生而言，数学基础较扎实，对数学求知欲较强，有不断自我提升的需要；高一学生个性活泼，思维活跃，动手实践、合作探究的积极性高；学生基础参差不齐，个体差异比较明显，在教学中要关注不同层次的学生的学习和发展。采用类比教学法；使用“问题探究”、“动手启发”教学模式，分层次教学，借助多媒体辅助教学。

二、教法与学法教法分析学法分析先学后教，以学生动手为中心，以探究、试验为主线，采用“小组合作探究式学习法”进行学习。创设情境，提出问题回顾旧知，