九年级数学相似三角形经典题(含答案)

PAGEPAGE2第页共6页相似三角形经典习题教师版例1从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2已知：如图，ABCD中，，求与的周长的比，如果，求．例3如图，已知∽，求证：∽．例4下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．例5如图，D点是的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在的边上，并且点D、点E和的一个顶点组成的小三角形与相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法．例6如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）．例8格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9根据下列各组条件，判定和是否相似，并说明理由：（1）．（2）．（3）．例10如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11已知：如图，在中，是角平分线，试利用三角形相似的关系说明．例12已知的三边长分别为5、12、13，与其相似的的最大边长为26，求的面积S．例13在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使，然后再选点E，使，确定BC与AE的交点为D，测得米，米，米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（古代问题）例16如图，已知△ABC的边AB＝，AC＝2，BC边上的高AD＝．（1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案解①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似解是平行四边形，∴，∴∽，又，∴，∴与的周长的比是1：3．又，∴．例3分析由于∽，则，因此，如果再进一步证明，则问题得证．证明∵∽，∴．又，∴，∴．∵∽，∴．在和中，∵，∴∽例4．分析（1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．（3）正确．设有等腰直角三角形ABC和，其中，则，设的三边为a、b、c，的边为，则，∴，∴∽．（4）也正确，如与都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此∽．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确．例5．解：画法略．例6．分析本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即厘米米，厘米米，米，求BC．由于∽，又∽，∴，从而可以求出BC的长．解，∴，∴∽．∴．又，∴，∴∽，∴，∴．又厘米米，厘米米，米，∴米．即电线杆的高为6米．例7．分析根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，与的相似关系就明确了．解因为，所以∽．所以，即．所以（m）．说明这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解在格点中，所以，又．所以．所以∽．说明遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解（1）因为，所以∽；（2）因为，两个三角形中只有，另外两个角都不相等，所以与不相似；（3）因为，所以相似于．例10．解（1）∽两角相等；（2）∽两角相等；（3）∽两角相等；（4）∽两边成比例夹角相等；（5）∽两边成比例夹角相等；（6）∽两边成比例夹角相等．例11．分析有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，∴，则可推出∽，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明，∴．又平分，∴．∴，且∽，∴，∴，∴．说明（1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式，或平方式，一般都是证明比例式，，或，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析由的三边长可以判断出为直角三角形，又因为∽，所以也是直角三角形，那么由的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出的两条直角边长，再求得的面积．解设的三边依次为，，则，∴．又∵∽，∴．，又，∴．∴．例13．分析判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作于G，交CE于H，可知∽，且GF、HF、EH可求，这样可求得AG，故旗杆AB可求．解这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高．过F作于G，交CE于H（如图）．所以∽．因为，所以．由∽，得，即，所以，解得（米）所以旗杆的高为21.5米．说明在具体测量时，方法要现实、切实可行．例14.解：，∴∽，（米），答：两岸间AB大致相距100米．例15.答案：米，步，（注意：．）例16.分析：要求BC的长，需画图来解，因AB、AC都大于高AD，那么有两种情况存在，即点D在BC上或点D在BC的延长线上，所以求BC的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长．解：（1）如上图，由AD⊥BC，由勾股定理得BD＝3，DC＝1，所以BC＝BD＋DC＝3＋1＝4．（2）如下图，由题目中的图知BC＝4，且，，∴．所以△ABC是直角三角形．由AEGF是正方形，设GF＝x，则FC＝2－x，∵GF∥AB，∴，即．∴，∴．如下图，当BC＝2，AC＝2，△ABC是等腰三角形，作CP⊥AB于P，∴AP＝，在Rt△APC中，由勾股定理得CP＝1，∵GH∥AB，∴△CGH∽△CBA，∵，∴因此，正方形的面积为或．相似三角形一，比例线段成比例线段对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如=（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时有称这四条线段成比例。2．比例的性质（1）如果=，那么ad=bc（2）如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么=（3）如果=，那么=ac（4）如果=ac，那么=（5）合比性质：如果=，那么=（6）等比性质：如果==...=（b+d+...+n≠0），那么=二，相似三角形相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形注意：（1）所谓相似三角形是指两个三角形形状一样，大小不一定一样。（2）相似三角形定义本身揭示了相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。（3）全等三角形是相似比为1的相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形。2．相似三角形的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的三角形相似。（2）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。（3）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简单地说：两角对应相等，两三角形相似。（4）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简单地说：两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似。（5）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简单地说：三边对应成比例，则两三角形相似。（6）直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。一、选择题1、下列多边形一定相似的为（）A、两个矩形B、两个菱形C、两个正方形D、两个平行四边形2、下列说法不正确的是（）两对应角相等的三角形是相似三角形；ABABCDEFC、三边对应成比例的三角形是相似三角形；D、以上有两个说法是正确。3、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有（）A、2对B、3对C、4对D、5对4、已知3x=4y，则=（）A、B、C、D、以上都不对5、下列各组中得四条线段成比列得是（）A、4cm、2cm、1cm、3cmB、1cm、2cm、3cm、4cmC、25cm、35cm、45cm、55cmD、1cm、2cm、20cm、40cm6、若x是3和6的比例中项，则x的值为（）A、B、C、D、7、若P是线段AB的黄金分割点（PA＞PB），设AB=1，则PA的长约为（）A、0.191B、0.382C、0.5D、0.6188、如果，则下列正确得是（）A、B、C、D、ABCP9、如图，若P为△ABC的边AB上一点（AB>AC），则下列条件不一定能保证△ABCPA、∠ACP=∠BB、∠APC=∠ACBC、D、10、已知D、E为△ABC的边AB、AC上的两点，且AB=8，AC=6，AD=4，AE=3，则∶=（）A、1∶2B、1∶4C、1∶3D、2∶511、下列3个图形中是位似图形的有（）A、0个B、1个C、2个D、3个12٭、已知，如图（上右）△ABC是锐角三角形，正方形DEFG的一边在BC上，其余两个定点分别在AB、AC上，记△ABC的面积为，正方形DEFG的面积为，则有（）A、B、C、D二、填空题13、在比例尺为1：8000000的“中国政区”地图上，量得甲市与乙市之间的距离是6.5cm，则这两市之间的实际距离为km；14、小明的身高是1.6m，他的影长为2m，同一时刻教学楼的影长为24m，则教学楼的高是；15、已知AD为Rt△ABC斜边BC上的高，且AB=15cm，BD=9cm，则AD=，CD=。16、如图四，在平行四边形ABCD中，AB=4cm,AD=7cm,∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=_________cm17、若△ABC∽△ABC，且，△ABC的周长为12cm，则△ABC的周长为；ABCDF图5GE18、已知：x∶y∶z=2∶3∶ABCDF图5GE19、٭如图5,ΔABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,则=20、以坐标原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大5倍.如果四边形ABCD的坐标A（2，3），B（4，0），C（6，0），D（5，5）那么它们的对应点的坐标是。（只要一种）三、解答题21、请作出五边形ABCDE以点O为位似中心的位似图形，使得像和原图形的位似比是1：2。22、已知AB∥CD，AD、BC交于点O。（1）、试说明△AOB∽△DOC。（2）、若AO＝2，DO＝3，CD＝5，求AB的长。ABCED23、如图，已知，试说明∠ABCED24、如图，已知AD、BE是△ABC的两条高，试说明AD·BC=BE·ACAABCEDABCDE25、已知，如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=3，求S△ADEABCDE26、有一块三角形的土地，它的底边BC＝100米，高AH＝80米。某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上。若大楼的宽是40米（即DE＝40米），求这个矩形的面积。27、已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.相似三角形经典习题教师版例1从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2已知：如图，ABCD中，，求与的周长的比，如果，求．例3如图，已知∽，求证：∽．例4下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．例5如图，D点是的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在的边上，并且点D、点E和的一个顶点组成的小三角形与相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法．例6如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）．例8格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9根据下列各组条件，判定和是否相似，并说明理由：（1）．（2）．（3）．例10如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11已知：如图，在中，是角平分线，试利用三角形相似的关系说明．例12已知的三边长分别为5、12、13，与其相似的的最大边长为26，求的面积S．例13在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使，然后再选点E，使，确定BC与AE的交点为D，测得米，米，米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（古代问题）例16如图，已知△ABC的边AB＝，AC＝2，BC边上的高AD＝．（1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案解①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似解是平行四边形，∴，∴∽，又，∴，∴与的周长的比是1：3．又，∴．例3分析由于∽，则，因此，如果再进一步证明，则问题得证．证明∵∽，∴．又，∴，∴．∵∽，∴．在和中，∵，∴∽例4．分析（1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．（3）正确．设有等腰直角三角形ABC和，其中，则，设的三边为a、b、c，的边为，则，∴，∴∽．（4）也正确，如与都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此∽．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确．例5．解：画法略．例6．分析本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即厘米米，厘米米，米，求BC．由于∽，又∽，∴，从而可以求出BC的长．解，∴，∴∽．∴．又，∴，∴∽，∴，∴．又厘米米，厘米米，米，∴米．即电线杆的高为6米．例7．分析根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，与的相似关系就明确了．解因为，所以∽．所以，即．所以（m）．说明这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解在格点中，所以，又．所以．所以∽．说明遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解（1）因为，所以∽；（2）因为，两个三角形中只有，另外两个角都不相等，所以与不相似；（3）因为，所以相似于．例10．解（1）∽两角相等；（2）∽两角相等；（3）∽两角相等；（4）∽两边成比例夹角相等；（5）∽两边成比例夹角相等；（6）∽两边成比例夹角相等．例11．分析有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而