2023-2024学年甘肃省武威市凉州区高三上学期第三次诊断考试数学试题及答案

2023-2024学年度第一学期高三第三次模拟考试数学试卷第I卷（选择题）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.UxZ|x2x120,A1,3,B4(ð)B1.已知集合，则U（）0,2,440,41,3A.B.C.D.2.复数z满足1zizi2|1|，则z（）12111iC.11iiA.1iB.D.22222内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cbcosA，则3.A.等腰三角形C.直角三角形一定是（）B.等边三角形D.等腰直角三角形4.函数fxx2x[,]在区间内的图象大致为（）22A.B.C.D.xy1，则xy）5.已知A.1B.10C.210D.10616.若sin，则）.等于（337171A.B.C.D.93393yx2xy2x1的最小距离为（7.点A是曲线上任意一点，则点A到直线）25525AB.C.D.51055f(x)f(x)8.定义在R上的偶函数满足：对任意的x，x[0,)，都有120，则满足fx121-2的的取值范围是（）f2x1f1x)(,0)(-0)A.B.D.(,0)(0,1)C.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是（）1x2x0，xxAxR，B.xC.xR，x2x1D.方程x22x的实根有三个10.下列等式中正确的是（）12sin15cos151A.B.D.2242tan71tan261tan71tan26121sin263426sin34C.11.若函数fxxxax1恰有两个零点，则实数a的取值可能是（）A.1B.2C.3D.42fxAsin2xA0,012.若函数的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是（）12,0fxA.是函数图象的一个对称中心B.函数对称fxx3,C.函数在区间fx上单调递增33D.函数的图像可由yAsin2x的图象向左平移个单位得到fx12第II卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.23133y2xyxaxa_________．13.若直线与曲线相切，则sin14.若tan，则2______．2sin23a2b2c215.△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，则C______．43fx16.已知是定义在R上的奇函数，当x0时，fx，若xfxf10，则不等式0x的解集为________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数fxx23sinxxsinx．2（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；fx2xfxmm______，求实数的取值范围．时，关于x的不等式（Ⅱ）若当请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ①有解；②恒成立．18.如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3（1）求△CBD的面积；（2）求边AC的长.19.已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若S110,且成等比数列anSa,a,an124（Ⅰ）求数列的通项公式；an112（Ⅱ）设数列满足bn，若数列b前n项和，证明nbTTn.1an1annna}2aaaa,a,a1，且成等差数列．12320.已知等比数列中，n123a}a；n（1）求数列（2）当数列的通项公式n，记数列b}n的前项和为na}n}满足b2n1anN*为正项数列时，若数列nnnS，试比较与n22n的大小．Snn43f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值．21.若函数（1）求函数的解析式；（2）判断函数的极值点并求出函数的极值.f(x)xmR．22.已知函数（1）讨论f(x)（2）若x)，其中，f(x)x22x，求m的最大值．2023-2024学年度第一学期高三第三次模拟考试数学试卷第I卷（选择题）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.x120,A1,3,B4UxZ|x2(ð)B1.已知集合，则U（）0,2,440,4D.1,3A.B.C.【答案】B【解析】【分析】根据集合的运算求解即可.2,3,4，x120解得：3x4，得集合U【详解】由x2A3,B4，又ð4，AUB4.ðAU从而故选:B．2.复数z满足1zizi2|1|，则z（）12111i11iiD.A.1iB.C.22222【答案】C【解析】【分析】先求出等式右侧复数的模，然后表示出复数z，再化简变形求得结果.1i111i.【详解】由已知1zizi2|1|，可得(iz1，∴z22故选：C．内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若cbcosA，则3.一定是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形【答案】C【解析】D.等腰直角三角形【分析】利用余弦定理角化边整理可得.b2c2a2【详解】由余弦定理有cb，整理得b2a2c2，故一定是直角三角形.bc故选：C[,]224.函数fxx2x在区间内的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】判断函数的奇偶性，结合特殊值的求解进行判断即可.f(x)xx，，则f(x)(x)cos(x)xxf(x)2x[,]22222212故f(x)x2x为偶函数，排除C、D；又x时，f330，排除A339故选：Bxy1，则xy的最小值是（）5.已知A.1B.10C.210D.10【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式的性质即可得出．xy11，即10y0且x0，xy2210y10时取等号，，当且仅当x故选：C【点睛】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．6136.若sin，则）.等于（37171A.B.C.D.9339【答案】A【解析】【分析】61333根据sin，利用诱导公式得到2，再由，利用3二倍角公式求解.6231【详解】因为sinsin，331，cos所以所以32372213，39故选：A3yx2xy2x1的最小距离为（7.点A是曲线上任意一点，则点A到直线）25525A.B.C.D.51055【答案】A【解析】3yx2xy2x1的斜率相等的点为距【分析】动点A在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线2离最小的点，利用导数的几何意义即可3fxx2x，定义域为：【详解】不妨设21对求导可得：fx3xfxx令fx21解得：x1（其中x=-舍去）3323x1时，，则此时该点2y2x1的距离为最小到直线y当321根据点到直线的距离公式可得：2d55解得：d故选：A10f(x)f(x)8.定义在R上的偶函数满足：对任意的x，x[0,)，都有120，则满足fx121-2的的取值范围是（）f2x1f1x)(,0)(-0)A.B.D.(,0)(0,1)C.【答案】B【解析】【分析】由函数为偶函数可得原不等式等价于f|2x1|f，再根据单调性解不等式.【详解】因为是偶函数，且在上单调递减，fxfxx)f2x1f1所以不等式f|2x1|等价于，f1即2x11，解得x0或x1，所以满足f2xf的x的取值范围是)(,0)．故选：B．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是（）1x2x0，xxA.xR，B.xC.xR，x2x1D.方程x22x的实根有三个【答案】CD【解析】【分析】利用命题的定义，结合函数图象的性质求解即可.11x【详解】对于A，当x0时，x(x)，x1x1xx2x2因为x0，所以，11xx(x)2所以，故A错误；x对于B，由反函数的性质可知，yx的图象关于yx对称，由于yex与yxyxxx恒成立，且的图象恒在图象的下方，所以故B错误；2123对于C，xR，x2x1x0，即x2x1恒成立，4故C正确；对于D，故选:CD.y=x2与y2x有且仅有三个交点，故D正确.10.下列等式中正确的是（）12sin15cos1521A.C.B.D.242tan71tan261tan71tan26121sin263426sin34【答案】ABC【解析】【分析】ABC选项，逆用正切差角公式进行求解；D选项，逆用正弦和角公式计算.114sin15cos15sin30【详解】A选项，，A正确；22B选项，2sin222.5145，B正确；2tan71tan261tan71tan2626tan71tan451，C正确；C选项，334sin60D选项，sin263426sin34sin26，D错误.2故选：ABC11.若函数fxxxax1恰有两个零点，则实数a的取值可能是（）A.1B.2C.3D.4【答案】BCD【解析】【分析】分离参数，函数fxxxax1有2个零点等价于在x0时，11axgxx有两个解，判断函数的图像即可.xxfxxxax1【详解】函数有2个零点等价于在x0时，有2个交点，1yagxx与直线xx1'xx1，显然当时，g'x0，当时，0x1'x0g，gx2即在x=1处，取得最小值=1，gx图像如下：yagxa1；若与有2个交点，则故选：BCD.2fxAsin2xA0,012.若函数的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是（）12,0fx是函数图象的一个对称中心A.B.函数的图象关于直线对称fxx3,C.函数在区间fx上单调递增33D.函数的图像可由yAsin2x的图象向左平移个单位得到fx12【答案】AD【解析】yAx)【分析】由题意利用函数的图象求出函数解析式，结合正弦函数的性质，即可得出结论．f(x)Asin(2xA00)的部分图像，【详解】解：根据函数，2可得A2，结合五点法作图可得2，126f(x)2sin(2x)故函数．6xf(x)0(0)，是函数f(x)图象的一个对称中心，故A正确；令令，求得，可得12xf(x)1，不是最值，可得x，求得不是函数f(x)图象的一条对称轴，故B错误；33在区间[，上，2x[，，函数没有单调性，故C错误；]]f(x)33666y2sin2xy2sin(2x)f(x)由的图象向左平移个单位，可得12的图象，故D正确，6故选：AD．第II卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.23133y2xyxax相切，则a_________．13.若直线与曲线【答案】3【解析】1x,x30axa022【分析】设切点为0，根据导数的几何意义可推导得到，根据切点坐标同时满足03直线与曲线方程可构造方程求得0，代入可得结果.23113y2xyx3axx,x30ax0【详解】设直线与曲线相切于点，031yx3ax2x20a2ax202，由又得：yxa，，3132123x1，0x30ax2xx30xx222x，，解得：0000033a123.故答案为：3.sin14.若tan，则2______．2sin243【答案】【解析】【分析】利用二倍角的正余弦公式展开后，根据弦化切的思想求解.【详解】因为tan2，sin2sincos2tan43所以．2sin22sin21tan24故答案为：33a2b2c215.△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，则C______．43【答案】##3【解析】12a2b2c2【分析】因本题求角C，则△ABC的面积SabsinC，整理cosC得2aba2b2c2abcosC，代入计算．232abC3a2b2c21tanC，则可得，3C【详解】由题意可得absinC24343∴C3故答案为：．3fx16.已知是定义在R上的奇函数，当x0时，fx，若xfxf10，则不等式0x的解集为________.【答案】0U【解析】【分析】fxgx上单调令gxxfx0gx，对其求导，由x0时，，可知，从而在x递减，由是定义域上的偶函数，从而可得出在,0上的单调性，再结gxgxfxg1g10合的解集gx.0，可求出xfxfx，则gx【详解】由题意，令gx，xx2xfxfxxfx，则gx因为x0时，0，x2故在上单调递减，gx又是定义在R上的奇函数，所以fx，fxfxfxfxfxgx上的偶函数，是,0xgx，即所以gxxxf1根据偶函数的对称性，可知在0.,0上单调递增，且gggx0，1x1,0U0,1时，gx所以故答案为：1,0U0,1.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的解集，解题关键是求出函数的单调性.本题通过构造函数fx上的单调性，再结gxxfxgx，求导并结合当x0时，，可求出函数在x合函数的奇偶性，可求出在定义域上的单调性.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中gx档题．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数fxx23sinxxsinx．2（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；fx2xfxmm______，求实数的取值范围．时，关于x的不等式（Ⅱ）若当请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ①有解；②恒成立．3【答案】（Ⅰ）单调递增区间为：k,k；T）答案见解析Ⅱ.kZ，6【解析】【分析】6fx2sin2x（Ⅰ）先将函数整理，得到，利用正弦函数的周期性与单调性，即可求出其单调递增区间与最小正周期；mfx，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最大值，即可得出结（Ⅱ）若选①，可得mfx，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最小值，即可得出结果.果；若选②，可得fxx23sinxxsinⅠ）解：因为2x23sinxx2xsinx263sin2x2x2sin2x．所以函数的最小正周期T；fx2ysinx的单调增区间为2k,2kkZ，因为函数，22k2x2kkZ，所以解得，，262kxkZk，363所以函数的单调增区间为k,kfxkZ；，6（Ⅱ）解：若选择①fxmfxm有解，即由题意可知，不等式；2x2x因为，所以，6662xx取得最大值，且最大值为fx时，f26，故当所以，即626m2；若选择②mfxfxm2x由题意可知，不等式恒成立，即．2x因为故当，所以．6662xx取得最小值，且最小值为fx时，f21．，即662所以m1．【点睛】思路点睛：求解三角函数最值问题时，一般需要根据三角恒等变换将函数化简整理，化为正弦型函数或余弦型函数的形式，结合正弦函数或余弦函数的性质，即可求解.18.如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3（1）求△CBD的面积；（2）求边AC的长.3【答案】（1）2）534【解析】1）由余弦定理求得（2）由正弦定理即可求解.cosB，即可得出sinB，再由面积公式即可求解；32725211141）在△CBD中，由余弦定理可得B，2375314则sinB12B，153153S37；2144（2）在中，由正弦定理得，sinAsinB712AC即53，解得AC53.1419.已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若S110,且成等比数列anSa,a,an124（Ⅰ）求数列的通项公式；an112（Ⅱ）设数列满足bn，若数列b前n项和，证明nbTTn.1an1annna2nn【答案】（Ⅰ）【解析】.n【详解】试题分析：(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的前项和求出首项和公差,进而求出数列的通项公式;an1T1112(2)利用裂项相消法求和,求得n22n123aad11a221a41d（Ⅰ）由题意知：{10110a2n；10145d110ad2解，故数列1n1111bn，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2n12n122n12n1111112133511Tn...则2n12n11112122n1点睛：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，ccn（2）裂项相消法求和，一般如3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等anan14）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.a}2aaaa,a,a1，且成等差数列．12320.已知等比数列中，n123a}a；n（1）求数列（2）当数列的通项公式n，记数列b}n的前项和为a}n}满足b2n1anN*为正项数列时，若数列nnnnS，试比较与n22n的大小．Snn1(n1a2n1或；nan【答案】（1）4Snn22n（2）.【解析】1）根据等比数列a}2aaaa,a,a1a,q，，且成等差数列，利用“1”求解；n123123an2n1b2n12n1nS=nn22n1，再利用作差法比（2）由（1）题得，则，利用分组求和得到S与n22n的大小．较n【小问1详解】解：记的公比为，qan2aaa可得32qqq1，解得或2，2由121a1aa12aaaq212aq又由，可得，即1，q21321111n1q1aa1n当当时，可解得，此时有144q=2a1a2n1，此时有n时，可解得11综上，数列的通项公式为n1a2n1.或aan1nn4【小问2详解】2n1b2n12n1，则，nan由（1）知：从而2n12n1，Sb12n131222nn12n112nn221，n212Sn222n10，由故nSnn2n．43f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值（1）求函数的解析式；．21.若函数（2）判断函数的极值点并求出函数的极值.1f(x)x34x4【答案】（1）334（2）当x2时，f(x)有极大值，当x2f(x)时，有极小值3【解析】【分析】4,f(2)0,可求出a,b的值,进而确定函数的解析式.f(2)(1)先对函数进行求导,然后根据3x(2)根据(1)中解析式然后求导,然后令导函数等于0，求出的值,然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,确定出函数的单调性,进而得到函数的极值;f(2)12ab013af(x)b2