2021年度空间向量与立体几何知识点

立体几何空间向量知识点总结

知识网络:

空间向量基本定理

空间向量

空间向量的正交分解及坐标表示

空间向量及

其运算

----------H空间直角坐标系

空空间向量的

间运算

空间向量的线性运算，数量

向

积及其坐标表示

ft

与

立

体

几

何

知识点拨：

1、空间向量概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法平行四边形法则，三角形法则

以及有关运算律依然成立.空间向量数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向

量在空间中推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维推广.

2、当£、坂为非零向量时.=是数形结合纽带之一，这是运用空间向量

研究线线、线面、面面垂直核心，普通可以与向量运算法则、关于运算律联系来解决垂直论

证问题.

_ab

cos<a,br>-,,,

3、公式Mlq是应用空间向量求空间中各种角基本，用这个公式可以求两

异面直线所成角（但要注意两异面直线所成角与两向量夹角在取值范畴上区别），再结合平

面法向量，可以求直线与平面所成角和二面角等.

4、直线方向向量与平面法向量是用来描述空间中直线和平面相对位置重要概念，通过研

究方向向量与法向量之间关系，可以拟定直线与直线、直线与平面、平面与平面等位置关系

以及关于计算问题.

5、用空间向量判断空间中位置关系惯用办法

(1)线线平行

证明两条直线平行，只需证明两条直线方向向量是共线向量.

(2)线线垂直

证明两条直线垂直，只需证明两条直线方向向量垂直，即=

(3)线面平行

用向量证明线面平行办法重要有：

①证明直线方向向量与平面法向量垂直；

②证明可在平面内找到一种向量与直线方向向量是共线向量；

③运用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表达直线方向向量.

(4)线面垂直

用向量证明线面垂直办法重要有：

①证明直线方向向量与平面法向量平行；

②运用线面垂直鉴定定理转化为线线垂直问题.

(5)面面平行

①证明两个平面法向量平行(即是共线向量)；

②转化为线面平行、线线平行问题.

(6)面面垂直

①证明两个平面法向量互相垂直；

②转化为线面垂直、线线垂直问题.

6、运用空间向量求空间角

(1)求两异面直线所成角

a-b

cos<a,b>=

运用公式

但务必注意两异面直线所成角0范畴是呜

cos6=|cos<a,坂>|

故实质上应有:

(2)求线面角

求直线与平面所成角时，一种办法是先求出直线及射影直线方向向量，通过数量积求出

直线与平面所成角；另一种办法是借助平面法向量，先求出直线方向向量与平面法向量夹角

<1>,即可求出直线与平面所成角。，其关系是sin0=|cos<b|.

(3)求二面角

用向量法求二面角也有两种办法：一种办法是运用平面角定义，在两个面内先求出与棱

垂直两条直线相应方向向量，然后求出这两个方向向量夹角，由此可求出二面角大小；另一

种办法是转化为求二面角两个面法向量夹角，它与二面角大小相等或互补.

7、运用空间向量求空间距离

空间中各种距离普通都可以转化为求点与点、点与线、点与面距离.

(1)点与点距离

点与点之间距离就是这两点间线段长度，因而也就是这两点相应向量模.

(2)点与面距离

点面距离求解环节是：

①求出该平面一种法向量；

②求出从该点出发平面任一条斜线段相应向量；

③求出法向量与斜线段向量数量积绝对值再除以法向量模，即得规定点面距离.

备考建议：

1、空间向量引入，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决关于直线、平面

位置关系问题，应体会向量办法在研究几何图形中作用，进一步发展空间想像能力和几何直

观能力.

2、灵活选取运用向量办法与综合办法，从不同角度解决立体几何问题.

3、在解决立体几何中关于平行、垂直、夹角、距离等问题时，直线方向向量与平面法向

量有着举足轻重地位和作用，它特点是用代数办法解决立体几何问题，无需进行繁、难几何

作图和推理论证，起着从抽象到详细、化难为易作用.因而，应纯熟掌握平面法向量求法和

用法.

4、加强运算能力培养，提高运算速度和精确性.

第一讲空间向量及运算

一、空间向量关于概念

1、空间向量定义

在空间中，既有大小又有方向量叫做空间向量.注意空间向量和数量区别.数量是只有

大小而没有方向量.

2、空间向量表达办法

空间向量与平面向量同样，也可以用有向线段来表达，用有向线段长度表达向量大小，

用有向线段方向表达向量方向.若向量。相应有向线段起点是A,终点是B,则向量。可以

记为通，其模长为忖或

3、零向量

长度为零向量称为零向量，记为0.零向量方向不拟定，是任意.由于零向量这一特殊

性，在解题中一定要看清题目中所指向量是“零向量”还是“非零向量”.

4、单位向量

模长为1向量叫做单位向量.单位向量是一种惯用、重要空间向量，在后来学习中还要

经惯用到.

5、相等向量

长度相等且方向相似空间向量叫做相等向量.若向量Z与向量B相等，记为7=尻零向

量与零向量相等，任意两个相等非零向量都可以用空间中同一条有向线段来表达，并且与有

向线段起点无关.

6、相反向量

长度相等但方向相反两个向量叫做相反向量.a相反向量记为一a

二、共面向量

1、定义

平行于同一平面向量叫做共面向量.

2、共面向量定理

一一—,-»_

若两个向量8不共线，则向量P与向量a、b共面充要条件是存在实数对X、y,使

得万=江+仍。

3、空间平面表达式

空间一点P位于平面MAB内充要条件是存在有序实数对x、y使MP=xMA+yMB或

对空间任一定点0,有OP=0M+MP=OM+xMA+yMB或

OP=xOA+yOB+zOM（其中x+y+z=l这几种式子是M,A,B,P四点共面充要条件.

三、空间向量基本定理

1、定理

一一一—•

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任从来量P,存在唯一有序实数组x、y、

z,使万=总+防+z2

2、注意如下问题

(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量一种基底.

(2)由于°可视为与任意一种非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因此，三个

向量不共面，就隐含着它们都不是°。

(3)一种基底是指一种向量组，一种基向量是指基底中某一种向量，两者是有关联不

同概念.

由空间向量基本定理知，若三个向量£、加、2不共面。那么所有空间向量所构成集合

就是伊万=+而+ZC'"ZGR｝,这个集合可看做是由向量鼠鼠工生成，因此咱们

把｛"'Ac｝称为空间一种基底。2、石、工叫做基向量，空间任意三个不共面向量都可构成

空间一种基底.

3、向量坐标表达

(1)单位正交基底

如果空间一种基底三个基向量互相垂直，且长都为1,则这个基底叫做单位正交基底，

惯用表达.

(2)空间直角坐标系

在空间选定一点o和一种单位正交基底以点o为原点，分别以7、了、％方向

为正方向建立三条数轴:X轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴.则建立了一种空间直角坐标系

。一xyz,点O叫原点，向量，'、j、1都叫坐标向量.

(3)空间向量坐标

给定一种空间直角坐标系和向量3,且设7、A2为坐标向量，存在唯一有序数组(x,

y,z)使。=*+>/+2上，有序数组(x,y,z)叫做Z在空间直角坐标系O—xyz中坐标,

记为3=(*'y")。

对坐标系中任一点A,相应一种向量方，则厉=a=xi+y]+zE。在单位正交基底

i、j、]中与向量°A相应有序实数组(x,y,z),叫做点A在此空间直角坐标系中坐

标，记为A(x,y,z).

四、空间向量运算

1、空间向量加法

三角形法则(注意首尾相连)、平行四边形法则，

加法运算律：互换律a+b^b+a

结合律V>（'

2、空间向量减法及几何作法

儿何作法：在平面内任取一点0,作°A=a，03=〃，则丽=3-反即从坂终点指

向£终点向量，这就是向量减法几何意义.

3、空间向量数乘运算

（1）定义

实数丸与£积是一种向量，记为丸£,它模与方向规定如下：

①帕卜呻

②当2>（）时，2。与。同向；当％〈（）时，2。与。异向；当力=（）时.=6

注意：

①关于实数与空间向量积丸z理解：咱们可以把£模扩大（当1川>1时），也可以缩小

（HL1时），同步，咱们可以不变化向量[方向（当4>°时），也可以变化向量Z方向

（当4<0时）。.

②注意实数与向量积特殊状况，当4=。时，九3=°；当丸。。，若2=6时，有几3=0。

③注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算.例如X+Z,九-£无法运算。

（2）实数与空间向量积满足运算律

设入、口是实数，则有

%加）=（初）£（结合律）

（X+〃）a=几。+4。（第一分派律）

A[a+b]-Aa+Ab皿，-、

V）（第二分派律）

实数与向量积也叫数乘向量.

4、共线向量

（1）共线向量定义

若表达空间向量有向线段所在直线互相平行或重叠，则这些向量叫做共线向量，也叫做

平行向量。若［与五是共线向量，则记为2〃坂。

注意：零向量和空间任从来量是共线向量.

(2)共线向量定理

对空间任意两个向量％、B,Z//B充要条件是存在实数入使3=人坂

(3)空间直线向量表达式

如果直线/是通过已知点A且平行于已知非零向量2直线，那么对任一点O,点P

在直线/上充要条件是存在实数3满足等式而=砺+而，其中向量％叫做直线/方向

向量.

注意：

①若在/上取而=鼠则有而=丽+，丽,.••丽=丽+，(幅-网=(~)m+

tOB

②上式可解决三点P、A、B共线问题表达或鉴定.

1—•1—.1—.

t=-OP=-OA+-OB

③当2时，22,点P为AB中点，这是中点公式向量表达式.

_丽=」-厉+上丽

④若P分AB所成比为丸，则1+41+A

5、空间直角坐标系

在空间直角坐标系中，三条坐标轴两两互相垂直，轴方向普通这样选取：从z轴正方向

看，x轴正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴正半轴重叠。让右手拇指指向x轴正方向.食

指指向y轴正方向，如果中指指向z轴正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系。普

通状况下，建立坐标系都是右手直角坐标系.

在平面上画空间直角坐标系O-xyz时，普通使NxOy=135°,ZyOz=90°。

空间两点间距离公式是平面上两点间距离公式推广，是空间向量模长公式推广，如果懂

得儿何体上任意两点坐标.咱们就可直接套用.

设1(石，加4),鸟。2，%,22),则由段=/(马一%了+⑴一yr+Q-zJ

特别地，Pi(x,y,z)到原点距离l°PI=Jx2+y2+z2

6、空间向量数量积运算

T->TT-»-»

a-b=|a|-|bpcos<a,b>

-»—>—>—>

其中<a,b>为a与b夹角，范畴是[o,jr],注意数量积性质和运算律。

1.性质

TT->->->->

若a、b是非零向量，e是与b方向相似单位向量，。是a与e夹角，则

-»—>—>—>—>

⑴e-a=a-e=|a|cos^

->—>->—>

(2)a±ba-b=0

——>——>—>—>—>—>

(3)若a与b同向，则a-b=|a|」b|；

—>—>—>T—>—>

若a与b反向，则a-b=一|a||b|；

T->—>—>/—>—>

特别地：a・a=|a|2或|a|=Va-a

a、b的夹角，则cos6=—土上一

—>—>

(4)若0为la|-|b|

(5)la-b|<|a||b|

2.运算律

—>—>—>—>

(])结合律(4a>b=〃a・b)

T->->->

(2)互换律a-b=b-a

(3)分派律a-(b+c)=a-b+a-c

不满足消去律和结合律即：

ab=bc=Aa=c,(a-b)c不一定等于a(b-c)

【典型例题】

例1.已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD,点E、F、

G、H分别为APAB、△PBC、APCD,APDA重心。求证：E、F、G、H四点共面。

证明：分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R

YE、F、G、H分别是所在三角形重心

...M、N、Q、R为所在边中点，顺次连结MNQR所得四边形为平行四边形，且有

~》2--->—>9-»->9-)

PE=-PM,PF=-PN,PG=-PQ,PH=-PR

3333

・・・MNQR为平行四边形，则

-~-，2->2~2~，

EG=PG-PE=-PQ--PM=-MQ

2-—>2~->2——>

=-(MN+MR)=-(PN-PM)+-(PR-PM)

23f3T23f3f

=-(-PF--PE)+-(-PH--PE)

322322

-f

=EF+EH

・•・由共面向量定理得E、F、G、H四点共面。

例2.如图所示，在平行六面体ABCD-A'B'C'D中，AB=a,AD=b,AA=c,p

是CA中点，M是CD中点，N是CD中点，点Q是CA，上点，且CQ：QA'=4：1,用基底

->->f

{a，b,c}表达如下向量：

(1)AP；(2)AM；(3)AN.(4)AQ。

解：连结AC、AD'

->1—>—>1—>—>—>I—>—>1—>

AM=-(AC+AD)=-(AB+2AD+AAf)=-a+b+-c

(2)2222

->1ff

AN=—(AC+AD')

(3)2

]--->-»

=-[(AB+AD+AA')+(AD+AA1)]

1——T

=-(AB+2AD+2AA,)

[-7-

=—a+b+c

2

—>―>—>—>A—>—>

AQ=AC+CQ=AC+-(AA'-AC)

(4)5

=—AB+-AD+-AA'

=—a+-b+—c

点评：本例是空间向量基本定理推论应用.此推论旨在用分解定理拟定点位置，它对于

后来用向量办法解几何问题很有用，选定空间不共面三个向量作基向量.并用它们表达出指

定向量，是用向量解决几何问题一项基本功.

例3.已知空间四边形OABC中，ZAOB=ZBOC=ZAOC,且OA=OB=OC。M、N分别

是OA、BC中点，G是MN中点。求证：OGJ_BC。

证明：连结ON,设NAOB=/BOC=/AOC=。

又设OA=a,OB=b,OC=c,则Ia|=|b|=|c|。

OG=-(OM+ON)

又2

]1f]――

=-[-OA+-(OB+OC)]

1———

=—(a+b+c)

4

BC=c-b

->f]->T-->->

OGBC=-(a+b+c)-(c-b)

4

——―->->

=—(a•c-a•b+b•c-b2+c2-b-c)

4

i->—»—>—>

=—(|a|2cos0-1a|2cos0-\a|2+|a|2)=0

4

AOG±BC

例4.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)。

—>—»

(1)求觉得AB和AC邻边平行四边形面积；

(2)若|a|=j3,且a分别与AB、AC垂直，求向量a坐标。

解：(1)由题中条件可知

——〉

AB=(-2,-l,3),AC=(L—3,2)

―>—>AB-AC-2+3+61

/.cos<AB,AC>=

—>f714x714-2

|AB|.|AC|

-»―)V3

sin<AB,AC>=

2

->—»

・・・觉得AB、AC邻边平行四边形面积：

S=|A—B|-|A—C|-sin<A—B,A—C>=14x—V3=77r3

2

(2)设a=(x，y，z)由题意得

x2+y2+z2=3

--2x-y+3z=0

x-3y+2z=0

x=1fx=-l

"y=1或＜y=-1

解得z=1z=-l

TT

：.a=(1,1,1)或a=(-1.-L-1)

第二讲直线方向向量、平面法向量及其应用

一、直线方向向量及其应用

1、直线方向向量

直线方向向量就是指和这条直线所相应向量平行（或共线）向量，显然一条直线方向向

量可以有无数个.

2、直线方向向量应用

运用直线方向向量，可以拟定空间中直线和平面.

（1）若有直线/,点A是直线/上一点，向量［是/方向向量，在直线/上取通=2,

则对于直线/上任意一点P,一定存在实数t,使得而=/通，这样，点A和向量.不但

可以拟定/位置，还可详细表达出/上任意点.

（2）空间中平面a位置可以由a上两条相交直线拟定，若设这两条直线交于点O,它们

方向向量分别是［和P为平面a上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数

对（x，y），使得丽石，这样，点O与方向向量£、坂不但可以拟定平面a位置,

还可以详细表达出a上任意点.

二、平面法向量

1、所谓平面法向量，就是指所在直线与平面垂直向量，显然一种平面法向量也有无数个,

它们是共线向量.

2、在空间中，给定一种点A和一种向量。，那么以向量。为法向量且通过点A平面是唯

一拟定.

三、直线方向向量与平面法向量在拟定直线、平面位置关系中应用

1、若两直线/|、/2方向向量分别是为、的,则有/"MO""/4,

2、若两平面a、B法向量分别是匕、%,则有a〃8Oh〃V2,a±fJvi±v2.

若直线/方向向量是「，平面法向量是5,则有〃/aOi_L°,/±a<^u//v

四、平面法向量求法

若规定出一种平面法向量坐标，普通要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解,

普通环节如下：

1、设出平面法向量为"=（x，y，z）.

2、找出（求出）平面内两个不共线向量坐标a=（4力，仇）石=（%也,G）

n-a=O

<

3、依照法向量定义建立关于x,y,z方程组〔〃石=°

4、解方程组，取其中一种解，即得法向量

五、用向量办法证明空间中平行关系和垂直关系

（-）用向量办法证明空间中平行关系

空间中平行关系重要是指：线线平行、线面平行、面面平行.

I、线线平行

设直线人/2方向向量分别是£、鼠则要证明卬〃2,只需证明%//1，即°=彷

2、线面平行

（1）设直线/方向向量是3,平面a法向量是7,则要证明”/a,只需证明［-Li,

即a•〃=0.

（2）依照线面平行鉴定定理：“如果直线（平面外）与平面内一条直线平行，那么这

条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一种平面平行，也可以在平面内找一种向量与

已知直线方向向量是共线向量即可.

(3)依照共面向量定理可知，如果一种向量和两个不共线向量是共面向量，那么这

个向量与这两个不共线向量拟定平面必然平行，因而要证明一条直线和一种平面平行，只要

证明这条直线方向向量可以用平面内两个不共线向量线性表达即可.

3、面面平行

(1)由面面平行鉴定定理，要证明面面平行，只要转化为相应线面平行、线线平行即

可.

(2)若能求出平面a、B法向量「、v,则要证明。〃8,只需证明v

(二)用向量办法证明空间中垂直关系

空间中垂直关系重要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直.

1、线线垂直

设直线小/2方向向量分别是2、石，则要证明乙，6,只需证明々，入即7坂=0

2、线面垂直

(1)设直线/方向向量是。，平面a法向量是"，则要证/_La,只需证明。〃u

(2)依照线面垂直鉴定定理，转化为直线与平面内两条相交直线垂直.

3、面面垂直

(1)依照面面垂直鉴定定理转化为证相应线面垂直、线线垂直.

(2)证明两个平面法向量互相垂直.

六、用向量办法求空间角

(-)两条异面直线所成角

1、定义：设a、b是两条异面直线，过空间任一点0作直线"〃a，则"与〃所

夹锐角或直角叫做a与b所成角.

0<0<~

2、范畴：两异面直线所成角0取值范畴是2

\a-b\

cose=|cosel=i^*

3、向量求法：设直线a、b方向向量为2、b,其夹角为。，则有“「1

4、注意：两异面直线所成角可以通过这两条直线方向向量夹角来求得，但两者不完全相

等，当两方向向量夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成角.

（-）直线与平面所成角

1、定义：直线和平面所成角，是指直线与它在这个平面内射影所成角.

7T

0<6»<-

2、范畴：直线和平面所成角e取值范畴是2

3、向量求法：设直线/方向向量为7,平面法向量为7,直线与平面所成角为o,［与）

|a.«|

sin0=|cos（p|=，LJ,或cos。=sin°

夹角为。，则有忖M

（三）二面角

1、二面角取值范畴：1°，万1

2、二面角向量求法

（1）若AB、CD分别是二面角。一/一夕两个面内与棱/垂直异面直线，则二面角大小

就是向量而与而夹角（如图（a）所示）.

（2）设%、々是二面角二一/一万两个角a、B法向量，则向量।与“2夹角（或其补

角）就是二面角平面角大小（如图（b）所示）.

七、用向量办法求空间距离

（-）点面距离求法

如图（a）所示，BO_L平面a,垂足为0,则点B到平面a距离就是线段B0长度.若

酢网ss/ABO

AB是平面a任一条斜线段，则在Rt^BOA中,

网网cosNABO

o如果令平面a法向量为〃，考虑到法向量方向，可以得到B点到

\AB-n\

平面a距离为国;开

(a)

因而规定一种点到平面距离，可以分如下几步完毕：

I、求出该平面一种法向量.

2、找出从该点出发平面任一条斜线段相应向量.

3、求出法向量与斜线段向量数量积绝对值再除以法向量模，即可求出点到平面距离.

n—

由于Fl可以视为平面单位法向量，因此点到平面距离实质就是平面单位法向量

与从该点出发斜线段向量数量积绝对值，即"

此外，等积法也是点到面距离惯用求法.

（二）线面距、面面距均可转化为点面距离用求点面距办法进行求解。

（三）两异面直线距离求法

如图（b）所示，设/卜/2是两条异面直线，〃是人与/2公垂线段AB方向向量，又C、

CDn

d=

n\

D分别是/卜/2上任意两点，则/1与/2距离是

【典型例题】

例1.设a>、k分别是直线小/2方向向量，依照下列条件判断八与/2位置关系。

—>—>

(1)a=(2,3,—1),b=(-6,-9,3)；

—>—>

(2)a=(5,0,2),b=(o,4,0)；

—>—>

(3)a=(-2,1,4),b=(6,3,3)

->—>

解：(1)Va=(2,3,-1),b=(-6,-9,3)

11

a=——b——

/.3,?.a//b,：.ixHl2

—>—>

(2)a=(5,0,2),b=(0,4,0)

—>—>->—>

a-b=0,a_Lb,.\/|±/2

—>—>

(3)：a=(-2,1,4,),b=(6,3,3)

—>—>

.•.a与b不共线，也不垂直

."i与，2位置关系是相交或异面

—>—>

例2.设u、v分别是平面a、B法向量，依照下列条件判断a、B位置关系：

(!)u=(1,-1,2),v=(3,2,2)；

—>

(2)u=(0,3,0),v=(0,-5,0)；

—>—>

(3)u=(2,—3,4),v=(4,—2,1)。

—1>___

解：(1)Vu=(1,-1,2),v=(3,2,2)

—>—>—>—>

，u-v=0u±v/.a±p

(2),:u=(o,3,0),v=(0,-5,0)

->3———>

u=——v/.u//vallp

(3),.・u=(2,-3,4),v=(4,-2,1)

—>—>

；.u与V既不共线、也不垂直，a与B相交

点评：应纯熟掌握运用向量共线、垂直条件。

例3.已知点A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面ABC一种单位法向

量。

解：由于A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),AB=(-3,4,0),AC=

(-3,0,5)

设平面ABC法向量为n(x,y,z)

-»-»—>—>

则有n-AB=。且n-AC=0

f-3x+4y=0x_5_5

即[-3x+5z=()取z=],得x-工y-4

》—,—4

于是n=(34)

t201512

0-A/769*V769*J769

平面a单位法向量是

—>

例4.若直线l方向向量是a=(1,2,2),平面a法向量是n=(—1,3,0),试求直

线/与平面a所成角余弦值。

分析:如图所示,直线/与平面a所成角就是直线/与它在平面内射影所成角，即NABO,

乃

而在RtZ\ABO中，ZABO=2ZBAO,又NBAO可以看作是直线/与平面a垂线所成锐

角，这样/BAO就与直线/方向向量a与平面a法向量n夹角建立了联系，故可借助向量

运算求出/BAO,从而求出NABO,得到直线与平面所成角。

二|a|=3,|na-n=5

f—a-nVlO

cos<a,n>=-----------=------

若设直线/与平面a所成角是0

—>—>

则有cos。=sin<a,n>

・・・6

-♦V26

sin<a,n>=------

・・・6

.V26V26

COSu---------------

因而6,即直线/与平面a所成角余弦值等于6。

例5.如图（a）所示，在正方体ABCD-A|B|C|D|中，N分别是C£、B£|中点。

求证：（1）MN//平面A]BD；

（2）平面A]BD〃平面B[D]C

（1）证法一：如图（b）所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、

轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1,则可求得M(0,1,2),N(2,

^11

1,),D(0,0,0),A|(1,o,1),B(1,1,0),于是MN=(2,0,2)。

设平面A|BD法向量是;；(x,y,z)

Jx+z=0

则n-DA)=0月.mDB=0,得[x+y=。

取x=l,得y=~~1,z=—1,n=(1,—1,—1)

T7■!L->->

又MNn=(2,0,2)♦(1,-1,-1)=0,AMN1n

，MN〃平面A|BD

———T1.

MN=C|N-C|M=-C|B]——C|C=_(D|A]_D1D)=_DAj

证法二：2222

—>—‘

...MN//DA],...MN〃平面A|BD

1—>1—>

.f---DA--DD

证法三：・・.MN=GN_C]MII21

1->->1fT

=-(DB+BA)--(D1A1+AjD)

]-1—1—1―

=-DB+-BA——DjA,——A]D

1f1f1ff

=-DB+-DAj+-CBA-DA)

]-1—1-

=-DB+-DAI+—BD

2212

1—T

=-DA1+ODB

21

■—>—>—>—»—>—>

即MN可用DAI与DB线性表达，故MN与DA】、DB是共面向量

―>

MN〃平面AIBD,即MN〃平面AIBD。

(2)证明：由(1)求得平面A|BD法向量为n=(1,-1,-1)

—>

同理可求平面BQC法向量m=(1,-1,-1)

m//n

平面AiBD//平面BiDiC

例6.如图，在正方体ABCD-A|B|C|D|中，o为AC与BD交点，G为CG中点。求证:

AQJL平面GBD»

—>—»―»―》―»—)

证明：设A】B|=a,AR=b，A,A=c,则

—»—>—>—>—>—)

a-b=0,b•c=0,a-c=0

—>—>―>—>i->—>—>1—>―>

A,O=A,A+AO=A,A+—(AB+AD)=c+—(a+b)

而22

"—>-»—»-»—》

BD=AD—AB=b—a

Tff[—-I->

OG=OC+CG=-(AB+AD)+-CC.=-(a+b)——c

2222

->f—>i->iff

A,O-BD=(c+—a+—b)•(b-a)

.・.22

->ff]-—

=c(b-a)+—(a+b)(b-a)

2

——f-]——

=c-b-c-a+—(b2-a2)

=1(1?|2-|T|2)=0

同理A|O-OG=°

•AQ_LBD,A,O±OG

又BDnOG=O,AQJ^GBD。

例7.(天津)如图(a)所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PDL

底面ABCD,PD=DC,E是PC中点。

(1)证明：PA〃平面EDB；

(2)求EB与底面ABCD所成角正切值。

（1）证明：如图（b）所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点

(b)

设DC=a,连结AC,AC交BD于G,连结EG

aa

依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,2,2)

•.•底面ABCD是正方形

.••G是此正方形中心

aa

故点G坐标为（5,5,0）

-一三」

/.PA=(a,0,—a),EG=(2,0,2)

—>—)

：.PA=2EG,这表白PA//EG

而EGu平面EDB,且PA0平面EDB

；.PA//平面EDB

(2)解：依题意得B(a,a,0),C(0,a,0)

a

如图（b）取DC中点F（0,2,0）,连结EF、BF

-9fa-

FE=(0,0,2),FB=(a,2,0),DC=(0,a,0)

f->ff

AFE-FB=0,FE-DC=()

AFE1FB,FElDCc

Ta

=|FE|二万二十

t后5

IFB|-a

AtanZEBF2

，EB与底面ABCD所成角正切值为5

例8.正方体ABCD-A|BCD|中，E、F分别是AQi、A©中点,求:

（1）异面直线AE与CF所成角余弦值;

（2）二面角C—AE—