初中数学逻辑推理强化练习5

初中数学逻辑推理强化练习5

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.把正方体的六个面染成3面红，2面蓝，1面黄，正方体可以旋转，旋转后相同的

两种染色方法看成是同一种染色方法，那么一共有（）种不同的染色方法.

A.2B.3C.4D.至少5利।

2.下表是某电台本星期流行歌曲排行榜，其中歌曲J是新上榜的歌曲，箭头"T”或"广

分别表示该歌曲对于上星期名次变化的情况，'T’表示上升，表示下降，不标注则

表示名次没有变化.已知每首歌曲的名次变化都不超过两位，则上星期有可能排在

1,5,7名的歌曲是（）.

名次12345678910

歌曲ABCDEFGHIJ

变化情况T1T1TT新

A.D,E,HB.C,F,lC.C,E,ID.C,F,H

3.分母是2007的正的最简真分数有（）个.

A.675B.326C.1329D.1332

4.在象棋中，"兵’’在过河后，可以向左、向右或往前行进一步，但是永远不能往后方

移动.如图，“兵”己经过河了，可以向右、向上行进.那么"兵'’从现在的位置走到“将”

的位置，且要使路程之和最短，有几种行走的路线（）

A.16B.20C.24D.32

5.A,B,C,D,E五人参加“五羊杯”初中数学竞赛得分都超过91分，其中E排第

三，得96分.又已知A,B,C平均95分，B,C,D平均94分,若A排第一，则。

得（）分.

A.98B.97C.93D.92

6.把2,4,7,K四张牌分发给四人，每人按牌面数字分（K记13分）记分，然后收

回重洗，再分发和记分，…，若干次后，发现四人累计各得16,17,21和24分.己

知得16分者最后一次得2分，则他第一次所得分数是（）分.

A.2B.4C.7D.13

7.一个盒子中有红球，〃个、白球10个，黑球”个，每个球除颜色外都相同，从中任

取一个球，取得是白球的概率与不是白球的概率相同，那么见”的关系是（）.

A.m+n=10B.m+n=5C.m=n=i0D.m=2,n=3

8.把红、黄、蓝、白四种颜色的球各6个放到一•个袋子里，一次至少要取（）个

球，才可以保证取到两个颜色相同的球

A.7个B.6个C.5个

二、填空题

9.某计算机用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件

和盒装磁盘，根据需要软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有

种.

10.5所小学进行足球比赛，每两所小学赛一场，每场胜队得3分，负队得。分，平

局各得1分.已知其中4所小学的得分分别为8,7,4,1,那么第5所小学的得分最

多是.

11.小丁，小明、小倩在一起做游戏时，需要确定游戏的先后顺序，他们约定用“剪

子，布、锤子”的方式确定，那么在一个回合中三人都出"布''的概率是.

12.调查某班的文具盒，得到如下结果：

（I）有钢笔的同学，没有圆珠笔；

（II）有圆珠笔的同学，也有毛笔；

（III）有铅笔的同学，没有毛笔；

（W）没有铅笔的同学，有圆珠笔.

根据以上调查结果，小明得出下列五点结论：

（1）有毛笔的同学也有钢笔；（）

（2）没有毛笔的同学有钢笔；（）

（3）有圆珠笔的同学的人数与有毛笔的人数相等；（）

（4）没有任何同学同时有圆珠笔和铅笔；（）

（5）有钢笔的同学也有铅笔.（）

小明的结论是否正确？请你在每个结论的括号内，正确的打’7”,不一定正确的打

“X”.

13.将正整数从1开始依次按如图所示规律排成一个数阵，其中，2在第1个拐角

处，3在第2个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处，…，那么第2007个

拐角处的数是

26—25—24—23—22—21

II

2710—9—8—7—20

IIII

28II2—1619

IIII

：123—4—518

II

:13-14—15—16—17

14.11只小鸟落在8棵树上，至少有只小鸟要落在同一棵树上.

个(包括大小不同的)正方形；

个包括大小不同的矩形(包含正方形).

16.将红、黄、蓝三种颜色的帽子各5顶放入一个盒子里，要保证取出的帽子有两种

颜色，至少应取出__________顶帽子；要保证三种颜色都有，则至少应取出________

顶；要保证取出的帽子中至少有两顶是同色的，则至少应取出_______顶.

三、解答题

17.某学生为了准备参加数学竞赛，连续做了5周习题，他每天至少做一道习题，每

周至多做10道习题.证明：他一定在连续若干天内恰做了19道习题.

18.(1)从10本不同的书中取3本书，分别送给3位朋友，每人恰好一本，共有多少

种不同的方法？

(2)从10本不同的书中任取3本书送给1位朋友，共有多少种不同的方法？

19.设甲有一条长为人的线段，乙有一条长为/的线段，甲先将自己的线段分成3

段.然后乙也将自己的线段分成3段，如果可用分得的6条线段组成两个三角形，则

乙胜；否则甲胜.问甲、乙两人谁能根据比值彳的大小保证自己获胜？他该如何进

行？

20.从1,2,3,…，50这50个正整数中任取〃个数，在这"个数中总能找到3个

数，它们两两互质.求"的最小值.

21.一个多位数N(N21O)乘以11,得到一个新的数，我们把这个新数的首位和末位上

的数字去掉后剩下的数叫做多位数N的“留守数”，如果两个多位数的“留守数”的数字

相同或之和相等，我们称这两个多位数为“李生数如：•••21x11=231,67x11=737,

.*.21和67的“留守数”均为3(3=3),所以21和67是“挛生数”;再如:

：36xn=396,108x11=1188,.*.36的留守数是9,108的“留守数”的数字之和为9,

9=1+8,所以36和108是“学生数”.

⑴42的“留守数”是_；42与2021「洋生数”(填“是”或“不是”)；

(2)如果两个两位数〃和N是“李生数”(MHN),其中M=IO〃+A,N=10c+d,且

3a+6=ll(a〉b),c+d<10其中c均为1到9之间的整数，b,d均为0到9之

间的整数，求出所有符合条件的两位数N.

22.某班期中考试结束后，语文、数学、英语获得90分以上的学生人数分别是22

人、18人、20人，其中语文和数学两科都获得90分以上的学生人数有8人，语文和

英语两科都获得90分以上的学生人数有9人，数学和英语两科都获得90分以上的学

生人数有7人，并且语文、数学、英语三科都没有获得90分以上的学生人数有5

人.问这个班最少有几个学生？最多有几个学生.

参考答案:

1.B

【解析】

【分析】

【详解】

3红面有两种情形：（1）如图（a）,3红面有一个公共顶点，此时余下三面任选一面染黄,

二面染蓝，由于旋转的关系，可以看成同一种染色方法.

（2）如图（6）,红面中有2个面是对面，如上、下底面染红，4个侧面中有一个面染红，

余下3侧面中2蓝面或相邻或相对，有2种不同染法，合计共有3种不同染色方法.故选

B.

【解析】

【分析】

【详解】

解由。上升排在第4,而名次变化不超过2,则上星期不可能排在第一，故排除选项A；

E下降排在第5,则上星期不可能排在第5,排除选项C；又”上升排在第8,则上星期应

排在第8之后，不可能排在第7,排除选项。.所以选民

3.D

【解析】

【分析】

【详解】

因2007=32x223,因悬是最简真分数的充要条件是1<“<2006,并且”与2007互素，

即〃既不被3整除又不被223整除，记/={1,2,…,2006},4={a|ae/并且〃不被3整除

},423={"|。€/，并且a不被223整除},&，423在/中的补集分别记为川，和自3,则由

答案第1页，共11页

容斥原理知/中既不被3又不被223整除的数的个数等于

14n=1/1-(141+14231)-(140/1)=2006-

2006=2006-(668+8)+2=1332.故选D.

3x223_

4.B

【解析】

【分析】

“兵”从现在的位置走到“将”的位置，总共会走3次右和3次上，依据图表，运用列举法算

即可求解.

【详解】

解：兵”从现在的位置走到“将”的位置，总共会走3次右和3次上，路线如下图所示，

逐一列举如下：

：151291

11

11

11

1_1

44118：

11

I1

11

1

*3107

11

11

11

k_______

兵123

则行走的路线的种数有：1-2-3-4-5-6；1-2-7-4-5-6；1-2-7-8-5-6；1-2-7-8-9-6；1-

10-7-4-5-6；1-10-7-8-5~6；1-10-7-8-9-6；1-10-11-8-5-6；1-10-11-8-9-6；1-10-1I-

12-9-6；13-10-7-4-5-6；13-10-7-8-5-6；13-10-7-8-9-6；13-10-11-8-5-6；13-10-11-

8-9-6；13-10-11-12-9-6；13-14-11-8-5-6；13-14-11-8-9-6；13-14-11-12-9-6；13-14-

15-12-9-6；共20种,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查用列举法计算.解题的关键是数形结合，有序列举，不重不漏；

5.B

【解析】

【分析】

答案第2页，共11页

【详解】

设A,B,C,D,E分别得“，b,c,cl,e分，则小b,c,d,e都是在92与100之间的

正整数，其中。最大，e=96排第三，且a+6+c=3x95=285,〃+c+4=3x94=282.

两式相减得a-d=3.

若6排在第二，贝iJZ?2e+l=97,aN人N97,c=285-a-b=91<92,矛盾.

若c排第二则cW97,aN97,〃=285-a-c491<92,矛盾.

若1排第二，则d±97,a="+3*97+3=10(),故只可能a=100,d=97.所以选8.

6.C

【解析】

【分析】

【详解】

由题设知每次四人得分总和等于2+4+7+13=26.

又若干次后，四人得分累计总和等于16+17+21+24=78,可见发牌次数为78+26=3次.

又得16分者最后一次得2分，则前两次共得16-2=14分，而2,4,7,13中只有两次均

取7分才可能其和得14分，故得16分者第一次得7分所以选C.

7.A

【解析】

【分析】

【详解】

盒中共有加+〃+10个球，取得的是白球的概率是〃=，取得的不是白球的概率为

m+n+L10

P=m+n依题意有一^―=m+所以m+〃=10.故应选A.

+72+10m+n+\06+〃+10

8.C

【解析】

【分析】

把红、黄、蓝、白，这四种颜色看作4个抽屈，把6x4=24个小球看作24个元素.从最不

利情况考虑，每个抽屉需要放1同色球，共需要1x4=4个，再摸出1个不论什么颜色，总

有一个抽屉的球和它同色，所以至少要摸出4+1=5个；据此解答.

【详解】

解：4+1=5(个)

答案第3页，共11页

答：至少要取5个球，才可以保证取到两个颜色相同的球.

故选：C

【点睛】

抽屈原理的解答思路，从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数是解题的

关键.

9.7

【解析】

【分析】

【详解】

解先买了3片软件和2盒磁盘，余下500-(3x60+2x70)=180(元).若不买软件，则可

买磁盘0盒、1盒或2盒；若买1片软件，则可买磁盘0盒或1盒；若买2片软件，则不

可能再买磁盘；若买3片软件，也不能再买磁盘，故共有3+2+1+1=7种选购方法.

10.7

【解析】

【分析】

【详解】

一共比赛了gx5x4=10场如果无平局那么共得3x10=30分.

TTij8=3+3+14-1,7=3+3+1+0,4=3+1+0+0,1=1+0+0+0.

四个学校共出现了5次平局，故至少有3场踢平，所以至多可得的总分为30-3=27

分.第5个学校至多得27-8-7-4-1=7分，这个7分是可以达到的，如下表就是一种满

足题目要求的比赛结果，故第5所学校最多得7分.

—>二三四五

一1133

二1330

三1030

四0001

五0331

答案第4页，共11页

【解析】

【分析】

【详解】

3个人所出手势的各种不同结果共有3x3x3=27种，其中三人都出“布”的情况只有一种，故

所求概率为

27

12.(1)x；(2)x；(3)<(4)7；(5)«

【解析】

【分析】

【详解】

因为原命题与其逆否命题等值，故由(III)推知有毛笔n无铅笔，再结合(IV)和(H)

推得有毛笔n无铅笔n有圆珠笔n有毛笔，故有毛笔、无铅笔、有圆珠笔三者是等值

的，所以(3),(4)正确.

再结合(I)知有钢笔的同学没有圆珠笔，从而他有铅笔，故(5)也正确.

(I)

若(1)正确，则有毛笔=>有钢笔n没有圆珠笔=无毛笔，矛盾，故(1)不正确.因为

(I)

有钢笔n无圆珠笔=无毛笔是正确的，故它的逆命题(2)不一定正确综上得本题的结论

是X、X、(《，

13.1008017

【解析】

【分析】

【详解】

解设第〃个拐角处的数是明,则

q=2,4=3,%=5,4=7,%=10,%=13,a7=17,4=21,…，于是

a2-a,=\,ay-a2=2,a4-a,=2,a5-a4=3,a6-a5=3,a1-a6=4,a9-a7=4....一般地,我

们有«2„-l-a2n-2="，a2n-a2„-\=«.

答案第5页，共11页

注意至i」2007=2xl004—l,于是

2X）7=4+3-4）+3-4）+（“4一%）+~+（%005一%004）+（42006一%005）+

（凡007—60（）6）=2+1+2+2+3+3+・・,+1003+1003+1004=l+2x（l+2+3+・・,+

1003）+1004=1+2x（1+l0°^）xl（）03+1004=1+10042=1008017.

14.2

【解析】

【分析】

根据题意可得11只小鸟落在8棵树上，每棵树上落1只小鸟，还剩3只小鸟.这3只小鸟

不管落在哪棵树上，至少有2只小鸟落在同一棵树上，即可求解

【详解】

解：V114-8=1.......3,

.•.11只小鸟落在8棵树上，每棵树上落1只小鸟，还剩3只小鸟.这3只小鸟不管落在哪

棵树上，至少有2只小鸟落在同一棵树上.

故答案为：2

【点睛】

本题主要考查了抽屉原理，根据题意得到11只小鸟落在8棵树上，每棵树上落1只小鸟，

还剩3只小鸟是解题的关键.

15.55225

【解析】

【分析】

【详解】

解（1）边长为123,4,5的正方形分别有三,42,流于,/个，故共有夕+4?+3?+2?+F=55

个正方形.

（2）长方形的水平方向的边长可为1,2,3,4,5,它们分别有5,4,3,2,1种不同取法故长方形的

水平方向边长共有5+4+3+2+1=15种不同取法.同理，长方形的竖直方向的边长也有

5+4+3+2+1=15种不同取法，故共有15x15=225个不同的长方形.

16.6114

【解析】

答案第6页，共II页

【分析】

考虑最不利的情况：取假设出的前5顶帽子是同一种颜色，则再取一顶即保证取出的帽子

有两种颜色；假设取出的前10顶帽子是两种颜色，则再取一顶即保证三种颜色都有；假设

取出的前3顶帽子是三个颜色，则再取一顶即保证取出的帽子中至少有两顶是同色的，由

此即可填空.

【详解】

①5+1=6（顶）:

②2x5+1=11（顶）：

③3+1=4（顶）：

答：要保证取出的帽子至少有两种颜色，至少应取出6顶帽子，要保证三种颜色都有，则

至少应取出11顶；要保证取出的帽子中至少有两个是同色的，则至少应取出4顶；

故答案为：6,11,4.

【点睛】

本题考查抽屉原理的实际应用，掌握运用抽屉原理解决简单的实际问题是解题关键.

17.见解析

【解析】

【分析】

【详解】

设该学生从第1天到第i天共做了道习题《=1,2,…,35）,因为每天至少做1道习题，每

周至多做10道习题，所以54为<59<一<$354x=，于是

W+19Vs2+19<S35+19<69.

因为70个正整数席邑,…,S35,$+19,。+19,…,S35+19中最小的是，,最大的535+1949,

故由抽屉原理，这70个数中必有两个数相等，而

S1<S2<-<S35JS1+<m+<…<$余+,所以必存在14i</435,使邑=S,+19,

即S,-S；=19,也就是该学生在第i+l,i+2,…,/这连续天内恰做了19道习题.

18.（1）不同的送书方法共有720种；（2）不同的送书方法共有120种.

【解析】

【分析】

答案第7页，共11页

【详解】

（1）从10本书中取1本送给第一位朋友有10种选择，再从余下9本书中取1本送给第二

位朋友，有9种选择，最后从余下的8本书中取1本书送给第三位朋友有8种选择，故由

乘法原理知，不同的送书方法共有编=10x9x8=720（种）.

（2）同（1）,我们知道从10本书中依次取出3本书（每次取一本书）共有编=10x9x8

种取法.当取出的3本书是A,B,C时，它们取出的次序都有下列父=3x2x1=6种不同的

顺序：ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.而将它们送给一位朋友是相同的情况，故不同的

送书方法共有夺=学誉=120（种）.

A33X2X1

19.见解析

【解析】

【分析】

【详解】

（1）当彳>1,即〃>/时，甲有必胜策略.甲可将长为人的线段分为长度分别为占，k2,

匕的3段，满足匕+玲+匕=3且％+/<24<2&,于是（%—仁）+/<勺，即

&+自+/<尢，这时乙无论将长为/的线段分成3段，除尢外，其他5条线段中长度之和小

于匕，所以其中任意两条都无法与长度为用的线段组成三角形，从而甲获胜.

（2）当Z4/时，甲将长为/的线段分成3段，长度为匕<&<&，然后乙从自己的线段上

截取长为，3的线段，使&3«/3<&+自，于是%2，%，4可组成一个三角形，这时乙手中余

下线段的长度（自+匕）=勺，于是只要将余下部分等分成2条线段，即可与勺一起组

成三角形，从而乙获胜.

20.n的最小值等于34.

【解析】

【分析】

【详解】

记5={1,2,3,…,50},4是S中能被i整除的正整数组成的集合0=1,2,3）,陶|,|阕分别

答案第8页，共11页

4，4中数的个数，由容斥原理有他7阕=阂+阔-14cAi=—+—-

L3ZXJ

=25+16-8=33.

从A?u4中任取3个数，其中至少有2个数属于4或4中同一个集合，它们不互质.

故所求”的最小值234.

2222

其次，设4={1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47},B2={2,3,5,7},

员={2x23,3x17,5x9},则耳,B2,%中共有16+4+3=23个数，于是从S内任取34个

数，其中至少有34-(50-23)=7个数属于筋4.由抽屉原理知，这7个数中至少有

-7-1'

亍+1=3个数属于用，B2,B、中同一个子集，它们两两互质.

综上所述，所求〃的最小值等于34.

21.(1)6,不是

(2)N取值为14、23、41

【解析】

【分析】

(1)根据“留守数”和“挛生数''的概念直接计算即可得出结果；

(2)根据3a+6=ll以及b的取值范围得出从而得出。可取1、2、3,然后根

据M和N是“挛生数”可得c+d取值，从而得出N.

(1)

解：•.•42x11=462,

•••42的“留守数”是6；

•.•2021x11=22231,

2021的“留守数”是2+2+3=7,

二42与2021不是“挛生数”；

(2)

解：：34+6=11(4>与且匕为0到9之间的整数，

:.h=ll-3a,BP0<ll-3a<9,

211

,即。可取1、2、3,