山西省晋中市灵石县2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（ 含答案解析 ）

2023—2024学年第一学期12月教学水平调研卷九年级数学（说明：本试卷闭卷笔答，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟）注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．第Ⅰ卷（客观卷）30分一、选择题（每题3分，共30分）1.下列各点中，在反比例函数图象上的点是（）A.（4，1） B.（2，﹣2） C.（﹣1，4） D.（2，3）【答案】A【解析】【分析】根据将点的横坐标代入反比例函数，得到的结果是否等于该点的纵坐标，即可求解判断．【详解】解：A、当时，，则在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；B、当时，，则不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；C、当时，，则不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；D、当时，，则（2，3）不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查判断点是否在反比例函数图象上，熟练掌握求反比例函数的值的方法是解题的关键．2.如图是一个几何体的三种视图，则该几何体可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图的定义逐项判断即可．【详解】解：A、B、C的俯视图都和题干中给出的图形不符，故不符合题意，故选：D．【点睛】此题考查由三视图判断几何体，熟知三视图的定义是解题的关键．3.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形．位似中心是（）A.（8，0） B.（8，1） C.（10，0） D.（10，1）【答案】C【解析】【分析】连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心．【详解】解：如图，点E即为位似中心，E（10，0），故选：C．【点睛】此题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记定义是解题的关键．4.在中，，，，则的长为（）A.10 B.24 C.5 D.12【答案】A【解析】【分析】根据余弦的定义可得，将代入即可求得的长，再利用勾股定理计算即可．【详解】解：如图，在中，，，，故选：A．【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键，在中，，也考查了勾股定理．5.已知A（7，y1）和B（2，y2）是反比例函数图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A.y1＞y2 B.y1＝y2 C.y1＜y2 D.无法确定【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数增减性即可得．【详解】解：∵反比例函数中的，∴在每一象限内，随的增大而减小，又∵和是反比例函数图象上的两点，且，∴，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．6.如图，若要测量小河两岸相对的两点A，B的距离，可以在小河边取AB的垂线BP上的一点C，测得BC＝50米，∠ACB＝46°，则小河宽AB为多少米（）A.50sin46° B.50cos46° C.50tan46° D.50tan44°【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义求解即可．【详解】解：在中，，，米，故选：C，【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义．7.一块三角形板，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（）A.24cm B.20cm C.15cm D.5cm【答案】B【解析】分析】由投影得，由相似性质得，求得．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查中心投影，相似三角形的性质；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键．8.参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了21场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛21场，可列出方程．【详解】解：设有x个队参赛，则故选B【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键．9.当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V应满足的条件是（）A.不大于 B.大于 C.不小于 D.小于【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图象可知，函数图象是反比例函数，且过点，将点代入反函数解析式即可求得的值，从而得出函数解析式，再根据的范围即可得出答案．【详解】函数图象是双曲线的一条分支，且过点，则故选：C．10.如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，则的值为（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】连接，得出是直角三角形，再求正切即可．【详解】解：连接，∵，，，∴，∴是直角三角形，在中，，故选：C．【点睛】本题考查正切函数，直角三角形的判定，得出是直角三角形是解题的关键．第Ⅱ卷（主观卷）90分二、填空题（每题3分，共15分）11.皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，在灯光照射下用隔亮布进行表演的民间戏剧．表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．“皮影戏”中的皮影是______（填写“平行投影”或“中心投影”）【答案】中心投影【解析】【分析】根据平行投影和中心投影的定义解答即可．【详解】解：“皮影戏”中的皮影是中心投影．故答案是中心投影．【点睛】本题主要考查了平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影．12.在中，若，则________．【答案】等腰直角三角形【解析】【分析】根据题意可得，．据此即可求得答案．【详解】根据题意，得，．可得，．则．所以，．所以，为等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．【点睛】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的判定，牢记，，的锐角三角函数值是解题的关键．13.如图，直线与双曲线交于A、B两点，过点A作轴，垂足为点M，连接，若，则k的值是_______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得长方形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即．由题意可知A、B关于点O对称，所以O为线段的中点，故，从而求出结果．【详解】解：因为直线与双曲线交于A、B两点，

所以A，B两点关于坐标原点成中心对称，即，所以．又因为，所以．所以，解得．又反比例函数图象位于第二、四象限，所以，所以．故答案为：．14.如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则_____．【答案】9【解析】【分析】根据平行的性质可知，进而可证得，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论．【详解】解：∵等边三角形沿边上的高线平移到，∴，，∴，∴，∵，∴，∵的面积记为，，∴，解得．故答案为：9．【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的性质，解题的关键是根据平移的性质证得阴影三角形与原来的三角形相似．15.如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，它的对角线与函数的图象相交于点，且，若矩形的面积为，则的值是______．【答案】【解析】【分析】过点作轴于点，可得，根据相似三角形的性质可得，根据已知条件得出，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作轴于点，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∵，∴∵矩形的面积为，∴∴∵函数过点，则又∵在第一象限，∴故答案为：．三、解答题（共75分）16.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查的是特殊角的三角函数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．（1）把特殊三角函数值代入原式计算即可；（2）根据有理数的乘方法则，特殊角的三角函数值计算．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式．17.解方程：（1）（x﹣4）（5x+7）＝0；（2）x2﹣4x﹣6＝0．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程方程即可得；（2）利用配方法解一元二次方程即可得．【小问1详解】解：，或，或，即．【小问2详解】解：，，，，，，即．【点睛】本题考查了解一元二次方程，常见方法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等，熟练掌握方程的解法是解题关键．18.如图，某数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长为，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，测得落在地面上的影长为，留在墙上的影高为，求旗杆的高度．【答案】15m【解析】【分析】过C作于E，首先证明四边形为矩形，可得，，根据题意得到，求出得长，即可求出旗杆的高度．【详解】解：如图，过点作于点，，，，四边形为矩形，，根据题意可得，即，解得，，答：旗杆的高度为．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长=定值，解决问题，属于中考常考题型．19.如图，在中，，是的中线，点是的中点，过点作CF∥AB交的延长线于点，连接．请判断四边形的形状，并加以证明．【答案】四边形BFCD是菱形，理由见详解【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，再由点是的中点，可得AE=EF，然后根据CF∥AB，可得∠AFC=∠DAE，∠FCE=∠ADE，从而得到△ADE≌△FCE，进而得到CF=AD，可得四边形BFCD是平行四边形，再由CF=CD，即可求解．【详解】解：四边形BFCD是菱形，理由如下：在中，∵，是中线，∴，∵点是的中点，∴AE=EF，∵CF∥AB，∴∠AFC=∠DAE，∠FCE=∠ADE，∴△ADE≌△FCE，∴CF=AD，∴CF=BD=CD，∵CF∥AB，∴四边形BFCD是平行四边形，∵CF=CD，∴四边形BFCD是菱形．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．20.暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）（1）求登山缆车上升的高度；（2）若步行速度为，登山缆车速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：）【答案】（1）登山缆车上升的高度；（2）从山底A处到达山顶处大约需要.【解析】【分析】（1）过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可；（2）在中，求得的长，再计算得出答案．【小问1详解】解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，，，∴，∴，答：登山缆车上升的高度；【小问2详解】解：在中，，，∴，∴从山底A处到达山顶处大约需要：，答：从山底A处到达山顶处大约需要.【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键．21.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式．（2）求的面积．（3）当时，直接写出x的取值范围．【答案】（1），（2）（3）或【解析】【分析】本题考查的是利用待定系数法求解含义解析式，坐标与图形面积，利用函数图象解不等式；熟练的利用数形结合的思想解题是关键．（1）将A点坐标代入反比例函数可得反比例函数解析式，再求解B的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；（2）令直线与x轴的交点为M．由，再计算即可；（3）直接利用函数图象解答即可．【小问1详解】解：将A点坐标代入反比例函数得，．∴反比例函数的解析式为．将B点坐标代入反比例函数解析式得，．即点B的坐标为．将A，B两点坐标代入一次函数解析式得，，解得．∴一次函数解析式为．【小问2详解】令直线与x轴的交点为M．将代入一次函数解析式得，，解得即点M的坐标为．∴，，故．【小问3详解】由函数图象可知，在直线的左侧和直线与直线之间的部分，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，∴当时，x的取值范围是：或．22.如图①，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在边，上．（1）加工成的正方形零件的边长是多少？（2）如果原题中要加工成一个矩形零件，且此矩形可由两个大小相同的正方形并排放置组成，如图②，则这个矩形零件的长和宽分别是多少？（3）图③，如果把这块材料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，P、N两点分别在，上，且，则平行四边形的面积为______．【答案】（1）正方形的边长为（2）这个矩形零件的两条边长为，（3）768【解析】【分析】（1）设正方形的边长为，则，，再证明，得到，即，由此求解即可；（2）设，则，同理可证，得出，求出，即可得出答案；（3）过点A作于D，交于E，同理可证，，得到，利用勾股定理和面积法求出，，从而求出，则．【小问1详解】解：由题意得四边形是矩形，设正方形的边长为，则，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴正方形的边长为；【小问2详解】解：∵此矩形可由两个大小相同的正方形并排放置组成，∴，设，则，同理可证，∴，即，解得：，∴，，∴此时这个矩形零件的两条边长为，．【小问3详解】解：过点A作于D，交于E，如图所示：同理可证，，∴，在中，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：768．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．23.综合与探究如图，在矩形中，，分别以所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．反比例函数的图象交于点，交于点F．（1）求k的值与点F的坐标；（2）在x轴上找一点M，使的周长最小，并求出点