油藏数值模拟基础

油藏数值模拟根底中国石油大学石油工程学院2021年9月华北油田培训班课程第一章 油藏数值模拟进展油藏数值模拟的根本概念80年代的油藏数值模拟进展90年代的油藏数值模拟进展

第一节油藏数值模拟的根本概念具有同一水动力学系统的油气聚集体。限于油藏的特殊性：地下，面积大，看不到－－不能直接研究模拟分物理模拟和数学模拟。模拟就是用模型来研究物理过程，油藏模拟就是用模型来研究油藏中的流体运动规律〔直观再现〕。物理模拟：根据相似原理，把自然界中的原型按比例缩小，制成物理模型。然后使原型中的物理过程按一定的相似关系在模型中展现。－平板模型、岩心模型不能反映实际油藏的非均质特征，只用来研究驱油机理数学模拟

通过求解某一物理过程的数学方程组来研究这个物理过程变化规律的方法。一、油藏数值模拟的定义油藏数值模拟就是用数值的方法来解油藏中流体〔相或者组分〕渗流的偏微分方程组。相：指体系中具有相同成分，相同物理、化学性质的均匀物质局部，相与相之间有明显的界面组分：指混合物体系中的各个成分。为什么采用数值求解？

所谓数值方法是一种近似的解法，即用离散化的方法把连续函数转变成离散函数，用计算机来求解。离散的方法：有限差分法、有限元法、谱分析方法运动方程、状态方程、守恒方程〔质量、体积、能量〕优点1)能重复进行，可以进行所谓的“屡次开发〞。2)可以在短时间内进行开发，本钱较低。3)可以模拟各种非均质情况及复杂流体流动。油藏数值模拟的特点缺点1)模拟依赖于油藏描述和生产动态。2)模型本身均有一定的假设条件，与实际油藏有一定误差，简化掉某些因素和原理。抓住主要问题，满足现场的需要二、数值模拟流程

建立计算机模型

建立数值模型

建立数学模型不是进行具体的数值模拟工作内容1.建立数学模型

2.建立数值模型

通过离散化，将连续的偏微分方程组转换成离散的有限差分方程组，再用多种方法将非线性系数线性化，成为线性代数方程组，然后求解线性代数方程组

即建立一套描述油藏中流体渗流的偏微分方程组，包括初、边值问题。偏微分方程组线性代数方程组得到压力、饱和度等有限差分方程组离散化线性化解方程组3.建立计算机模型将资料〔静、动态〕输入，系数矩阵和常数项的形成，多种解法和结果的输出等，编制成计算机程序。数值模拟的关键是计算的精度和速度。精度：离散程度、数值计算误差、离散方程稳定性速度：计算机速度、解法速度、模型准确性从离散的程度看，精度和速度是矛盾的。三、用途油藏描述油藏动态预测驱油机理研究1.油藏描述油藏描述是油田开发的根底，是一项系统工程，由多学科各种方法联合研究的结果。油藏数值模拟作为一种方法，在油藏描述中起了一定的作用。－不同的方法研究的尺度不同1)孔隙结构研究~10μm级CT、核磁共振、图象分析仪、微观驱油机理、毛管压力实验2)岩石物理性质研究……cm级利用油层物理实验室进行Ф、K、S、kr等研究。3)测井研究~m级利用测井方法进行Ф、K、S等研究。4)井间地震研究1~100m级利用井间地震进行油层连续性、油层厚度及剩余油分布等研究。5)井间监测m~1000m

利用试井和示踪剂等方法来研究主力油层的、k、s等。6)数值模拟网格

10m~100m

将上述研究的Ф、K、S等参数填入数值模拟网格。7)油藏数值模拟1000m~10000m

利用油藏数值方法研究油藏中的P、S分布。8)小井距生产试验区如大庆、孤东等小井距研究弹性驱、水驱和各种提高采收率方法从以上不同的研究尺度可以看出，油藏数值模拟是适合于油藏大尺度范围内研究的方法，对生产有直接的应用。微观研究：驱替机理和岩石孔隙结构的研究－小尺度：油水运动规律和油藏物性参数－均质－不反映油藏非均质大尺度：整个油藏渗流规律和剩余油分布认识2.油藏动态预测在油藏开发的不同阶段，利用数值模拟进行动态预测，有不同的用途规划方案开发方案提高开发效果方案调整方案开发前期开发初期开发中期开发后期3.油藏驱油机理研究1)层内油水运动机理研究油水运动的作用力：驱动力：重力：毛管力：正韵律反韵律正韵律0L凹0反韵律反韵律L凸正韵律水驱特征3)化学驱对油水运动规律的影响活性剂驱主要降低油水界面张力，从而提高油相的相对渗透率。聚合物驱主要是增加水的粘度，从而降低油水粘度比。碱驱可与原油中的酸性物质反响生成活性物质，可使油水界面张力进一步降低，与活性剂驱有同样效果。混相驱可使混相剂与原油作用降低界面张力，减少原油粘度。上述机理均可在数值模拟中表达，从而得到油水运动规律。活性剂驱聚合物驱碱驱混相驱思考题什么是数值模拟，有什么特点和用途？目前国内外比较成熟的软件有哪些？数学模型的分类和推导原那么组分模型〔黑油模型和凝析气藏〕双重介质模型〔黑油〕注蒸汽热采模型聚合物驱模型三元复合驱模型水平井模型第二章数学模型第一节数学模型的分类和推导原那么一、数学模型的分类1.按空间维数来分零维---物质平衡方程一维－岩心水驱油，注采井间动态二维－三维2.按流体相数来分单相－气藏、油藏弹性开发两相－气藏水驱，油藏水驱三相3.按流体组分来分单组分两组分…N组分4.按岩石类型来分单重介质〔砂岩〕双重介质〔碳酸盐岩、低渗透油田〕5.按模型功能来分黑油模型√√凝析气藏模型√双重介质模型√热采模型√根本模型聚合物驱模型三元复合驱模型水平井模型……二、数学模型的推导原那么1.质量守恒方程单位时间内流入单元体的流体质量单位时间内流出单元体的流体质量单位时间内从单元体注入或采出的流体质量单位时间内单元体中的质量增加量－+=推导方法：1)微分方法①直角坐标单元体法2)积分法2、运动方程1)牛顿流体单相或多相或τo为流体的屈服应力

4)含有启动压力－低渗透3、状态方程1)液体2)岩石岩石压缩系数孔隙压缩系数3)气体理想气体实际气体即dpdClrr1=或流体微可压缩两端积分4.能量守恒方程单位时间内流入单元体的能量单位时间内流出单元体的能量单位时间内从单元体注入或采出的能量单位时间内单元体中能量的增加－＋＝式中Hj—流体j相的焓，kJ/kgλ—导热系数，kJ/(h.

C.m)Uj—流体的内能，kJ/kg(ρC)r—油藏的热容量，kJ/(m3.

C)qh—源、汇项，kJ/(m3.h)qhl—顶、底层的热损失，kJ/(m3.h)单元体的能量变化有三局部：热对流、热传导、内部热源4.能量守恒方程对流项传导项式中Hj—流体j相的焓，kJ/kgλ—导热系数，kJ/(h.

C.m)Uj—流体的内能，kJ/kg

(ρC)r—油藏的热容量，kJ/(m3.

C)qh—源、汇项，kJ/(m3.h)qhl—顶、底层的热损失，kJ/(m3.h)热源项流体项岩石项同理，可用微分法或积分法导出5.数学模型定解条件完整的数学模型：泛定方程(组)：描述油层流体运动规律的渗流方程(组)，可以求解，但是解有假设干个。定解条件：边界条件，和初始条件。1.边界条件

边界条件：外边界条件和内边界条件。外边界条件：指油藏外边界所处的状态；内边界条件：指油水井所处的状态。外边界条件三种形式：定压外边界、定流量边界和混合边界。

定压外边界

油藏的边界上某一时刻的压力是已知的，这种边界条件又称为第一类边界条件或狄利克里条件。例如具有较大天然供水区的油藏，油水边界的压力是一定的.定流量边界油藏的边界上有流量流过，且流量是的，这种边界条件又称为第二类边界条件或纽曼条件。最简单且最常见的定流量边界条件是封闭边界，油藏边界上无流量通过，例如油藏尖灭边界、封闭断层边界和规那么注采井网的对称线等均可看成封闭边界条件.混合边界

混合边界是指油藏边界条件是压力和压力导数的线性组合形式，这种边界条件又称为第三类边界条件

对于具有边、底水的油藏，油水边界处的条件在整个开发过程中是不断变化的，既不定压，也不定流量，称为混合边界条件。但的具体形式不易直接表达出来，对于实际问题，这种边界条件在某一特定的时间内可以近似为第一类或第二类边界条件，所以混合边界条件在油藏数值模拟中比较少见。内边界条件又称为井点条件，通常有定产量〔或注入量〕条件和定井底流压条件。⑴定产量(或注入量)条件当井的产量(注入量)给定时，渗流方程中需要加上源汇质量项。注水井：定注水量生产井：油相产量、水相产量、总产液量层位：给定的是总的井口产量，各相产量需要内部劈产，考虑渗透率和相对渗透率。⑵定流压条件由于井眼几何尺寸远远小于油藏，因此油井或注水井通常作为点汇或点源，所以油藏数值模拟中通常把定井底流压条件转化为源汇项处理.2.初始条件初始条件是指在初始时刻，油藏内压力分布、饱和度分布或温度分布是的。(1)初始压力

给定油水界面或者油气界面的深度，根据流体的密度和高差计算非平衡初始化平衡初始化假设深度，位于气顶区内，那么：假设深度，位于底水区内，那么假设深度，位于含油区内，那么：GOCWOCThesecondclass〔2)初始饱和度非平衡初始化－适用于没有边底水的油藏

平衡初始化〔3)初始温度分布对于等温渗流开发过程，一般不需要给出初始温度分布，但对于热力采油等非等温渗流过程，那么需要指定油藏的初始温度分布。确定初始温度分布时需要给出某一基准深度的温度，然后根据温度梯度计算出初始温度分布，即：第二节组分模型一、组分模型的一般式假设条件2.组分质量守恒方程)符合达西渗流定律2)等温渗流3)油、气、水三相，N个组分Cig表示气相中i组分的质量分数〔气相合计1〕Cio表示油相中i组分的质量分数Ciw表示水相中i组分的质量分数4)油相和气相随着压力变化而发生相态变化5)流体和岩石均微可压缩6)油藏非均质和各向异性7)考虑毛管力和重力3.辅助方程

1)2)3)4)5)6)7)任何两相之间都有比例常数4.未知数和方程数再加上边界条件和初始条件组分模型的通用模型，可以根据油藏条件简化假设条件

1)符合达西渗流定律

2)等温渗流

3)油、气、水三相,甲烷、重烃和水三个组分。重烃组分完全溶解在油相中，而甲烷组分可以自由气形式存在于气相中，也可以溶解气形式存在于油相中。气体的溶解和逸出在泡点瞬间完成。水组分存在于水相中,也可以考虑气组分溶解在水相中。－黑油模型

4)油相和气相随压力而发生相态变化

5)流体和岩石均微可压缩；

6)油藏非均质和各向异性；

7)考虑毛管力和重力。2.组分质量守恒方程水相仅存在水组分气相仅存在气组分地面单位体积油相在地下中可同时存在气组分和油组分代入组分的质量守恒方程水组分油组分气组分3.辅助方程

1)2)

3)

4)

5)水的物性参数可以视为不变必要的方程4.未知数和方程数再加上边界条件和初始条件

由假设条件知道了每个组分在各相中的存在分数，所以在这里不需要再进行求解，未知数减少第三节双重介质的黑油模型一、双重孔隙介质油藏的有关概念

双重介质油藏是存在天然裂缝的油藏，这种油藏在实际分析中，常视为由两种孔隙介质组成，即基质岩块介质和裂缝介质，且两种介质均匀分布，油藏中任何一个体积单元都存在着这两个系统。由于两种孔隙介质具有不同的储油性和渗透性，因此当油井生产时压力波的扩散和地下流体的渗流规律将与均质油藏完全不同。在双重介质中的任何一点应同时引进两个压力(即裂缝中的压力和基质岩块中的压力)参数，同时也将存在两个渗流场。

由于裂缝系统的渗透率比基岩系统的渗透率大得多，认为原地下流体由基质岩块到裂缝系统，然后由裂缝系统流到井筒，这种模型称为双孔单渗模型，此外还有双孔双渗模型。

由于裂缝系统的渗透率比基岩系统的渗透率大得多，认为地下流体由基质岩块到裂缝系统，然后由裂缝系统流到井筒，忽略由基质岩块系统直接流入井筒的过程，即：基岩系统裂缝系统井筒。基质岩块系统裂缝系统基质岩块系统km裂缝系统kf双孔单渗模型双孔双渗模型窜流：拟稳态窜流

假设基岩系统压力处处相等，即不考虑基岩内部的流体流动，窜流只与两个系统的压力有关。大多数窜流属于拟稳态窜流。不稳态窜流假设基岩系统压力处处不相等，即考虑基岩内部的流体流动。一般情况下窜流在早期属于不稳态窜流。一、假设条件除岩石性质外，其余条件与组分模型的黑油模型相同。岩石性质如下：1〕岩石孔隙结构由基岩和裂缝组成。2〕基岩是储油的主要空间，裂缝是流油的主要通道。假设基岩不发生流动，称为双孔单渗介质；假设基岩发生流动，称为双孔双渗介质；3〕基岩和裂缝之间产生质量交换，为拟稳态窜流。二、双孔双渗黑油模型1.组分质量守恒方程-分裂缝和基质两个系统列方程1)裂缝系统水组分油组分气组分2)基质系统水组分油组分气组分2.辅助方程3.未知数和方程数1.组分质量守恒方程1)裂缝系统同双孔双渗黑油模型。2)基质系统根据定义，基质系统中没有渗流，只有向裂缝的窜流。油组分水组分气组分2.辅助方程同双孔双渗黑油模型。3.未知数和方程数同双孔双渗黑油模型。作业完整的数值模拟方程组包括哪些局部？其中都涉及到哪些方程？黑油模型的假设条件是什么？考虑的是什么情况的流动？双重介质模型与单重介质有哪些不同？

第三章油藏数值模拟计算方法

主要内容2.1差分格式2.2网格排列方法2.3差分方程组的求解方法2.4预处理共扼梯度求解方法第1节差分格式1.1离散网格系统

数值模拟中离散包括：

时间区域的离散，空间区域的离散产量时间物性参数非线性→线性第一类边界条件〔定压〕－－点中心网格第二、三类边界条件－－－块中心网格实际油藏的边界比较复杂，一般都将边界处理成封闭的边界，所以采用块中心网格。√为了研究问题的方便，特做如下约定：离散空间坐标用作标记，空间步长为，网格交界处用作标记；离散时间坐标用n作标记，时间步长为；空间坐标标记为下标，时间坐标标记为上标，例如表示在一维空间上i离散点n时间步的参数值，表示在一维空间上i与i+1离散网格交界处n+1时间步的参数值。1.2差分格式

1-i

i

1+i

xxD-

x

xxD+

根据Taylor展开公式为一阶后差分为一阶前差分一阶中心差分两式相加为二阶差分两式相减常系数偏微分方程的差分格式－古典显式差分格式

离散网格点〔i，n)建立差分，且右端对时间的差分取一阶前差分令，整理上式可得

只要给出物理问题的初始条件和边界条件，直接由上式就可以计算出各离散点的具体数值，因此称为显式差分格式，其截断误差为。常系数偏微分方程的差分格式－古典隐式差分格式

在离散网格点〔i,n+1)建立差分，且右端对时间的差分取一阶后差分假设物理问题的初始条件和边界条件，实际上是以离散点参数值为未知量的封闭代数方程组，对于点中心网格，当时n＝0，定压外边界的方程组形式为

求解方程组可以得到各离散点的具体数值，各离散点的数值是联立计算出来的，因此称为隐式差分格式，其截断误差为当时n＝0，封闭外边界的方程组形式为：求解方程组可以得到各离散点的具体数值，各离散点的数值是联立计算出来的，因此称为隐式差分格式，其截断误差为未知未知变系数偏微分方程的差分格式

由于油层岩石的非均质性、油藏流体的多相流动特征、变渗流截面，油藏数学方程的二阶偏微分通常是变系数的，例如非均质油层单相微可压缩流体变截面渗流的数学方程为

由于变系数二阶偏微分方程所反映的物理问题为非均匀体系，建立差分方程时的离散空间和离散时间都可能是非均匀的，通常将二阶偏微分转化为一阶偏微分的方法进行处理。令对于三维网格系统有每个网格都可以得到一个方程1.3差分格式的适定性

由于差分方程是偏微分方程的微分利用差分替代后得到的，这种近似必然带来一定的误差，所以微分方程是适定的，而差分方程未必是适定的。差分方程的适定取决于：误差的大小，差分格式的相容性、收敛性和稳定性第二节网格排列方法微分方程采用差分近似以后形成了差分方程，只要给出物理问题的初始条件和边界条件，所有离散点(网格)对应的隐式差分格式组合起来形成一个代数方程组，方程组系数矩阵具有如下特点：⑴空间离散步长不能太大，因此离散格点较多，而每一个离散格点对应一个未知数，因此系数矩阵是高阶的；⑵某一离散点的差分格式中，只出现本离散格点和周围离散格点未知数，与其余大局部离散格点无关，矩阵的每一行上都存在大量零元素，所以系数矩阵是稀疏的；⑶系数矩阵中非零元素出现的形式与空间网格的离散未知数排列顺序有关。一、一维离散网格排序012345

014235

(a)

(b)

对于〔a)排列格式3

-1

0

0

-1

3

-1

0

0

-1

3

-1

0

0

-1

3

三对角端点0,5对于〔b)排列格式012345

014235

(a)

(b)

两种排列格式的计算结果是相同的计算速度和计算工作量可能不同目的：系数矩阵的结构便于计算，且节省计算存储量。

二、二维离散网格排序⒈标准排列格式

标准排列格式是由离散网格的自然下标按照递增顺序和循环形成的一维未知数顺序。⑴行标准排列格式行标准列标准行标准排列行标准排列⑵列标准排列格式两种排列的方式都形成5对角矩阵，但是形状不同，非零系数的集中程度是不相同，导致需要的存储量和计算速度不同。集中程度？按小的方向首先排列，带宽小。⒉D2对角排列格式⒊A3点交替排列格式

⒋D4排列格式该排列格式是D2和A3组合而成的排列格式

三、三维离散网格排序⒈标准排列格式对于三维渗流问题，标准排列格式的系数矩阵非零元素为七对角，假设三维渗流区域网格剖分后三个方向的网格数分别为，那么首先以纵向对应的方向进行排列，所得到系数矩阵的带宽最小。除剖面地质模型之外，油藏数值模拟中一般总是最小。三、三维离散网格排序⒉D4排列格式对于三维渗流问题，根据以前离散点标号的约定，排列格式的原那么如下：⑴三维网格下标之和为奇数者，按奇数递增顺序优先排序；然后再按偶数排列；？？？原因？三、三维离散网格排序⒉D4排列格式对于三维渗流问题，根据以前离散点标号的约定，排列格式的原那么如下：⑴三维网格下标之和为奇数者，按奇数递增顺序优先排序；然后再按偶数排列；⑵三维网格下标之和相同者，按K值递减顺序排序，即K值大者优先排序；⑶三维网格下标之和相同者，且K值相同，按J值递减顺序排序，即J值大者优先排序。如何排列？1,1,1＝32,1,1＝41,2,1＝42,2,1＝51,1,2＝42,1,2＝51,2,2＝52,2,2＝61,1,3＝52,1,3＝61,2,3＝62,2,3＝7①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩(11)(12)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩(11)(12)四、局部网格加密与死节点消除排序⒈局部网格加密与死节点数值模拟中网格的划分数量(或节点数)与数值解的精度有着直接的关系，为提高解的精度，希望网格划分得愈多愈好，但从另一方面来讲，网格数量又至少以一次幂的关系影响着计算机的内存量和计算时间。而在注采井较密的部位和物性变化较快的部位需要密网格，其他部位较少的网格即满足计算精度。－－网格加密另一方面，在划分网格的矩形区域内，不可防止地要框入—些无效格块，将这类格块视为死节点。在网格排序时避开这些死节点，可减少节点数目。⒉排序方法和系数矩阵的生成局部网格加密是一个在原划分网格根底上增加节点数目的方法，而死节点的消除是一个减少节点数目的方法，两种方法的目的各不相同，但它们的原理相同。随着加密网格个数不同、加密点和死节点出现的位置不同，其系数矩阵的阶数和结构也要发生相应的改变。对于网格局部加密和死节点消除通常采用自然网格排序方法。⑴局部加密当排到需进行局部加密的格块后，仍按着原来的序号，用顺序排序法对加密网格进行排序，排完后，保持这个序号继续向下排。⑵死节点消除当排到死节点处时，将该格块跳过去，直到遇到某一格块不为死节点为止，然后按原序号继续排下去。断层

网格的排列方向和顺序决定了矩阵的形式；矩阵的形式决定了求解过程中存储量和求解速度不同系数矩阵形式可以采用不同的求解方式。第三节差分方程组的求解方法采用隐式差分格式建立的数值模型为一个方程组对于常系数偏微分方程，差分方程组是线性的对于变系数微分方程，差分方程组可能是非线性的，这主要取决于传导系数中非线性项的处理方法。一、线性方程组的求解方法⒈三对角系数矩阵方程求解方法LU分解法⑴根据矩阵乘法规那么计算元素由的第一行的元素得

根据矩阵乘法规那么，计算其它元素整理以上三式得

⑵计算未知变量由计算过渡矩阵Y

由计算X适用于一维问题的求解作业1，有限差分的格式：向前、向后、中间差分。2误差产生的原因，受什么因素影响？3数值模拟方程系数矩阵的特点，产生原因？4矩阵的排列格式对系数矩阵有什么影响？5线性方程组的解法？6非线性方程组的解法？一维油水两相水驱油的数值模拟方法一维径向单相流的数值模拟方法第四章一维油藏的数值模拟方法用于研究均匀井网和单井的动态第一节一维油水两相水驱油的数值模拟方法一、数学模型1.假设条件1)符合达西渗流定律2)等温渗流3)油、水两相及油水两组分4)一维流动5)流体和岩石不可压缩；6)油藏岩石性质〔k,〕沿一维非均质7)不考虑毛管力和重力2.组分质量守恒方程由组分质量守恒方程的一般式逐步简化到上述假设条件。1)三维油气水三相N个组分2)三维油水两相两组分3)一维油水两相两组分4)假设不考虑流体和岩石压缩性令，将质量流量转变为体积流量

不考虑重力假设不考虑油水两相之间的毛管力－油相、水相压力相同水组分油组分3.辅助方程4.未知数和方程数(1)(2)(3)0L水油＋水5.初始条件和边界条件

在岩心中饱和油和束缚水，然后在左端注入水，右端先出油，后出油和水，要求岩心中各点压力、饱和度随时间的变化。I.CB.C二、差分方程组的建立1.预备知识1)方程解法问题

顺序求解(Sequential)，先求P，再求S

隐式压力显式饱和度IMPES

即ImplicitPressureExplicitSaturation

隐式压力隐式饱和度IMPIMS

即ImplicitPressureImplicitSaturation

所谓隐式，即用一个线性代数方程组求解一组未知函数；所谓显式，即用一个线性代数计算求解一个未知数。

联立求解(Simultaneous)，P、S同时求解

半隐式(Semi-Implicit)

全隐式(Fully-Implicit)2)方程非线性系数的显式和隐式处理

Krl随Sl而变化，而Sl又是未知函数，随时间变化，因此Kr有以下几种处理：显式，即Sl取n时刻，为值。半隐式，即krl随时间而变化，用Taylor级数展开，取前二项。隐式，即Sl取n+1

时刻，因Sln+1为未知，采用迭代法，常用的为Newton－Raphson方法。简单计算采用显式的处理方法3)方程非线性系数项取上游权i-1ii+1x流动由i-1到i流动由i到i－1误差比较大上游权的意义在于把流动滞后由时间上〔采用显式处理导致n+1－n〕所造成的误差转移到空间上进行补偿，因此上游权处理方法是稳定的。隐式压力显式饱和度IMPES流动由i-1到i流动由i到i－1显式处理2、隐式求压力的方程－IMPES为消除SL项，〔1〕＋〔2〕可得〔4〕对〔4〕式进行离散化，采用块中心网格，且网格大小相等，均为x采用二阶隐式差分格式后得：i=123n-1n

x〔5〕i=123n-1n

x〔5〕式可以分以下三种情况来讨论①对于第2至n-1个网格，因无注入和采出qv=0,其中系数项采用显式处理，并采用上游权原那么：〔6)〔7〕i=123n-1n

x②对于第一个网格i=1,注入为qv,(5)式中第二项，由于没有流体从0流到1网格，因此无此项，第一项系数采用上游权显示处理。变形，并令(8)i=123n-1n

x③对于第n个网格，i=n，产出为qv，(5)式中第一项，由于没有流体从n流到n+1网格，因此无此项，第二项系数采用上游权显式处理：〔6〕、〔7〕、〔8〕构成了i从1到n的线性代数方程组。总的方程式00矩阵方程如下：系数矩阵为三对角矩阵，可用LU分解法求解i=1,2,,n压力值。…………….…………………..…..3.显式求饱和度方程方程〔1〕采用二阶隐式差分后，系数项采用显式处理和上游权原那么，可得〔9〕式中Pn＋1已从隐式压力方法求解得到，而求Sw可分以下三种情况：a:2,3,…n-1b:1c:n(9)1〕i=2，3，，n-1,qv=0(9)式可写为：

〔10〕2〕i=1,〔9〕式中只有第一项，可得：两端乘以，并令Qv=qvA△x那么〔11〕只注水初始含水饱和度增加快，然后上升速度逐渐减慢3)i=n，〔9〕式中只有第二项，可得：两端乘以Ax，并令n-1n产水量，出口端为？见水后？油水界面没有到达井底前，Qw为0，井底含水饱和度不变，水的流度项为0含水率利用〔10〕、〔11〕、〔12〕式即可求得i=1,2,,n的的值。〔12〕如何求解含油饱和度？两种方法：方法1：根据饱和度方程求解方法2：根据油相方程，按水相饱和度的方法求解同样，对于1,2～n-1，n采用不同的方程第1个网格：qov＝？？？？为0，因为是注水第2~n网格：qov＝？没有产量项为0第n个网格：qov＝？产油项三、计算框图读入SwcPi不同Sw下的KrwKro值〔线性差值〕计算λwλoλ值计算压力方程的系数矩阵和右边项c(I),a(I),b(I),d(I)用分解法求P(I)

显式求Sw(I)So(I)T<Tmax打印TP(I)Sw(I)SO(I)

结束程序开始读入μw,μo,K,φ,L,△x

读入S(I),Krw(I),Kro(I),I=1……M读入Tmax,△t,QvT=0YNT+t

程序一形成求解相对渗透率的子程序或函数在一维水驱油岩心中：φ=0.3;Swc=0.2;Pi=0MPa;A=10cm2;L=1m;Qv=0.1cm3/s;Pn=0MPa油水相对渗透率数据如下表：Tmax=500s△t=10s取块中心网格N=40△x=2.5cm要求：编制一维水驱油数值模拟程序。1)打印100、200、300、400、500s时的压力和饱和度随岩心长度上的分布，并绘图表示。2)求出水突破时间。第二节一维径向单相流的数值模拟方法一、数学模型1.假设条件1)符合达西渗流定律2)等温渗流3)单相流体4)一维径向向井流动5)岩石不可压缩，流体微可压缩6)油藏岩石性质〔k,〕沿径向不发生变化7)不考虑重力2.质量守恒方程由三维柱坐标质量守恒方程逐步简化到上述假设条件1)三维单相非均质油藏可压缩流体和岩石2)三维单相均质油藏可压缩流体和岩石

k=常数＝常数，不考虑粘度变化，单相3)一维单相均质油藏可压缩流体和岩石

〔1〕〔2〕〔3〕2.质量守恒方程4)一维单相均质油藏可压缩流体，不可压缩岩石

〔4〕〔5〕右端相：左端相：按微可压缩处理3、初始条件和边界条件假设园形边界中心一口井，单相流体向井底流动，求在各种内外边界条件下的压力分布。rerwrerw定压封闭初始条件1)外边界2)内边界定产定流压可求以下问题：1.定压外边界条件下:1)内边界定产，求不同时间沿径向压力分布和井底流压。

2)内边界定流压，求不同时间沿径向压力分布和产量。2.封闭外边界条件下

1)内边界定产，求不同时间沿径向压力分布和井底流压。

2)内边界定流压，求不同时间沿径向压力分布和产量。二、差分方程组的建立1.预备知识—不等距径向网格的建立必要性当单相流体向井底流动时，由于外边界附近，流动截面大，流速小，压力变化也小，因此网格尺寸要大；而在井底附近，流动截面小，流速大，压力变化也大，因此网格尺寸要小。因此沿径向可以采用不等距网格。等比级数变化令…将不等距网格r坐标转换成等距网格x坐标，即将等比级数取对数。…xxxrwr1r2r3rnx0x