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文档简介
2023年高考数学模拟试卷
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色
字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A==3={(x,y)|y=2x},则中元素的个数为()
A.3B.2
2.下列图形中,不是三棱柱展开图的是()
3.关于函数/(x)=l2^tLan+vcos2x,下列说法正确的是()
1+tarrx
A.函数f(x)的定义域为R
37r7i
B.函数f(x)一个递增区间为一刀,£
OO
C.函数/(X)的图像关于直线X=9对称
O
D.将函数y=V2sinlx图像向左平移g个单位可得函数y=f(x)的图像
O
4.已知方是两条不同的直线,a,夕是两个不同的平面,且au/?,a^\/3=h,贝是“Q//Z?”的()
A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D,既不充分也不必要条件
5.已知直线2如+〃"2(〃2>0,附>0)过圆(》—1)2+0—2)2=5的圆心,则,+工的最小值为()
mn
A.1B.2C.3D.4
6.已知集合。={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,3,4},则集合d(A(JB)=()
A.{1,2,6}B.{1,3,6}C.{1,6}D.{6}
7.已知43是球O的球面上两点,乙我加=90°,。为该球面上的动点.若三棱锥O—ABC体积的最大值为36,则球O
的表面积为()
A.36兀B.64兀C.144兀D.256兀
8.小明有3本作业本,小波有4本作业本,将这7本作业本混放在.起,小明从中任取两本,则他取到的均是自己的作
业本的概率为()
22
9.已知直线6x-y+相=0过双曲线G餐一斗=13>0力>0)的左焦点尸,且与双曲线C在第二象限交于点A,若
a'b
I以hlR?I(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为
A.2B.V3+1C.75D.V5-1
10.已知平行于x轴的直线分别交曲线lny=2x+l,j?=2元一1(”0)于48两点,则41ABi的最小值为()
A.5+ln2B.5-In2C.3+In2D.3-ln2
r,,1
11.已知〃与入0>l』Og|^0>-;q:\/xeR,ex>x,则下列说法中正确的是(
2
A.Pvq是假命题B.2八4是真命题
C.pv(「q)是真命题D.〃△(—1<7)是假命题
12.做抛掷一枚骰子的试验,当出现1点或2点时,就说这次试验成功,假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验
中成功次数X的期望为()
11
A.3B.2C.1D.2
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.如图,在长方体ABC。-A旦G9中,AD=DD\=1,AB=6,E,F,G分别为ABIC,的中点,点尸在
平面ABCD内,若直线DXPH平面EFG,则线段乌尸长度的最小值是.
14.已知函数/(X)=F若关于X的不等式/(x)>。的解集为(力,+8),则实数。的所有可能值之和为
log2>0,''
15.“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月共织九匹三丈.”其白话意译为:“现有一善织布的女子,从第2
天开始,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织了5尺布,现在一个月(按30天计算)共织布390尺.”则每天
增加的数量为一尺,设该女子一个月中第"天所织布的尺数为%,贝1」弓4+65+66+%7=
16.如图所示的流程图中,输出〃的值为.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在四棱椎P-A3CD中,四边形AB8为菱形,PA=5,PB=*,AB=6,POLAD,O,E
分别为AO,AB中点.々4)=60。.
(1)求证:AC±PEt
(2)求平面POE与平面P3D所成锐二面角的余弦值.
18.(12分)已知函数/(x)=a/—sinx,其中aeR,e为自然对数的底数.
(1)当1=1时,证明:对Vxe[0,+oo)J(x)..l;
(2)若函数/(x)在上存在极值,求实数”的取值范围。
19.(12分)已知VxeR,不等式Ix-l|-Ix-2区a+b+c恒成立.
(1)求证:/+b2+c2>-
3
(2)求证:加+加+扬++“2+々220.
20.(12分)如图,在三棱柱ABC-AB|G中,平面ABC,AB1AC,且A8=AC=A3=2.
(1)求棱A4与8c所成的角的大小;
(2)在棱4G上确定一点P,使二面角4的平面角的余弦值为半.
21.(12分)如图在棱锥P-ABC。中,ABCO为矩形,面ABC。,PB=2,NBPC=45,NPBD=30.
(1)在心上是否存在一点E,使PC_L面A0E,若存在确定E点位置,若不存在,请说明理由;
(2)当E为PB中点时,求二面角P—AE—。的余弦值.
Y—、/6cosa
22.(10分)在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为..,(。是参数),以原点。为极点,x轴的正半
y=sina
轴为极轴建立极坐标系,直线/的极坐标方程为夕sin(e-.
(1)求直线/与曲线C的普通方程,并求出直线的倾斜角;
(2)记直线/与),轴的交点为。,M是曲线。上的动点,求点M,。的最大距离.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C
【解析】
集合A表示半圆上的点,集合8表示直线上的点,联立方程组求得方程组解的个数,即为交集中元素的个数.
【详解】
由题可知:集合A表示半圆上的点,集合3表示直线上的点,
联立y=y]l—x?与y=2x,
1
-
可得忘?=2x,整理得d5-
即』半,
当X=—正时,y=2x<0,不满足题意;
5
故方程组有唯一的解.
故Ac8=J'—•,---卜
故选:C.
【点睛】
本题考查集合交集的求解,涉及圆和直线的位置关系的判断,属基础题.
2.C
【解析】
根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.
【详解】
由图可知,ABD选项可以围成三棱柱,C选项不是三棱柱展开图.
故选:C
【点睛】
本小题主要考查三棱柱展开图的判断,属于基础题.
3.B
【解析】
化简到/(x)=&sin(2x+?)根据定义域排除AC。,计算单调性知8正确,得到答案.
【详解】
/(x)=——tan:+c0s2x-sin2x+cos2x=V2sin|2x+—|,
1+tan-xV4j
TC
故函数的定义域为+,故A错误;
2
37tTC7C7C7C
当xe---时,2x+—G,函数单调递增,故8正确;
_88J4L22_
当%=-生,关于x=g的对称的直线为x=g不在定义域内,故C错误.
482
平移得到的函数定义域为R,故不可能为y=/(x),。错误.
故选:B.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换,三角函数单调性,定义域,对称,三角函数平移,意在考查学生的综合应用能力.
4.C
【解析】
根据线面平行的性质定理和判定定理判断alia与allb的关系即可得到答案.
【详解】
若a〃a,根据线面平行的性质定理,可得a〃b;
若W/5,根据线面平行的判定定理,可得。〃a.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理,属于基础题.
5.D
【解析】
圆心坐标为(1,2),代入直线方程,再由乘1法和基本不等式,展开计算即可得到所求最小值.
【详解】
圆(%-1)2+(丁一2)2=5的圆心为(1,2),
由题意可得2加+2〃=2,即加+〃=1,>n,n>0,
II!InivifiniI
则—F—=(一+—)(,〃+n)=2+—F—..4,当且仅当一=—且m+〃=1即〃z=〃=—时取等号,
mnmnmnmn2
故选:D.
【点睛】
本题考查最值的求法,注意运用乘1法和基本不等式,注意满足的条件:一正二定三等,同时考查直线与圆的关系,
考查运算能力,属于基础题.
6.D
【解析】
根据集合的混合运算,即可容易求得结果.
【详解】
■:A<JB={1,2,3,4,5),故可得g(AU8)={6}.
故选:D.
【点睛】
本题考查集合的混合运算,属基础题.
7.C
【解析】
如图所示,当点C位于垂直于面AQB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,设球。的半径为R,此时
%YBC=%.AOB=2X!R2XR=,炉=36,故R=6,则球。的表面积为5=4%收=]44万'故选C.
326
考点:外接球表面积和椎体的体积.
8.A
【解析】
利用P="计算即可,其中nA表示事件A所包含的基本事件个数,n为基本事件总数.
n
【详解】
从7本作业本中任取两本共有仁种不同的结果,其中,小明取到的均是自己的作业本有C;种不同结果,
C2
由古典概型的概率计算公式,小明取到的均是自己的作业本的概率为收=1
2
5C7
故选:A.
【点睛】
本题考查古典概型的概率计算问题,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.
9.B
【解析】
直线Gx-y+〃?=O的倾斜角为四,易得|E4RF0=c.设双曲线C的右焦点为E,可得ZW石中,ZFAE=90,则
3
\AE\=y/3c,所以双曲线C的离心率为e=底:.=8+।.故选B.
10.A
【解析】
设直线为〉=43>0),4内,弘)8(工2,%),用。表示出X,%,求出4|AB|,4-f(a)=a2+2-lna,利用导数求出
单调区间和极小值、最小值,即可求出41ABi的最小值.
【详解】
解:设直线为〉=。(。>0),4>],凶)3(工2,%),则E。=2%+1,.•.X1=g(lna—1),
而/满足/=2々-1,.“2=空必
2,1]
那么41AM=4(%―%)=4~~2=2(〃2+2-Ina)
设/⑷=片+2—Ina,贝!)/3)=过二1,函数/(a)在(o,']上单调递减,在(坐,+«)]上单调递增,
22
。I)I)
(Jy\
所以41AMmm=2八。焉=2/V=5+ln2
故选:A.
【点睛】
本题考查导数知识的运用:求单调区间和极值、最值,考查化简整理的运算能力,正确求导确定函数的最小值是关
键,属于中档题.
11.D
【解析】
举例判断命题p与q的真假,再由复合命题的真假判断得答案.
【详解】
当无0〉1时,log[Xo<°,故,命题为假命题;
2
记/(x)=m-X的导数为尸(X)=^-1,
易知/(x)=/-X在(-8,0)上递减,在(0,+oo)上递增,
:.f(x)>/(0)=1>0,即故夕命题为真命题;
工是假命题
故选D
【点睛】
本题考查复合命题的真假判断,考查全称命题与特称命题的真假,考查指对函数的图象与性质,是基础题.
12.C
【解析】
21
I)——=""
每一次成功的概率为63,X服从二项分布,计算得到答案.
【详解】
p=_=_E(X)=_x3=]
每一次成功的概率为63,X服从二项分布,故3
故选:C
【点睛】
本题考查了二项分布求数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13立
2
【解析】
如图,连接2AAe,qc,证明平面AC?//平面EFG.因为直线。尸//平面EfG,所以点P在直线AC上.当
DCAC时.线段AP的长度最小,再求此时的D,P得解.
【详解】
如图,连接
因为E,F,G分别为A3,BC,的中点,
所以AC7/E户,平面AC。一
则跖//平面AC2.因为EGHAD,,
所以同理得EG//平面AC。,又EFCEG=E.
所以平面AC。//平面EPG.
因为直线。,//平面EFG,所以点尸在直线AC上.
在△仙中,
V7
故当2P,AC时.线段D}P的长度最小,最小值为-2-=4.
-x22
2
故答案为:昱
2
【点睛】
本题主要考查空间位置关系的证明,考查立体几何中的轨迹问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14.6
【解析】
由分段函数可得4,0不满足题意;。>0时,log2x>«,可得x>2",即有/=2",解方程可得。=2,4,结合指数
函数的图象和二次函数的图象即可得到所求和.
【详解】
.3'-4,X<0
解:由函数/1)=八,可得
log,>0
/(x)的增区间为(-00,0),((),+8),
尤<0时,/(x)e(0,3力,尤>0时,/(x)eR,
当关于x的不等式/(%)>。的解集为(/,内),
可得4,0不成立,
4〉0时,0<4,4时,不成立;
O1
/(%)>a,即为log2X>a,
可得x>2",即有4=2",
显然。=2,4成立;由y=2,和y=Y的图象可得在1〉。仅有两个交点.
综上可得。的所有值的和为1.
故答案为:1.
【点睛】
本题考查分段函数的图象和性质,考查不等式的解法,注意运用分类讨论思想方法,考查化简运算能力,属于中档题.
16--
15.—52
29
【解析】
设从第2天开始,每天比前一天多织d尺布,由等差数列前〃项和公式求出d=合,由此利用等差数列通项公式能求出
"14+”15+”16+"17•
【详解】
设从第2天开始,每天比前一天多织d尺布,
30x29
贝!IS30=30x5+^^4=390,
解得d=£,即每天增加的数量为,
/.《4+%5+^16+。17=4+13d+4+14d+4+15cl+4+16d
=4q+58d
=4x5+58x3=52,故答案为3,52.
2929
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式,意在考查利用所学知识解决问题的能力,属于中档题.
16.4
【解析】
根据流程图依次运行直到sw-i,结束循环,输出",得出结果.
【详解】
由题:S=1,〃=1,S=1+log2=0,〃=2,
22
S=°+log22+]=log?§,〃=3,
2321
S=log2—+log2—j=log2-=-1,H=4,S<-1结束循环,
输出〃=4.
故答案为:4
【点睛】
此题考查根据程序框图运行结果求输出值,关键在于准确识别循环结构和判断框语句.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(1)证明见解析;(2)如画.
91
【解析】
(1)证明PO_LAC,ACJ_O石得到AC_L平面POE,得到证明.
(2)以点。为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系。一型,平面POE的一个法向量为正=(61,0),平
面PBZ)的一个法向量为3=(-4百,4,3百),计算夹角得到答案.
【详解】
(1)因为四边形ABC。是菱形,且Nfi4E>=60。,所以是等边三角形,
又因为。是AO的中点,所以BOJ.AO,又因为AB=6,AO=3,所以8。=3百,
又PO=4,=BO2+PO2=PB2,所以POLO3,
又POJ.AD,ADcOB=O,所以POl平面ABC。,所以POJ.AC,
又因为ABC。是菱形,OEIIBD,所以AC_LOE,又POp|OE=O,
所以AC,平面POE,所以AC_LPE.
(2)由题意结合菱形的性质易知OPOPLOB,OA±OB,
以点。为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系。-巧2,
则/(0,0,4),8(0,3疯0),0(0,0,0),E(|,|ao),0(-3,0,0),
m-OP-4zj=0
设平面POE的一个法向量为加=(X,y,zJ,贝!|:<m-OE=阳+g6弘=0
据此可得平面POE的一个法向量为m=(V3,-l,0),
/5•BD=—3X-36y2=0
设平面P3D的一个法向量为〃=(//2*2),贝必2
n•PD=-3X2-4Z2=0
据此可得平面PBD的一个法向量为n=(-473,4,3百),
/---、m-n-16_8>/91
cos(m,n)=—―-
\m\n\^回一91
平面POE与平面PBD所成锐二面角的余弦值殳叵.
91
【点睛】
本题考查了线线垂直,二面角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
18.(1)见证明;(2)ae(0,l)
【解析】
(1)利用导数说明函数的单调性,进而求得函数的最小值,得到要证明的结论;
(2)问题转化为导函数在区间上有解,法一:对a分类讨论,分别研究a的不同取值下,导函数的单调性及值域,从
而得到结论.法二:构造函数,利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域,再利用零点存在定理说明函数存在
极值.
【详解】
(1)当a=]时,/(x)=e*-sinx,于是,/'(x)=e*-co&x.
又因为,当xe(0,*K>o)时,且co&xKl.
故当XG(0,+8)时,ex-cosx>0,即r(x)>o.
所以,函数〃x)=e'-sinx为(0,+co)上的增函数,于是,/(x)>/(O)=l.
因此,对Vxe[0,-Ko),/(x)>l;
(2)方法一:由题意/(x)在(0,^]上存在极值,贝|/'(x)=ae'-co&x在(0,/)上存在零点,
①当a€(0,1)时,/'⑴二彼一为除为口口上的增函数,
注意到''(O)=a_l<0,f'^=a-e^>0,
所以,存在唯一实数用€(0,5),使得/'(%)=0成立.
于是,当xw(当天))时,r(x)<0,7(x)为(0,不)上的减函数;
当工小飞’?时,f'(x)>0,/(x)为1°,?上的增函数;
所以与e(0,m为函数“X)的极小值点;
x
②当a21时,/'(%)=-cosx>e-cosx>0在xG上成立,
所以/(x)在上单调递增,所以“X)在(0,口上没有极值;
③当aW0时,/'(X)=ae'-cosx<0在xw(0,上成立,
所以/(力在(0,曰上单调递减,所以/(x)在(0,口上没有极值,
综上所述,使/(x)在(0,上存在极值的〃的取值范围是(0,1).
方法二:由题意,函数/(x)在]0彳]上存在极值,则/'(力=馥'一cosx在(。,小上存在零点.
即。=罢在(°,胃)上存在零点.
/\cos九xelo,11,则由单调性的性质可得g(x)为[o,段上的减函数.
设g(x)=
即g(尤)的值域为(0,1),所以,当实数ae(O,l)时,/'(力=四'一cow在上存在零点.
下面证明,当ae(O,l)时,函数”X)在(0,9上存在极值.
事实上,当ae(O,l)时,/'(x)=ae‘一co&r为(0,曰上的增函数,
注意至iJ/'(O)=a—1<0,尸0=分—>0,所以,存在唯一实数
使得/'(%)=()成立•于是,当x€(0,x。)时,/。)<0,〃X)为(0,不)上的减函数;
当xe(xo,|^时,/(%)>0,/(X)为(用,3上的增函数;
即飞为函数“X)的极小值点.
综上所述,当a«0,l)时,函数“X)在(。,口上存在极值.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的最值,涉及函数的单调性,导数的应用,函数的最值的求法,考查构造法的应用,是一
道综合题.
19.(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】
(1)先根据绝对值不等式求得-|x-2|的最大值,从而得到a+>+cNl,再利用基本不等式进行证明;
(2)利用基本不等式/+〃z2/2变形得2丝土生,两边开平方得到新的不等式,利用同理可得另外两个
2
不等式,再进行不等式相加,即可得答案.
【详解】
(1)V|x-1|—|x—2|<|x—1—x+2|=l,/.a+b+c>\.
2+b2>lab,b2+c2>2bc,c2+a2>lac,
:•2a2+2h2+2c2>2ab+2bc+lac,
:•3。2+3b~+3cL>_1_匕+c~+2ab+2bc+2cle—(Q+。+21,
:.a1-^b2+c2>-.
3
(2),:a1+b2>2ab,2(a2+h2)>a2+2ab+h2=(a+h)2,
即丝产两边开平方得d庐之亚|“+回=也(a+与.
同理可得2也S+c),\lc2+a2>—(c+a)-
22
三式相加,得y/a2+b2+扬+。2+y/c2+cr>V2(a+b+c)>^2-
【点睛】
本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和
推理论证能力.
20.(1)y(2)p(l,3,2)
【解析】
试题分析:(1)因为ABJ_AC,AiB_L平面ABC,所以以A为坐标原点,分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y
轴,以过A,且平行于BAi的直线为z轴建立空间直角坐标系,由AB=AC=A|B=2求出所要用到的点的坐标,求出棱
AAi与BC上的两个向量,由向量的夹角求棱AAi与BC所成的角的大小;
(2)设棱BiG上的一点P,由向量共线得到P点的坐标,然后求出两个平面PAB与平面ABAi的一个法向量,把二
面角P-AB-Ai的平面角的余弦值为2叵,转化为它们法向量所成角的余弦值,由此确定出P点的坐标.
试题解析:
解(1)如图,以A为原点建立空间直角坐标系,
则C(2,0,0),3(0,2,0),A(0,2,2),4(0,4,2),
羽=(0,2,2),配=函=(2,-2,0).
cos钮BC-M'BC_-4__j_
M,I*
TT
故A4与棱BC所成的角是
(2)P为棱gG中点,
设即=4竭=(22,—22,0),贝!IP(2A,4-2A,2).
设平面B钻的法向量为1=(x,y,z),AP=(22,4-22,2),
n,-AP=0fx+3y+2z=0(z=-Ax
则<一__=>s=>s,
勺.AB=0[2y=0[y=。
故点=(1,0,-4)
\,町,A
而平面ABA,的法向量是n,=(1,0,0),则cos4,%=昌行=/——
/,同V1+/1-
解得4=g,即P为棱与£中点,其坐标为P(l,3,2).
点睛:本题主要考查线面垂直的判定与性质,以及利用空间向量求二面角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:
(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面
的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理
结论求出相应的角和距离.
21.(1)见解析;(2)
【解析】
(1)要证明尺\1面40反,由已知可得ADLPC,只需满足。足尸。=0即可,从而得到点E为中点;(2)求出面AOE
的法向量,面H1E的法向量,利用空间向量的数量积,求解二面角P-AE-。的余弦值.
【详解】
(1)法一:要证明PCJ_面ADE,易知ADL面PDC,即得AD_LPC,故只需力耳斤=0即可,
所以由(药+屉).定=0=力?卮+庵•斤=0=|因=1,即存在点E为PC
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