2023年陕西交大附中高三第一次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A==3={（x,y）|y=2x},则中元素的个数为（）

A.3B.2

2.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（）

3.关于函数/(x)=l2^tLan+vcos2x,下列说法正确的是()

1+tarrx

A.函数f（x）的定义域为R

37r7i

B.函数f（x）一个递增区间为一刀，£

OO

C.函数/（X）的图像关于直线X=9对称

O

D.将函数y=V2sinlx图像向左平移g个单位可得函数y=f（x）的图像

O

4.已知方是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，且au/?,a^\/3=h,贝是“Q//Z?”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D,既不充分也不必要条件

5.已知直线2如+〃"2（〃2>0,附>0）过圆（》—1）2+0—2）2=5的圆心，则，+工的最小值为（）

mn

A.1B.2C.3D.4

6.已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,3,4},则集合d（A（JB）=（）

A.{1,2,6}B.{1,3,6}C.{1,6}D.{6}

7.已知43是球O的球面上两点，乙我加=90°,。为该球面上的动点.若三棱锥O—ABC体积的最大值为36,则球O

的表面积为（）

A.36兀B.64兀C.144兀D.256兀

8.小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在.起，小明从中任取两本,则他取到的均是自己的作

业本的概率为（）

22

9.已知直线6x-y+相=0过双曲线G餐一斗=13>0力>0）的左焦点尸，且与双曲线C在第二象限交于点A,若

a'b

I以hlR?I（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为

A.2B.V3+1C.75D.V5-1

10.已知平行于x轴的直线分别交曲线lny=2x+l,j?=2元一1（”0）于48两点，则41ABi的最小值为（）

A.5+ln2B.5-In2C.3+In2D.3-ln2

r，，1

11.已知〃与入0>l』Og|^0>-;q:\/xeR,ex>x,则下列说法中正确的是（

2

A.Pvq是假命题B.2八4是真命题

C.pv（「q）是真命题D.〃△（—1<7）是假命题

12.做抛掷一枚骰子的试验,当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验

中成功次数X的期望为（）

11

A.3B.2C.1D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在长方体ABC。-A旦G9中，AD=DD\=1,AB=6,E,F,G分别为ABIC,的中点，点尸在

平面ABCD内，若直线DXPH平面EFG,则线段乌尸长度的最小值是.

14.已知函数/（X）=F若关于X的不等式/（x）>。的解集为（力,+8）,则实数。的所有可能值之和为

log2>0,''

15.“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈.”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2

天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月(按30天计算)共织布390尺.”则每天

增加的数量为一尺，设该女子一个月中第"天所织布的尺数为%,贝1」弓4+65+66+%7=

16.如图所示的流程图中，输出〃的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在四棱椎P-A3CD中，四边形AB8为菱形，PA=5,PB=*，AB=6,POLAD,O,E

分别为AO,AB中点.々4)=60。.

(1)求证：AC±PEt

(2)求平面POE与平面P3D所成锐二面角的余弦值.

18.(12分)已知函数/(x)=a/—sinx,其中aeR,e为自然对数的底数.

(1)当1=1时,证明：对Vxe[0,+oo)J(x)..l；

(2)若函数/(x)在上存在极值，求实数”的取值范围。

19.（12分）已知VxeR,不等式Ix-l|-Ix-2区a+b+c恒成立.

(1)求证:/+b2+c2>-

3

(2)求证:加+加+扬++“2+々220.

20.(12分)如图，在三棱柱ABC-AB|G中，平面ABC,AB1AC,且A8=AC=A3=2.

(1)求棱A4与8c所成的角的大小；

(2)在棱4G上确定一点P,使二面角4的平面角的余弦值为半.

21.(12分)如图在棱锥P-ABC。中，ABCO为矩形，面ABC。，PB=2,NBPC=45,NPBD=30.

(1)在心上是否存在一点E，使PC_L面A0E,若存在确定E点位置，若不存在，请说明理由；

(2)当E为PB中点时，求二面角P—AE—。的余弦值.

Y—、/6cosa

22.(10分)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为..,(。是参数)，以原点。为极点，x轴的正半

y=sina

轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕sin(e-.

(1)求直线/与曲线C的普通方程，并求出直线的倾斜角；

(2)记直线/与),轴的交点为。,M是曲线。上的动点，求点M,。的最大距离.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

集合A表示半圆上的点，集合8表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.

【详解】

由题可知：集合A表示半圆上的点，集合3表示直线上的点，

联立y=y]l—x?与y=2x,

1

-

可得忘?=2x，整理得d5-

即』半,

当X=—正时，y=2x<0,不满足题意；

5

故方程组有唯一的解.

故Ac8=J'—•,---卜

故选：C.

【点睛】

本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.

2.C

【解析】

根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.

【详解】

由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.

3.B

【解析】

化简到/(x)=&sin(2x+?)根据定义域排除AC。，计算单调性知8正确，得到答案.

【详解】

/(x)=——tan：+c0s2x-sin2x+cos2x=V2sin|2x+—|,

1+tan-xV4j

TC

故函数的定义域为+,故A错误；

2

37tTC7C7C7C

当xe---时，2x+—G,函数单调递增，故8正确；

_88J4L22_

当％=-生，关于x=g的对称的直线为x=g不在定义域内，故C错误.

482

平移得到的函数定义域为R,故不可能为y=/(x),。错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.

4.C

【解析】

根据线面平行的性质定理和判定定理判断alia与allb的关系即可得到答案.

【详解】

若a〃a,根据线面平行的性质定理，可得a〃b；

若W/5,根据线面平行的判定定理，可得。〃a.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.

5.D

【解析】

圆心坐标为(1,2),代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值.

【详解】

圆(％-1)2+(丁一2)2=5的圆心为(1,2),

由题意可得2加+2〃=2,即加+〃=1,>n,n>0,

II!InivifiniI

则—F—=（一+—）（，〃+n）=2+—F—..4,当且仅当一=—且m+〃=1即〃z=〃=—时取等号，

mnmnmnmn2

故选：D.

【点睛】

本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系,

考查运算能力，属于基础题.

6.D

【解析】

根据集合的混合运算，即可容易求得结果.

【详解】

■：A<JB={1,2,3,4,5）,故可得g（AU8）={6}.

故选：D.

【点睛】

本题考查集合的混合运算，属基础题.

7.C

【解析】

如图所示，当点C位于垂直于面AQB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球。的半径为R,此时

%YBC=%.AOB=2X!R2XR=，炉=36,故R=6,则球。的表面积为5=4%收=]44万'故选C.

326

考点：外接球表面积和椎体的体积.

8.A

【解析】

利用P="计算即可，其中nA表示事件A所包含的基本事件个数，n为基本事件总数.

n

【详解】

从7本作业本中任取两本共有仁种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有C；种不同结果，

C2

由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为收=1

2

5C7

故选：A.

【点睛】

本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.

9.B

【解析】

直线Gx-y+〃?=O的倾斜角为四，易得|E4RF0=c.设双曲线C的右焦点为E,可得ZW石中，ZFAE=90,则

3

\AE\=y/3c,所以双曲线C的离心率为e=底:.=8+।.故选B.

10.A

【解析】

设直线为〉=43>0),4内,弘)8(工2，%)，用。表示出X，%，求出4|AB|,4-f(a)=a2+2-lna,利用导数求出

单调区间和极小值、最小值，即可求出41ABi的最小值.

【详解】

解：设直线为〉=。(。>0),4>],凶)3(工2，%)，则E。=2%+1,.•.X1=g(lna—1),

而/满足/=2々-1,.“2=空必

2,1]

那么41AM=4(%―%)=4~~2=2(〃2+2-Ina)

设/⑷=片+2—Ina,贝!)/3)=过二1,函数/(a)在(o,']上单调递减，在(坐,+«)]上单调递增，

22

。I)I)

(Jy\

所以41AMmm=2八。焉=2/V=5+ln2

故选：A.

【点睛】

本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关

键，属于中档题.

11.D

【解析】

举例判断命题p与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案.

【详解】

当无0〉1时，log[Xo<°，故，命题为假命题；

2

记/(x)=m-X的导数为尸(X)=^-1,

易知/(x)=/-X在(-8,0)上递减，在(0,+oo)上递增，

：.f(x)>/(0)=1>0,即故夕命题为真命题；

工是假命题

故选D

【点睛】

本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题.

12.C

【解析】

21

I)——=""

每一次成功的概率为63,X服从二项分布，计算得到答案.

【详解】

p=_=_E(X)=_x3=]

每一次成功的概率为63,X服从二项分布，故3

故选：C

【点睛】

本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13立

2

【解析】

如图，连接2AAe,qc,证明平面AC?//平面EFG.因为直线。尸//平面EfG,所以点P在直线AC上.当

DCAC时.线段AP的长度最小，再求此时的D,P得解.

【详解】

如图，连接

因为E,F,G分别为A3,BC,的中点，

所以AC7/E户，平面AC。一

则跖//平面AC2.因为EGHAD,,

所以同理得EG//平面AC。，又EFCEG=E.

所以平面AC。//平面EPG.

因为直线。,//平面EFG,所以点尸在直线AC上.

在△仙中，

V7

故当2P，AC时.线段D}P的长度最小，最小值为-2-=4.

-x22

2

故答案为：昱

2

【点睛】

本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14.6

【解析】

由分段函数可得4,0不满足题意；。>0时，log2x>«,可得x>2",即有/=2",解方程可得。=2,4,结合指数

函数的图象和二次函数的图象即可得到所求和.

【详解】

.3'-4,X<0

解：由函数/1)=八，可得

log,>0

/(x)的增区间为(-00,0),((),+8),

尤<0时,/(x)e(0,3力，尤>0时,/(x)eR,

当关于x的不等式/(%)>。的解集为(/,内),

可得4,0不成立，

4〉0时，0<4,4时，不成立;

O1

/(%)>a,即为log2X>a,

可得x>2"，即有4=2",

显然。=2,4成立；由y=2,和y=Y的图象可得在1〉。仅有两个交点.

综上可得。的所有值的和为1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查分段函数的图象和性质，考查不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查化简运算能力，属于中档题.

16--

15.—52

29

【解析】

设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，由等差数列前〃项和公式求出d=合,由此利用等差数列通项公式能求出

"14+”15+”16+"17•

【详解】

设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，

30x29

贝!IS30=30x5+^^4=390,

解得d=£，即每天增加的数量为,

/.《4+%5+^16+。17=4+13d+4+14d+4+15cl+4+16d

=4q+58d

=4x5+58x3=52,故答案为3，52.

2929

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.

16.4

【解析】

根据流程图依次运行直到sw-i,结束循环，输出"，得出结果.

【详解】

由题：S=1,〃=1,S=1+log2=0,〃=2,

22

S=°+log22+]=log?§，〃=3，

2321

S=log2—+log2—j=log2-=-1,H=4,S<-1结束循环,

输出〃=4.

故答案为：4

【点睛】

此题考查根据程序框图运行结果求输出值，关键在于准确识别循环结构和判断框语句.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析；(2)如画.

91

【解析】

(1)证明PO_LAC,ACJ_O石得到AC_L平面POE,得到证明.

(2)以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。一型，平面POE的一个法向量为正=(61,0),平

面PBZ)的一个法向量为3=(-4百,4,3百)，计算夹角得到答案.

【详解】

(1)因为四边形ABC。是菱形，且Nfi4E>=60。，所以是等边三角形，

又因为。是AO的中点，所以BOJ.AO,又因为AB=6,AO=3,所以8。=3百，

又PO=4,=BO2+PO2=PB2,所以POLO3,

又POJ.AD,ADcOB=O,所以POl平面ABC。，所以POJ.AC,

又因为ABC。是菱形，OEIIBD,所以AC_LOE,又POp|OE=O，

所以AC，平面POE,所以AC_LPE.

(2)由题意结合菱形的性质易知OPOPLOB,OA±OB,

以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-巧2,

则/(0,0,4),8(0,3疯0),0(0,0,0),E(|,|ao),0(-3,0,0),

m-OP-4zj=0

设平面POE的一个法向量为加=(X，y,zJ,贝!|：<m-OE=阳+g6弘=0

据此可得平面POE的一个法向量为m=(V3,-l,0)，

/5•BD=—3X-36y2=0

设平面P3D的一个法向量为〃=(//2*2)，贝必2

n•PD=-3X2-4Z2=0

据此可得平面PBD的一个法向量为n=(-473,4,3百)，

/---、m-n-16_8>/91

cos(m,n)=—―-

\m\n\^回一91

平面POE与平面PBD所成锐二面角的余弦值殳叵.

91

【点睛】

本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

18.(1)见证明；(2)ae(0,l)

【解析】

(1)利用导数说明函数的单调性，进而求得函数的最小值，得到要证明的结论；

(2)问题转化为导函数在区间上有解，法一：对a分类讨论，分别研究a的不同取值下，导函数的单调性及值域，从

而得到结论.法二：构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域，再利用零点存在定理说明函数存在

极值.

【详解】

(1)当a=］时，/(x)=e*-sinx,于是，/'(x)=e*-co&x.

又因为，当xe(0,*K>o)时，且co&xKl.

故当XG(0,+8)时，ex-cosx>0，即r(x)>o.

所以，函数〃x)=e'-sinx为(0,+co)上的增函数，于是，/(x)>/(O)=l.

因此，对Vxe［0,-Ko),/(x)>l；

(2)方法一：由题意/(x)在(0,^］上存在极值，贝|/'(x)=ae'-co&x在(0,/)上存在零点，

①当a€(0,1)时，/'⑴二彼一为除为口口上的增函数，

注意到''(O)=a_l<0,f'^=a-e^>0,

所以，存在唯一实数用€(0,5)，使得/'(%)=0成立.

于是，当xw(当天))时,r(x)<0,7(x)为(0,不)上的减函数；

当工小飞’?时，f'(x)>0,/(x)为1°，?上的增函数；

所以与e(0，m为函数“X)的极小值点；

x

②当a21时，/'(%)=-cosx>e-cosx>0在xG上成立，

所以/(x)在上单调递增，所以“X)在(0，口上没有极值；

③当aW0时，/'(X)=ae'-cosx<0在xw(0,上成立，

所以/(力在(0,曰上单调递减，所以/(x)在(0,口上没有极值，

综上所述，使/(x)在(0,上存在极值的〃的取值范围是(0,1).

方法二：由题意，函数/(x)在］0彳］上存在极值，则/'(力=馥'一cosx在(。,小上存在零点.

即。=罢在(°，胃)上存在零点.

/\cos九xelo,11,则由单调性的性质可得g(x)为［o,段上的减函数.

设g（x）=­

即g(尤)的值域为(0,1),所以，当实数ae(O,l)时，/'(力=四'一cow在上存在零点.

下面证明，当ae(O,l)时，函数”X)在(0,9上存在极值.

事实上，当ae(O,l)时，/'(x)=ae‘一co&r为(0,曰上的增函数，

注意至iJ/'(O)=a—1<0,尸0=分—>0,所以，存在唯一实数

使得/'(%)=()成立•于是，当x€(0，x。)时，/。)<0，〃X)为(0,不)上的减函数；

当xe(xo，|^时，/(%)>0,/(X)为(用，3上的增函数；

即飞为函数“X)的极小值点.

综上所述，当a«0,l)时，函数“X)在(。,口上存在极值.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的最值，涉及函数的单调性，导数的应用，函数的最值的求法，考查构造法的应用，是一

道综合题.

19.(1)证明见解析(2)证明见解析

【解析】

(1)先根据绝对值不等式求得-|x-2|的最大值，从而得到a+>+cNl,再利用基本不等式进行证明；

(2)利用基本不等式/+〃z2/2变形得2丝土生，两边开平方得到新的不等式，利用同理可得另外两个

2

不等式，再进行不等式相加，即可得答案.

【详解】

(1)V|x-1|—|x—2|<|x—1—x+2|=l,/.a+b+c>\.

2+b2>lab，b2+c2>2bc，c2+a2>lac，

：•2a2+2h2+2c2>2ab+2bc+lac，

：•3。2+3b~+3cL>_1_匕+c~+2ab+2bc+2cle—（Q+。+21,

:.a1-^b2+c2>-.

3

(2),：a1+b2>2ab,2(a2+h2)>a2+2ab+h2=(a+h)2,

即丝产两边开平方得d庐之亚|“+回=也(a+与.

同理可得2也S+c),\lc2+a2>—(c+a)-

22

三式相加，得y/a2+b2+扬+。2+y/c2+cr>V2(a+b+c)>^2-

【点睛】

本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和

推理论证能力.

20.(1)y(2)p(l,3,2)

【解析】

试题分析：(1)因为ABJ_AC,AiB_L平面ABC,所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y

轴，以过A,且平行于BAi的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A|B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱

AAi与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AAi与BC所成的角的大小；

(2)设棱BiG上的一点P,由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABAi的一个法向量，把二

面角P-AB-Ai的平面角的余弦值为2叵，转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标.

试题解析:

解(1)如图，以A为原点建立空间直角坐标系,

则C（2,0,0）,3（0,2,0）,A（0,2,2）,4（0,4,2）,

羽=（0,2,2）,配=函=（2,-2,0）.

cos钮BC-M'BC_-4__j_

M，I*

TT

故A4与棱BC所成的角是

(2)P为棱gG中点，

设即=4竭=(22,—22,0),贝!IP(2A,4-2A,2).

设平面B钻的法向量为1=(x,y,z),AP=(22,4-22,2),

n,-AP=0fx+3y+2z=0(z=-Ax

则<一__=>s=>s,

勺.AB=0[2y=0[y=。

故点=(1,0,-4)

\，町,A

而平面ABA,的法向量是n,=(1,0,0),则cos4,%=昌行=/——

/，同V1+/1-

解得4=g,即P为棱与£中点，其坐标为P（l,3,2）.

点睛：本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及利用空间向量求二面角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：

（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面

的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理

结论求出相应的角和距离.

21.（1）见解析；（2）

【解析】

（1）要证明尺\1面40反，由已知可得ADLPC,只需满足。足尸。=0即可，从而得到点E为中点；（2）求出面AOE

的法向量，面H1E的法向量，利用空间向量的数量积，求解二面角P-AE-。的余弦值.

【详解】

（1）法一：要证明PCJ_面ADE,易知ADL面PDC,即得AD_LPC,故只需力耳斤=0即可，

所以由（药+屉）.定=0=力？卮+庵•斤=0=|因=1,即存在点E为PC