第26章二次函数(专题复习)

课题：第26章二次函数（专题复习）一、必记概念：1、二次函数：形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数。2、二次函数的图象是一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。3、抛物线的顶点式：（）；交点式：（、是抛物线与轴的交点坐标的横坐标）。二、必记性质和规律：4、二次函数（）的性质：（1）当时，图象开口向上，顶点是最低点，在对称轴左侧，随的增大而减小；在对称轴的右侧，随的增大而增大，当时，有最小值；（2）当时，图象开口向下，顶点是最高点，在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴的右侧，随的增大而减小，当时，有最大值.三、考点典型例题：考点1：二次函数的定义：（一般考点）1、已知函数是二次函数，求的值.2、下列函数是二次函数的是（）....归纳：（1）定义：形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中、、分别为二次项系数、一次项系数、常数项。注意：，当、可以为.故、、都是二次函数；（2）图象：二次函数的图象形如抛掷物体时所经过的路线，因此称为抛物线，它是一个轴对称图形，对称轴与抛物线的交点就是抛物线的顶点，抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，顶点纵坐标是二次函数的最大值或最小值，对称轴可以用直线表示，是顶点横坐标。考点2：二次函数的图象与性质：（重点考点）1、试比较与的开口大小.规律小结：（1）的正负决定开口方向：，抛物线开口向上；，抛物线开口向下.决定开口大小，因为越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大.（2）性质：①抛物线的顶点是原点（，），对称轴为轴.②当时，在对称轴左侧，随的增大而减小；在对称轴的右侧，随的增大而增大，当时，有最小值等于.③当时，在对称轴左侧，随的增大而增大；在对称轴的右侧，随的增大而减小，当时，有最大值等于.（3）研究二次函数的性质要结合函数图象。考点3：二次函数图形的平移：（一般考点）1、将抛物线向上平移个单位，再向左平移个单位得抛物线，则，.归纳：（1）设，，将抛物线向右平移个单位得，向左平移个单位得，向上平移个单位得，向下平移个单位得.（2）抛物线关于轴对称的抛物线为；关于轴对称的抛物线为；关于原点对称的抛物线为.考点4：二次函数的性质：（重点考点）A图1xyBOAC1、如图1，抛物线与轴交于、两点，且，则的值为（）A图1xyBOAC、、、或、规律小结：二次函数的图象是一条抛物线，其顶点坐标为（，），其对称轴为直线，当时，取得最值为.考点5：求二次函数的解析式：（重点考点）1、如图1，函数抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，，，求该抛物线的解析式。归纳小结：1、二次函数的解析式：（1）一般式：（、、是常数，）；（2）顶点式：（）；（3）交点式：（、是抛物线与轴的交点坐标的横坐标）。2、抛物线解析式的求法：（1）已知抛物线上的三点，可用一般式列三元一次方程组求解；（2）若已知抛物线的顶点或对称轴、最大（小）值，可设顶点式；（3）若已知抛物线与轴的两个交点，可设交点式或一般式。3、求二次函数解析式应根据所给条件，灵活地选择函数关系式，应用待定系数法求出未知系数。考点6：抛物线与、、、的关系：（拓展考点）1、二次函数的图象如图2所示，则下列结论正确的是（）、，，、，，、，，、，，2、二次函数的图象如图3所示，则点（，）在（）、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限归纳：、、的代数式作用说明1.的正负决定抛物线的开口方向和增减性；2.决定抛物线开口大小.开口向上开口向下确定抛物线与轴交点的位置，交点坐标（，）交点在上方交点在原点交点在下方决定对称轴位置，对称轴为直线、同号对称轴在轴左侧对称轴在轴、异号对称轴在轴右侧决定抛物线与轴的交点个数抛物线与轴相交，2个交点抛物线与轴相切，1个交点抛物线与轴相离，无交点（，）决定顶点位置顶点纵坐标就是二次函数的最值.（，0）（，0）抛物线与轴交点坐标，所以抛物线与轴两交点间的距考点7：二次函数与一次函数、反比例函数：（学科内综合考点）1、在同一坐标系中，函数与（）的图象可能是下图中的（）归纳：二次函数的图象与一次函数、反比例函数及其他知识的结合，运用二次函数性质进行说明。考点8：二次函数的实际中的应用：（实际应用考点）1、如图4，要在底边，高的铁皮余料上截取一个矩形，使点在上，点在上，点、在上，交于点，.（1）设矩形的长，宽，确定与的函数关系式；（2）当为何值时，矩形的面积最大？（3）以面积最大的矩形为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样围时，才能使铁桶的体积较大？请说明理由（注：围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备）。归纳：1、二次函数的应用：（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值问题；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值问题。2、解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等。考点9：利用二次函数图象求一元二次方程和一元二次不等式的近似值：（创新考点）1、画出函数的图象，根据图象回答下列问题：（1）图象与轴交点的坐标是什么：（2）不等式，的解集是什么？归纳：1、二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程就是使二次函数的值为.（2）二次函数的图象与轴的交点有三种情况：有两个交点、只有一个交点、没有交点，当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当时自变量的值，即一元二次方程的根。（3）当二次函数的图象与轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与轴有一个交点时，则一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根。2、二次函数与一元二次不等式的关系：对于（1）当取何值时，，即求方程的解；（2）当取何值时，，即求不等式的解集；（3）当取何值时，，即求不等式的解集.3、设抛物线（）与轴交于（，）、（，）两点（），则不等式的解集为或，不等式的解集为.4、运用图象法求一元二次方程与一元二次不等式的近似解，应准确画出函数图象，结合图象进行分析、总结。四、部分中考试题：题型一：选择题-15xy图5-21-15xy图5-2、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）2、（2018年武汉）二次函数（）的图象如图5所示，则下列结论：①、同号；②当和时，函数值相等；③；④当时，的值只能取.其中正确的个数是（）、个、个、个、个yOOAOAxOAACxyByOOAOAxOAACxyBxyDxy题型二：填空题1、（2018年乐山）若二次函数的图象满足下列条件：①当时，随的增大而增大；②当时，随的增大而减小.这样的二次函数解析式可以是.11ABOxy图6Oxy图72、（2018年宁夏）如图6，抛物线的对称轴是，与轴交于、两点，若点坐标是（，），则11ABOxy图6Oxy图73、（2018年丽水）已知二次函数的图象经过点（，），则.4、（2018年贵阳）已知二次函数（）的顶点坐标为（，），及部分图象（如图7），由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是和.5、（2018年常州）已知抛物线的对称轴为直线，满足的的取值范围是，将抛物线向平移个单位，则得到抛物线.题型三：解答题1、（2018年山西）已知抛物线与轴的交点为、（在后面），与轴的交点为.（1）写出时与抛物线有关的三个正确结论；（2）当点在原点的右边，点在原点的下方时，是否存在为等腰三角形的情形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）请你提出一个对任意的值都能成立的正确命题（说明：根据提出问题的水平层次，得分略有差异）。2、（2018年济南）如图8，正方形是边长为，点是边上不与点、重合的任意一点，连结，过点作交于点，设的长度为，的长为.（1）求点在上运动的过程中的最大值；（2）当时，求的值。APCBAD图8Q3、(2018年山西)矩形在平面直角坐标系中的位置如图9所示，、两点的坐标分别为（，），（，），直线与边相交于点.APCBAD图8Q（1）求点的坐标；（2）若抛物线经过、两点，试确定此抛物线的表达式；（3）为轴上方（2）中抛物线上一点，求面积最大值；（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线交于点.点为对称轴上一动点，以、、为顶点的三角形与相似，求符合条件的点坐标。4、(2018年北京)已知抛物线.（1）求证此抛物线与轴有两个不同的交点；（2）若是整数，抛物线与轴交于整数点，求的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为，抛物线与轴的两个交点中右侧交点为.若为坐标轴上的一点，且，求点的坐标。5、(2018年齐齐哈尔)如图10，在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴上，线段、的长（）是方程的两个根，点是线段的中点，点在线段上，.（1）求点的坐标；（2）求直线的解析式；（3）是直线上的一点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由。五、中考试题预测：1、求抛物线关于轴对称的抛物线解析式。2、将抛物线绕顶点旋转后，求所得抛物线的解析式。3、已知抛物线的顶点在轴上，求的值.4、已知抛物线的顶点在轴上，求的值。5、二次函数，当满足什么条件时，随的增大而减小。6、根据下列条件，求二次函数的解析式：（1）经过（，），（，），（，）；（2）顶点为（，），且经过（，）；（3）与轴有两个交点，横坐标为，，且经过（，）.7、如果二次函数的图象过点（，）.（1）求这个二次函数的解析式，并写出该函数图象的对称轴；（2）图象的对称轴是轴的二次函数有无数个，试写出两个不同的二次函数解析式，使这两个函数图象的对称轴都是轴。8、二次函数与（）在同一坐标系中的图象可能是（）9、如图11，已知正方形的边长为，、、、分别是各边上的点，且EFDHA图11GABC-1xyOAAEFDHA图11GABC-1xyOAA1xyOAB11xyOAC1xyOAD110、已知抛物线的部分图象如图12所示，若，则的取值范围是（）、、、或、或11、已知二次函数（）的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是（）、①③、②③、①④、②③④12、二次函数的图象如图14所示，根据图象可知得、、与零的大小关系是（）、，，、，，、，，、，，13、某农场为防风治水在一山坡上种植一片树苗，并安装了自动喷灌设备.一瞬间，喷水头喷出的水流呈抛物线.如图15所示，建立直角坐标系，已知喷水头