（解析版） 专项训练02-2021年中考数学挑战满分专项训练（全国通用）

专项训练02

本节内容在专项训练oi的基础上继续加强填空题的综合训练，涉及知识点较多，其中

四边形、反比例函数下的几何图形对学生的思维拓展十分有益。函数的应用题、四边形、

圆、二次函数的综合题对即将中考的学生提分很强的针对性。

一、填空题

3

1.(2020.河南周口市.九年级期末)如图，直线y=-：x-3交x轴于点A,交y轴于点8,

4

点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作。P,当。P与直线AB相

切时，点尸的坐标是.

题型：几何与函数结合题；数学思想：分类讨论思想。

【答案］《,。卜1*。)

【分析】

先求出点A(-4,0),B(0,-3),利用勾股定理得到AB=5,过点P作PCAB于点C,

PAPC5

贝|JPC=1,证明△PACs/\BAO,得到一=—,求出PA二一，再分点P在点A的左侧和

ABOB3

右侧两种情况分别求出OP,即可得到点P的坐标.

3

解：令y=-1工一3中x=0,得y=・3；令y=0,得x=・4,

・・・A(-4,0),B(0,-3),

AOA=4,OB=3»

AAB=5,

过点P作PCLAB于点C,则PC=1,

AZPCA=ZAOB=90°,

VZPAC=ZBAO,

/.△PAC^ABAO,

"

PC

而

~~0B,

出_1

5=­，

3

5

3

51717

当点P在点A左侧时，P0=PA+0A=-+4=—,...点P的坐标为,0)；

333

577

当点P在点A的右侧时，PO=OA-PA=4--=-，，点P的坐标为(--,0),

333

B

【点拨】此题考查一次函数与x轴、y轴的交点坐标，勾股定理，圆的切线的性质定理，相似

三角形的判定及性质，解题中注意运用分类讨论的思想.

2.（2020•四川成都市•九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-2与

x轴，y轴分别交于点D,C.点G,H是线段CD上的两个动点，且/GOH=45。，过点G

作GALx轴于A,过点H作HB^y轴于B,延长AG,BH交于点E,则过点E的反比例

k

函数y=—的解析式为.

x

题型：一线三等角全等模型，思路：设参求值。

【答案】y=一

x

【分析】过点G作GPJ_GO,交OH的延长线于点P,过点P作PNLAE,交AE延长线于

N,设点A（-。，0）则AO=a,DO=2,AD=2-。，由“AAS”可证△GAO也Z\PNG,可

得NP=AG=2-a,AO=GN=a,可求点P坐标，求出一次函数解析式，可求点H的纵坐

标，即可求解.

解：如图，过点G作GPLGO,交OH的延长线于点P,过点P作PNJ_AE,交AE延长

线于N,

AO=a,

・・,直线y=-x-2与x轴，y轴分别交于点D,C,

・,•点D(-2,0),NADC=45。，

DO=2,AD=2-a,

VAE1OD,

AZADG=ZAGD=45°,

；・AD=AG=2-ci,

VGP1GO,ZGOH=45°,

・・・NGPO=NGOP=45。，

・・・GP=GO,

VZAGO+ZAOG=90°,ZAGO+ZNGP=90°,

AZAOG=ZNGP,

又・・・NGNP=NGAO=90。，GO=GP,

AAGAO^APNG(AAS),

；・NP=AG=2-ci,AO=GN=a,

，AN=2,

工点P(2-2〃,-2),

...直线OP解析式为：y=­X,

a-l

1

x

联立方程组，y=a-----l--

y=-x-2

-2（a-l）

A——

.a

・・\

2

y二——

Ia

・••点H的纵坐标为，

a

一2

，点E（一。，---）

a

k

•・,反比例函数y=—的图象过点E,

x

2

.•・k=-ax（----）=2,

a

...反比例函数解析式为：y=-，

X

故答案为：y——.

x

【点拨】本题考查了反比例函数k的几何意义，全等三角形的判定和性质，二元一次方程组

的解法，利用参数解决问题是本题的关键.

3.（2020•深圳市福田区南华实验学校九年级其他模拟）如图，矩形0ABe的顶点A、C分

别在x轴、y轴的正半轴上，点。在边0c上，且3O=OC,以80为边向下作矩形

k

BDEF,使得点E在边0A上，反比例函数），=—（攵。0）的图象经过边EF与的交点

x

G.若AG=2,DE=2,则女的值为

3

X

题型：反比例函数中的几何题，思路：利用三角形全等与相似解决问题。

【答案】y

【分析】如图，连接DF,BE,由“HL”可证RtABDEZRtABAE,可得AE=DE=2,由勾股

AGEG

定理可求EG,通过证明△DEOS/^EGA,可得——=—，可求OE的长，即可求点G坐

OEDE

标，代入解析式可求k的值.

解：如图，连接DF,BE,

：四边形OABC是矩形，四边形BDEF是矩形，

.*.OC=AB,BE=DF,ZBAO=ZBDE=ZDEF=90°,

VBD=OC,

；.BD=AB,

又：BE=BE,

BDEgRsBAE(HL)

；.AE=DE=2,

；.EG=y/AE2+AG2=J4+-=-.

V42

ZDEO+ZAEG=90°,ZEDO+ZDEO=90°,

ZAEG=ZEDO,

又•.•/EOD=NEAG=90。，

.".△DEO^AEGA,

.AGEG

'OE-DE

35

J_=l

OE2

OE=-

/.OA=2+—=

•..反比例函数y=-(HO)的图象经过点G,

24

k=—x—=

52T

一-“24

故答案为：-

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理,

相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，求出点G的坐标是本题的关键.

k

4.(2020.四川眉山市.九年级其他模拟)如图，双曲线y=-(x>0),经过RtAABC的两

个顶点4、C,ZABC=9Q°,AB〃x轴，连接04,将RtAABC沿4c翻折得到RsA8C,

点8,刚好落在线段0A上，连接OC,0C恰好平分0A与x轴正半轴的夹角，若R3ABC

的面积为2,则k的值为.

AB

题型：反比例函数背景下的折叠问题，涉及知识要点：角平分线的性质定理，K

值的几何意义，设参求值。

【答案】8

【分析】

延长8C,与x轴交于点£>,可得CZXLx轴，作轴，如图所示，由折叠的性质得到

RtAAfiC^RtAAB'C,再由角平分线定理得到8c=8，C=C£)=/7,AB^m,设A(m2b),根据题

意求出/泌=4,2ah=k,利用反比例函数的性质列出关于人的方程，求出方程的解即可得到k

的值.

解：延长BC与x轴交于点£>,可得CO_Lx轴，作轴，如图所示，

f

・・・RtAABC沿AC翻折后得到RSABCt且RtAABC的面积为2,

.'.RtAABC^Rl^ABC,

•・・。。平分NA。。，CDJLOD,CBfA.OA,

:・CD二CB・CB,

设A8=m,A(a,2b),贝！J3C=b,OD=m+a,

・・・RS48。的面积为2,

:.—bm=2,即bm=4,

2

11111kk

・・Sxcorf2-k=—OD9CD=­(m+a)b=­(nib+ab)=—(4+-)=2+—，

2222224

解得：k=8.

故答案为：8.

5.（2021.四川成都市.成都实外九年级期末）如图，正方形ABCD的边长为8,线段CE绕

着点C逆时针方向旋转，且CE=3,连接BE,以BE为边作正方形BEFG,M为AB边

的中点，当线段FM的长最小时，tan.

题型：正方形的手拉手相似模型，锐角三角函数，勾股定理，三角形面积，线段最值模型,

熟练构造相似模型，准确确定线段最小值的条件是解题的关键.

【答案】I

【分析】连接BD,BF,FD,证明ZiEBCsaFBD,根据题意，知道M,F,D三点一线时,

FM最小，然后过点M作MGLBD,垂足为G,根据等腰直角三角形的性质、勾股定理分

别求出MG和DG的长，再根据正切的定义计算即可.

解：连接BD,BF,FD,如图，

,:也=世=日

BCBE

.BDBC

•.一,

BFBE

VZFBD+ZDBE=45°,NEBC+NDBE=45。,

.,.ZFBD=ZEBC,

.•.△EBC^AFBD,

DFBDr-

ZFDB=ZECB，——=——=<2,

CEBC

*'•DF=y/2CE-3>/2,

由题意知：FM、DF,DM三条线段满足FM+DF^MD,其中DM、DF的值一定,

...当M,F,D三点一线时，FM最小，

过点M作MN_LBD,垂足为G,

1

VZMBN=45°,BM=—AB=4,

2

；.MN=BN=2&,

MD=./AM2+AZ)2=V42+82E75，

；•DG=4MD2-MG2=J(4⑹2—(2扬2=6近，

••/"Rt-MG2V21

..tanZ.ECB=tanNFDG=---=—产=—，

DG6723

故答案为：—.

6.（2020•重庆开州区•九年级期末）如图，在矩形ABCO中，AB=4,BC=7,EA平分

NBAD殳BC于点、E,连接OE,将矩形A8C。沿OE翻折，翻折后点。与点以点对应,

再将所得AC7XE绕着点E旋转，线段C'£>'与线段交于点P.当⑷其'时，则。C'

的长为_________

题型：相似三角形的性质和判定，勾股定理，旋转和翻折的性质，矩形的性质

等.解题关键能结合题意画出图形进行分析.

［答案］—V34

17

【分析】可先根据题意画出大致图形，根据旋转和翻折前后对应边和对应角相等可得

CE=EC=3,NEC'D=ZC=90°.再利用勾股定理求得PD和PE,证明XPCEs

\PFD,可求得DF,C'F,进一步利用勾股定理即可求得。C'.

解：如图所示，假设当AC'D'E旋转到如下位置时，PD=PC,过DF_LC'。'交于F.

•••四边形ABCD为矩形，DC=AB=4,

.\ZBAD=ZB=ZC=90°,

,/EA平分NfiAQ,

，NBAE=45°,/AEB=90°-NBAE=45°,

BE=AB=4,EC=BC-BE=3,

在RSDCE中，根据勾股定理

DE=qEC+DC?=5,

根据翻折和旋转的性质可得CE=EC=3,NECD=ZC=90°,

设PD=PC'=x,

：.EP=5-x,

在MAC'PE中根据勾股定理,

Q

CE2+CP=PE?，即32+/=(5—x)2,解得x=m，

Q17

^PD=C'P=-,PE=—,

在△PC'E和kPFD中，

NPC'E=NPFD=90。

•[ZC'PE=ZFPD'

\PC'EsbPFD,

,PFDFPD,PFDFf

..----=-----,即Hr--——=,

PC'EC'PEf3

2464

解得DF=L,PF==,

：.C'F=PF+C'P=，,

17

，DC=y]CF2+DF2=J（—）2+（—）2=—^34,

V171717

故答案为：—A/34.

7.（2021•湖北随州市•九年级期末）如图，在口ABC中，AB=AC=10,点。是边上

4

一动点（不与民。重合），//4。£=/8=。,。后交4。于点瓦且《）5。=1.下列结论正

确的是一（填所有正确结论的序号）.

（DDADEnOACD；②□ABC的面积为48；③当43=23。时，口ABDRDCE；④当

7

□AOE为直角三角形时，8。的长为8或一.

2

A

【答案】①②④

【分析】根据相似三角形的判定可得①；根据三角函数值的应用和直角三角形的特征计算即

可求解②；运用反证求解即可证明③；根据N4EO=90°和ND4E=90°两种情况计算即

解：VAB=AC,

，NB=NC,

又：NADE=NB,

：.NADE=ZC,

ZDAE=ZCAD,

：.0ADEU0ACD,

故①正确；

4

VAB=AC=1(.),cosa=—,

/.cosC-cosB=-,sine/=sinC=一，

5''一'一5

作AFJ.BC于点F,

VAB=10,

；.BF=8,AF=6,

同理可得：CF=8,

△侬'(8+8)x6=48；

A

B

故②正确；

由②知：BC=16,

VAB=2BD,

；.BD=5,CD=11,

若口ABOMDOCE,

；.AB=CD,

VAB=10,CD=11,

.,.不成立；

故③错误；

当NASO=90。，

/DEC=NAED=90°,

又；NC=NADE,

/\ADE□4DCE，

.CEDE

••---=----,

DEAE

设CE=4尤，则=10—4x,

4

cosC=cosB=—,

5

tanC——,

4

3

DE=ECQanC=—x4x=3x,

4

.4x3x

"3?-10—4x

Q

解得：X=-,且经检验，是所列方程的解，符合题意:

CD=5x=8,BD=16—8—8：

当NDAE=90°,

7

同理可得：BD=「

2

故④正确；

故答案为：①②④.

【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，结合三角函数进行分析计算是解题

的关键.

8.（2021•浙江宁波市•九年级期末）如图，在DABC中，48=4。,8。平分/48。,石在

8A延长线上，且=若BC=8,AE=2,则CO的长为.

【答案】后—3

【分析】通过证△4£/速△/,得到求出BF=2,NDAE二NDFB,AD=DF,

进而求出CF的长，进而得到NBAD=NDFC,从而证UCFDsUCAB,得到J=—,

CABC

将证得边的关系CA=6+CD以及其他各值代入即可得到答案.

解：；BD平分/ABC,DE=BD

；.NABD=/DBC,/AED=/ABD

ZDBC=ZAED

如图，在BC上取点，使BF=AE

则在口4£3与口尸80中，

AE=FB

，NAED=NDBC

DE=BD

：.AAE*AFBD（SAS）

，AE=BF=2,ZDAE=ZDFB.AD=DF

；.CF=BC-BF=8-2=6

ZBAD=180°-NDAE,ZDFC=180°-NDFB

.,.ZBAD=ZDFC

又：NC=/C

.•.UCFDsLJCAB

.CFCD

"~CA~~BC

:AB=AC

.•.ZABC=ZACB

ZBAD=ZDFC

NFDC=1S00-ZDFC-ZC=180O-ZBAD-ZABC

•：ZC=180°-ZBA£>-NABC

：.ZFDC=ZC

，DF=FC=6,则AD=DF=6

；.CA=6+CD

又：CF=6,BC=8

•6CD

6+CD~

解得。。=历一3.

故答案为：V57-3-

【点拨】本题考查的全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质

等知识点，是中考综合性题目，而且还要会解一元二次方程，用方程法解几何问题.解答此

题的关键是利用性质找到边与边之间的关系.

9.（2021•安徽合肥市•八年级期末）如图，已知△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,BF±AD

垂足为E,连接DF,若SAADF=F，ZAFB=ZCFD,则DF的长为.

【分析】过点C作CGLAC交AD的延长线于G,求出/ABF=NCAG,证明△ABF^ACAF,

得至UAF=CG,再证明ACDF四4CDG得到CG=CF,进而得至UAF=CF=2>AC,且

2

CG1

△AEFs/XACGs^BAF,旦相似比为——=一，设EF=x,将ED、DF用x的代数式表示,

AC2

最后用勾股定理建立方程求出x即可.

解：如下图所示：过点C作CGLAC交AD的延长线于G,

.".ZCAG+ZBAE=90°,

VBFXAD,

；./ABF+NBAE=90°,

；./ABF=NCAG,

在^ABF和ACAG中,

ZABF=ZCAG

<ABAC

NBAF=Z4CG=90°

?.AABF^ACAG(ASA),

；.AF=CG,NG=NAFB,

VZAFB=ZCFD,

/CFD=NG,

VAB=AC,ZBAC=90°,CG±AC,

.•.NDCF=NDCG=45。，

在4CDF和ACDG中，

'NCFD=4G

<ZDCF=ZDCG,

CD=CD

.".△CDF^ACDG(AAS),

；.CG=CF,DG=DF,

又CG=AF,

，AF=CF」AC,

2

又NAEF=NBEA=NGCA=9()。，且NGAC=NABF,

CG]

AAAEF^AACG^ABAF,且相似比为——=-

AC2

设EF=x,贝ijAE=2EF=2x,BE=2AE=4x,

；.BF=BE+EF=5x=AG,

又==代入EF=X,

1515

AD=—,ED=AD-AE=­-2x,

2x2x

・<15

ADF=DG=AG-AD=5x------,

2x

在R/EDF中，DP=EF2+ED2,代入数值：

3

解得：x=—,

2

3

经检验，％=一是方程的根，

2

.152u15u5

・・AD=—x5,DF=------5=一,

2322

故答案为：

2

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形

的性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形并二次证明三角形全等，然后利用勾股定理

列出方程是解题的关键.

二、解答题

10.（2020•浙江九年级期末）如图1,四边形A8CO内接于□O,AC是口。的直径,

（1）证明：ZACD=AECD.

（2）当AB=8,CO=5时，

①求AD的长度.

②如图2,作8F平分NABC交口O于点F,连结。尸,AF,求口AOE的面积.

2025

【答案】（1）见详解；（2）CDAD——；②

【分析】

（1）由题意易得/BAD=/ACD,由圆内接四边形的外角等于它的内对角得

ZECD=ZBAD,然后问题可求解;

5E5

(2)①由(1)及题意易得△CDEs^ABE,则有---=----=-,进而可得=：，

ABAE8DE4

然后设CE=5x,DE=4x,最后根据勾股定理可求解;

②连接CF,过点F作FH1.AE于点H,由题意易得NABF=NACF=NADF=45。，由①

252075XF)

可得CE=T，AD=—,则有AC=3，进而可得AP=24,AFHD是等腰直角三

3336

20

角形，然后设DH=FH=x,则4/7=7—x,由勾股定理可求解x的值，最后根据三角形面

积计算公式可求解.

(1)证明：=

；./BAD=NACD,

•.•四边形ABC。内接于口O,

,ZECD=ZBAD,

NACD=NECD；

(2)解：①由(1)得：ZACD=NECD,

VAC是。0的直径，

.•.ZADC=ZCDE=90°,

VCD=CD,

A△ADCEDC(ASA),

AD=DE,AC=CE,

VZE=ZE,

.".△CDE^AABE,

•/AB=8,CD=5,

.CDCE5

"AB-AE-8'

.CDCE5

"~\B~2DE~8"

•CE5

..——f

DE4

设CE=5x,OE=4x,在Rt^CDE中，CE?=DE2+CD2,

二25/=16/+25,解得：x=1.

②连接CF,过点F作FH_LAE于点H,如图所示:

图2

由①得：AD^DE=—,AC=CE=j

33

BF平分ZABC,ZABC=90°,

，NABF=45°,

；.NACF=NADF=45。，

；AC是是。。的直径，

ZAFC=90°,

/.△AFC和4FHD是等腰直角三角形,

；.AF=FC,FH=DH,

,_夜“250

・・AF=——AC=-----，

26

20

设DH=FH=x,则AH=——x,

3

、2、2

20’25垃

，在RtAAHF中,------x+x2

36

77

535

解得：玉=一,々=一（不符合题意，舍去）

6-6

5

...FH

6

c1f…120525

:・S=—AD•FH=—x——x—=——

AFrDn22369

【点拨】本题主要考查圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆的基本性质及

相似三角形的性质与判定是解题的关键.

11.（2021•四川成都市•九年级期末）某旅馆有客房120间，经市场调查发现，客房每天的

出租数量y（间）与每间房的日租金》（元）的关系如图所示，为保证旅馆的收益，每天出

租的房间数不少于90间.

（1）结合图象，求出客房每天的出租的房间数）'（间）与每间房的日租金》（元）之间的

函数关系式和自变量的取值范围；

（2）设客房的日租金总收入为W（元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金定为

多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？

（2）每间客房的II租金定为180元时，客

房日租金的总收入最局为19440兀

【分析】

（1）首先假设出一次函数解析式，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；

（2）根据客房日相金的总收入为W=每间客房的日租金x每天客房出租数，再利用配方法求

出二次函数的最值即可.

解：（1）设客房每天的出租数量y（间）与每间房的日租金》（元）之间的函数关系式

y=kx+b(k。0).

160k+。=120

把(160,120),(170,114)代入得《

170k+。=114

k=-2

解得《5,

Z?=216

32

y=——x+216，

-5

3

——+216>90

5

由题意得:

3

--x+216<120

I5

...160W210

...自变量X的取值范围是1604x4210

(2)由题意得：

W=y.x=(g+216)x=-|(x-180)2+19440

3

V—<0,160<x<210

5

...当x=18()时，%大=19440.

答：每间客房的日租金定为180元时，客房日租金的总收入最高为19440元.

【点拨】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数

最值问题，得出客房日租金的总收入为W=每间客房的日租金x每天客房出租数是解题关键.

12.(2021•四川成都市•成都实外九年级期末)天气寒冷，某百货商场准备销售一种围巾，

围巾的进货价格为每条50元，并且每条的售价不低于进货价，经过市场调查，每月的销售

量)‘(条)与每条的售价》(元)之间满足人体所示的函数关系.

(1)求每月销售)‘(条)与售价X(元)的函数关系式；

(2)物价部门规定，该围巾的每条利润不允许高于进货价的30%,设这种围巾每月的总利

润为卬(元)，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

【答案】(1)y=-10x+1200(x>50)；(2)售价定为65元可获得最大利润，最大利

润8250元.

【分析】

⑴设次函数解析式丫=丘+8(x>50),利用待定系数法将(60,600),(80,400)

代入即得解得解析式；

(2)根据题意列出函数关系式，再利用：次函数的性质求最大利润即可，注意考虑自变量

的范围，围巾的每条利润不允许高于进货价的30%.

解：(1)设一次函数解析式y=履+8(x>50).

由函数图像可知(60,600),(80,400)在函数图像上，代入即得：

600=60%+人

1400=8(U+b

k=-10

解得：《

8=1200

所以，每月销售了(条)与售价x(元)的函数关系式：y=-10x+1200(x250).

(2)由题意得：^(-10x+1200)(x-50)

化简得：w=-10x2+1700x-60000

由函数解析式可知对称轴是x=85时，xW85时，w随x的增加而增大.

因为,围巾的每条利润不允许高于进货价的30%,那么xW50X(1+30%),即xW65.

所以，当x=65时，w取到最大值：-10x652+1700x65-60000=8250.

所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润8250元.

【点拨】本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟

练掌握二次函数的性质是解题的关键.

13.(2021.郑州市.河南省实验中学九年级开学考试)(1)问题发现

如图1,在RtAABC和RtACDE中，ZACB^ZDCE=90°,NC4B=/COE=45。，点。是线

段A8上一动点，连接BE.

则线段AO,BE之间的位置关系是,数量关系是；

(2)类比探究

如图2,在RtAABC和Rt/kCDE中，NACB=/£>CE=90。，NC4B=/CDE=60。，点。是线

段A8上一动点，连接BE.请判断线段A。，BE之间的位置关系和数量关系，并说明理由；

(3)拓展延伸

如图3,在(2)的条件下，将点。改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段OE的中

点例，连接8历、CM,若4c=2,则当△CBM是直角三角形时，请直接写出线段BE的长.

【分析】

(1)由直角三角形的性质可得/ABC=/CAB=45o=ZCDE=/CED,可得/AC=BC,

CD=CE,由“SAS”可证，△ACDgZXBCE,可得BE=AD,/CAB=NCBE=45。，即可求解；

BE

(2)通过证明△ACDS^BCE,可得一的值，ZCBE=ZCAD=60°,即可求/DBE的度

AD

数；

(3)分点D在线段AB上和BA延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证CM=BM=

后，即可求DE=2«,由相似三角形的性质可得NABE=90。，BE=J5AD,由勾股定理

可求BE的长.

解：(1)VZACB=ZDCE=90°,ZCAB=ZCDE=45°,

.\ZABC=ZCAB=45°=NCDE=NCED,

；.AC=BC,CD=CE,

VZACB=ZDCE=90",

.*.ZACD=ZBCE,

在4ACD和ABCE中，

AC=BC

-NACD=NBCE,

CD=CE

.".△ACD^ABCE(SAS),

；.BE=AD,ZCAB=ZCBE=45",

AZDBE=ZABC+ZCBE=90°,

AAD±BE,

故答案为：垂直，相等；

(2)BE=^AD,AD_LBE,

理由如下：VZACB=ZDCE=90°,ZCAB=ZCDE=60°,

\ZACD=ZBCE,ZCED=ZABC=30°,

,.tanZABC=tan30°=—=^1,

BC3

/ZACB=ZDCE=90°,NCAB=NCDE=60°,

•.RtAACB^RtADCE,

.ACCD

~BC~~CE

ACBC「

——=—,且NACD=NBCE,

CDCE

,.△ACDs/XBCE,

BEBCtr

\——=——=，3,/CBE=/CAD=60°,

ADAC

ZDBE=ZABC+ZCBE=90°；

，.BE=6AD,AD±BE；

(3)若点D在线段AB上，如图，

、BEBC/-

由(2)知：一=—=A/3,ZABE=90°,

ADAC

.".BE=V3AD,

：AC=2,ZACB=90°,ZCAB=60°,

，AB=4,BC=2y/3.

；/ECD=/ABE=90°,且点M是DE中点,

1

.\CM=BM=-DE,

2

VACBM是直角三角形,

.•.CM2+BM2=BC2=(203)，

.".BM=CM=76，

DE=276)

VDB2+BE2=DE2,

•••(4-叫2+(GAD『=24，

AAD=V3+1，

BE=>y3AD=3+y/3；

若点D在线段BA延长线上，如图:

同理可得：DE=2几，BE=V3AD,

VBD2+BE2=DE2,

/.(4+AD)2+(V3AD)2=24，