北京市石景山区2022届高三年级上册期末数学试题解析高中数学

石景山区2021-2022学年第一学期高三期末试卷

数学

本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效，考试结束后上交答题卡.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.设集合4=3卜2<x<4},B={2,3,4,5},则AQ8=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

【答案】B

【解析】

【分析】利用交集的定义可求AD8.

【详解】由题设有Ac8={2,3},

故选：B.

2.已知i为虚数单位，若(2+i)z=i,则复数z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断.

【详解】因为(2+i)z=i,

一ii(i2(-2i-)i)12.

所以z==-----=—I—i

m2+i(2+i)(2-i)55

所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限，

故选：A

3.设函数/(x)=V-二厕f(x)()

X'

A.是奇函数，且在(0,铀0)单调递增B.是奇函数，且在(0,+oo)单调递减

C.是偶函数，且在(0,+8)单调递增D.是偶函数，且在(0,+8)单调递减

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为｛X|XHO｝,利用定义可得出函数/(x)为奇函数,

再根据函数的单调性法则，即可解出.

【详解】因为函数/(x)=%3-=定义域为｛中H。｝,其关于原点对称，而“T)=―/(X)，

所以函数”X)为奇函数.

又因为函数y=》3在(0,+?)上单调递增，在(-?,0)上单调递增，

而丁=5=尤-3在(o,+?)上单调递减，在「？，0)上单调递减，

所以函数/(x)=%3-5在(0,+?)上单调递增，在(-?,0)上单调递增.

故选：A.

【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题.

4.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为()

11

--

63

A.

012

--

23

【分析】求出所有的排列方式，得出两本数学书相邻的情况，即可求出概率.

【详解】解析：两本不同的数学书用S，痣表示，语文书用6表示.

则所有的排列方式有3,02,b),(a\,h,42),(S,a\,b),⑸b,a\),(b,at,az),(b,ai,a。共6

种.

49

其中两本数学书相邻的情况有4利故所求概率为二=

63

故选：D.

5.记S“为等差数列｛4｝的前〃项和，若§2=3,S4=18,则S6=()

A.36B.45C.63D.75

【答案】B

【解析】

【分析】由等差数列的前〃项和性质可得52,54-52,56-54成等差数列，进而可得结果.

【详解】因为s“为等差数列｛4｝的前〃项和,

所以S?,S’—$2,§6-S4成等差数列，即3,15,S6-18成等差数列，

所以3+(邑—18)=30,解得S$=45,

故选：B.

6.某学校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自

习时间的范围是17.5,30],样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,

30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是

A.56B.60C.140D.120

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(016+0.08+0.04)X2.5=0.7,故自习时

间不少于22.5小时的人数为0.7x200=140,故选C.

考点：频率分布直方图及其应用.

7.若0<c<l.贝iJ()

bacc

A.c<cB.log,.«>log(.ZJC.a<bD.logflc>logfcc

【答案】D

【解析】

【分析】利用指数函数、对数函数、基函数的单调性即可得出结果.

【详解】对于A,当0<。<1时，y=c,单调递减，所以由可得故A错误；

对于B,当0<。<1时，y=log,x单调递减，所以由可得log/vlogcZ?,故B错误;

对于c,当o<c<i时，丁=/在（0,+。）单调递增，由。>人>1可得/>//,故c错误；

对于D,当0<。<1时，y=log,.x单调递减，所以由&>6>1可得log,.a<log,8<0,

11

则'^----->------，即log.C>log%c,故D正确

10gc.alog涉

故选：D.

8.在△ABC中，若2/?8$3=400$。+。（0$24,则3=（）

兀C冗C冗c2万

A.-B.—C.—D.—

6433

【答案】C

【解析】

【分析】通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式可得COSB=L,进而可得结果.

2

【详解】因为277cos5=acosC+ccosA,

由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCeosA=sin（A+C）=sinB,

1jr

由于0<3（乃，即sinBwO,所以cosB=—,得5=—,

23

故选：C.

9.设｛4｝是首项为一i的等比数列，公比为q,则"q<o’'是“对任意的正整数〃，的

（）

A充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由等比数列通项公式得到4,1+0“>。的变形式，转化成关于公比q的不等式，解得夕的

取值范围，进而可以顺利判定二者的关系.

【详解】数列仅“｝是首项为-1的等比数列，公比为q

则«2„-1+4"=-q"2-q2n-'=-q2'"2（1+q）

当q<0时1+4的值正负均可以出现，不能判定符号，即不能推出出,1+4“>0

当生,1+4“>0即一/"2（1+夕）〉0时，可以得到。<一1,则夕<°成立•

则“q<0”是“对任意的正整数〃，4,1+4">0”的必要不充分条件，选项B正确.

故选：B

10.如图，正方体—的棱长为1，线段BQ上有两个动点E,尸，且给出下列三

个结论：

①ACL3E

②AAEF的面积与ABEF的面积相等

③三棱锥A-BEF的体积为定值

其中，所有正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】证明AC，面50。瓦可判断①；计算△AEF和AMF的面积可判断②，计算三棱锥A—巫尸

的体积可判断③，进而可得正确答案.

【详解】对于①：连接80,因为四边形ABCD是正方形，所以ACL8。，因为，面A8CD,

ACu面A8CD,所以Bq_LAC,因为BDcBB】=B,所以AC_L面因为BEu面

BDD]B],所以AC_L6E,故①正确；

对于②：连接A"和AB—则AA4A是边长为正的等边三角形，所以点A到边瓦。的距离为

V2-cos300=—,所以点A到边石厂的距离为立，所以△AEF'的面积为逅=理，因为

222228

BB11面AB£R,EEu面ASGA，可得BBX±EF,

所以所的面积为Lx’xl='，所以AAEF的面积与△BEF的面积不相等，故②不正确；

224

对于③：因为AC，面所以点A到面的距离为所以三棱锥A—3EF的

22

体积为J_.S=交，所以三棱锥A—BE尸的体积为定值，故③正确;

3A234224

故选：C.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知向量。=（2,5）,5=（44）,若q〃b，则4=.

Q

【答案】I

【解析】

【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于；I的方程，解方程即可求得实数％的值.

【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4—4x5=0,

Q

解方程可得：A=-.

Q

故答案为：—.

22

12.双曲线C：二-2-=1的焦点坐标为，渐近线方程为.

412

【答案】①.（±4,0）②.y=士显

【解析】

【分析】根据双曲线的焦点坐标公式和渐近线方程即可直接求出答案.

【详解】因为"=4,。2=12,所以/="+〃=16,

又因为双曲线的焦点在x轴上,

22K_

所以双曲线C:三一匕=1的焦点坐标为(±4,0),渐近线方程为y=±一x=±Jix，即y=

412a

故答案为：(±4,。)；y=+\[3x.

13.设函数/(x)=,，则使得〃x)W2成立的x的取值范围是.

1

【答案】(-8,4]

【解析】

【分析】分X<1和xNl两种情况讨论从而解不等式/(x)K2即可.

【详解】当x<l时，由/(x)<2,得2142,所以又因为x<l，所以x<l；

当xNl时，由/(x)W2,得XT«2,所以又因为X»1,所以1WXW4.

所以满足成立的x的取值范围为(-oo,4].

故答案为：(一0°,4].

14.若点尸(8$。,而。)关于工轴的对称点为2卜0$,+1卜也/+三]，则8的一个取值为.

【答案】(答案不唯一)

6

【解析】

cos夕+―=cos3

【分析】根据P,。两点关于％轴的对称，可得出():，从而可求出。的值.

sin[6+。)=-sin6

【详解】因为点2((^氏而仍关于工轴的对称点为4^^^+^)杰南也+方

cos0^—=cos。—cos/9+—^-sin^=0

I3J22(Ji\

所以《即《,所以sin|6+—=0,

sinf+yj=-sin^I6)

-sin6»+—cos0^0

122

jrTT

所以6+—=ki,keZ,即。=+k兀,kwZ.

66

故答案为：-9(答案不唯一).

6

15.数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r的小圆在一个半径为4r的大圆内部，小圆

沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图，已知r=l，起始位置时大圆与

小圆的交点为A（A点为x轴正半轴上的点），滚动过程中A点形成的轨迹记为星形线C.有如下结论：

①曲线。上任意两点间距离的最大值为8；

②曲线。：|x|+|y|=4的周长大于曲线。的周长；

③曲线。与圆/+尸=4有且仅有4个公共点.

其中正确的序号为.

【答案】①©

【解析】

X=X+cos0

【分析】由题意知星形线C任意点（X,y）满足+sing，。为参数，其中一34%，％43,即

-4<x<4,-4<y<4,从而可判断①；分析曲线。的图像，与星形线图像对比可知②；求出星形线与

直线）=%的交点（J2,夜）,（一五0），知曲线c与圆相切，可判断③；

【详解】由已知可知小圆与大圆是内切的关系，设小圆的圆心为（不）,%）,

则小圆的圆心轨迹为以（0,0）为圆心，半径为3的圆，即x；+%2=9

/、fx=x+cos^

设星形线C任意点（x,y）,则［n+sine，。为参数，其中一3WXo，%W3

可知星形线C任意点（x,y）,满足-4WxW4,-4<y<4

对于①，星形线C上左右两个端点（4,0）,（T,0）或上下两个端点（0,T）,（0,4）的距离最远，等于8,

故①正确;

对于②，曲线3：|x|+|y|=4为过点A(4,0),8(0,4),C(y0),O(0,T)的正方形，

而星形线与坐标轴的交点也是这四个点，由两点之间线段最短，可知曲线。：|x|+|y|=4的周长小于曲线。

的周长，故②错误；

V2

x=±----+——

22

对于③,星形线与直线＞'=》的交点为，,fip^>/2,>/2V2,—^2j

y=±----+—

22

它们到原点的距离为J(⑸+(可=2与圆/+丁=4的半径相等,

所以曲线。与圆相切，即有且仅有4个公共点，故③正确;

故答案为：①③

【点睛】关键点点睛：本题考查两个圆的内切关系求轨迹，解题的关键是理解星形线的定义，求出对应点

满足的条件，再分析选项，考查学生的分析审题能力，属于难题.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数g(x)=sin卜一套,〃(x)=cosx,从条件①/(x)=g(x)-〃(x)、条件②

/(X)=g(x)+h(x)这两个条件中选择一个作为已知，求:

(1)八幻的最小正周期；

71

(2)/1)在区间0,-上的最小值.

【答案】(1)选条件①乃；选条件②2〃

(2)选条件①一［；选条件②!

22

【解析】

【分析1选条件①：/(x)=g(x)•〃(幻；

1TT1

(I)利用两角和与差的正弦公式化简可得/(X)=-sin(2x--)--,

264

由周期公式可得答案；

(2)根据x的范围求得sin(2x-的范围可得答案；

选条件②：/(x)=g(x)+〃(x).

(1)利用两角和与差的正弦公式化简可得/(x)=sin(x+,

I

由周期公式可得答案；

(乃、

(2)根据x的范围求得sinx+：的范围可得答案.

16；

【小问1详解】

选条件①:/(X)=g(x)•h(x)；

(兀、力.11.1

(1)/(x)=sin^x--jcosx=—smx--cosxcosx=——sinxcosx——cos"2x

22yl22

61.c11+cos2x

=——x—sm2x——x--------

2222

73..1.1

=—sin2x—cos2x—

444

=—sinf2x--,

2I6)4

所以/(x)的最小正周期是》.

选条件②：/(x)=g(x)+〃(x).

/(x)=sin[x-看)+cosx=.1)

sinx——2cosxJ+cosx

V3.1

=——sinx+—cosx

22

所以/(X)最小正周期是2乃.

【小问2详解】

选条件①:y（x）=g（x）・〃（x）；

TT

因为0Wx4—,

2

兀c71571

所以——2x---<,

666

所以一，郎皿(2%—3151，

TTTT]

当2x---=---，即x=0时，f(x)有最小值—.

662

选条件②：/(x)=g(x)+〃(x).

TT

因为OWxW—,

2

by兀427

所以二^X+7'，

663

1(

所以ssinx+—<1，

72rI6j

jrjrI

当x+2=2,即x=O时，/(x)有最小值上.

662

TT

17.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABC。为直角梯形，ZDAB=ZADC=-,侧面P4D为直角三

2

（1）求证：CD〃平面RW；

（2）求证：PA_L平面ABCZ）；

（3）若AB=3,PD=4,CD=AD=2,判断在线段尸。上是否存在一点〃，使得直线A"与平面

兀

尸6C所成角的大小为一.

4

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析(3)存在，理由见解析.

【解析】

【分析】(1)由条件得到AB//CD即可；

(2)由条件可得即可证明；

(3)以点A为坐标原点，分别以A3,4),AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-型，算出平

面P8C的法向量，设丽7=4而(0W/IW1),然后可得疝'=82-242^/1),然后可建立方程求

解.

【小问1详解】

TT

因为四棱锥尸一ABC。中，NDAB=NADC=巴,

2

所以A5〃C£)，

因为A8u平面PAB,CO.平面

所以CO〃平面Q48.

【小问2详解】

因为平面P4O,PAu平面PAD,所以C£)_LQ4,

jr

又因为NPAD=一，所以ACQ4，

2

因为CD,AOu平面ABC。，CDcAD=D,

所以平面AB8.

【小问3详解】

存在，当M为线段PO中点时，理由如下：

由(2)可知，因PAA.平面ABC。，ABu平面ABC。，

所以ABLB4,

又49LQ4，AB±AD，

如图以点A为坐标原点，分别以AB,AO,AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A一肛z,

则4(0,0,0),8(3,0,0),。⑵2,0),£>(0,2,0),P(0,0,2码.

设平面P8C的法向量为4=(x,y,z),

z

\n*BC—0[—x+2y=0,

由〈_____.得r

[n•PB-03x_2>/3z=0.

令z=也,所以"=（2,1,6）.

设加?=/!_研0WXW1）,

则M（0,2—2；l,2®l）,

所以布7=（0,2-22,）,

直线AM与平面P8C所成角为6,

所以向£小网林留=厂产2

1'71河272-7162^-82+42

解得4=,，符合题意，

2

TC

所以当M为线段PO中点时，直线AM与平面PBC所成角的大小为一.

4

18.某校组织“创建文明城区”知识竞赛，有A,B两类问题，每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一

类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问

题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，比赛结束.A类问题回答正确得10分，否则得0分；

5类问题回答正确得30分，否则得0分.已知小明同学能正确回答A类中的每一个问题的概率均为0.8,

能正确回答5类中的每一个问题的概率均为0.5,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【答案】（1）分布列见解析

（2）A类问题，理由见解析

【解析】

【分析】（1）得分情况有三种可能性，第一个问题错误，0分，第一个问题正确，第二个错误，10分，两

个问题都正确，40分，分别求出对应的概率即可

（2）将两种情况分别进行计算，比较大小即可得出结论

【小问1详解】

由题可知，X的所有可能取值为0，10，40.

P（X=0）=1—0.8=0.2：P（X=10）=0.8x（1-0.5）=0.4；尸（X=40）=0.8x06=0.4.

所以X的分布列为

X01040

P0.20.40.4

【小问2详解】由（1）知，若小明先回答A问题，则E（X）=0X0.2+10X0.4+40X0.4=20.

若小明先回答8问题，记y为小明累计得分，则y的所有可能取值为0,30,40.

p（y=O）=l-O.5=O.5;P（y=30）=0.5x（l-0.8）=0.1；P（X=40）=0.5x0.8=04,

所以E（y）=0x0.5+30x0.1+40x0.4=19.

因为19<20,所以小明应选择先回答A类问题.

22

19.已知椭圆。：三+==13>〃>0）,。为坐标原点，右焦点坐标为尸（、后,0）,椭圆C离心率为

V6

3

（1）求椭圆。的方程；

（2）椭圆C在>轴上的两个顶点为4,8,点p满足丽.丽=0,直线PE交椭圆于M,N两点，且

|MN|=G，求此时NOPF的大小.

【答案】（1）—+/=1

3

（2）NOPF=90。

【解析】

【分析】（1）利用椭圆的焦点坐标及椭圆的离心率可求解；

（2）分析可知直线PE斜率存在，设为y=k（x-亚），联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理弦长公式

可知直线P/的方程为>=±（X-0）,再利用福.丽=0,知点P在以原点为圆心，半径为1的圆上，

利用点到直线的距离公式可判断直线与圆的位置关系，进而求解.

【小问1详解】

因为右焦点为F（0，o），所以C=及，

因为离心率e=£=^^，所以。="\/^,b1—a2—c2-3—2-1＞

a3

2

所以椭圆C的方程为x二+y2=].

3

【小问2详解】

当直线尸尸垂直于x轴时，|MN|=±，H百（舍）.

当直线尸尸不垂直于X轴时.，设直线PF的方程为y=人卜一血卜

y=k（x-6）,

由＜2整理得（1+3女2卜2—6\/5左2%+6女2—3=0,

—+y2=1,

I3

设,y）,N（X2，%），由题意△＞（）恒成立，

6k2-3

所以内+*2=:呼2'玉々1+3&2

2

利用弦长公式知\MN\=yj]+k|x,-x2\=Jl+Z?J（X]+/）--4AM

所以直线Pb的方程为丁=±1一0）.

因为A,6为椭圆C在y轴上的两个顶点，不妨设A（O,1）,B（O,-1）,

因为A户8户=0，设P（〃2，〃），

所以卜〃，/一1＞（加,"+1）=0,即〃，+〃2=1，

即点P在以原点为圆心，半径为1的圆上.

因为原点到直线PE的距离△

所以直线PF与圆机〃2=1相切，

所以NOPE=90'.

20.已知函数/(刈=三1±士

er

(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程；

(2)当。〉0时，求/(X)的单调区间；

(3)求证：当。与一1时，/U)>-e.

【答案】(1)y=2x-i.

(2)答案见解析(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求导，由导数的几何意义求出切线方程；

(2)求出尸。)="坐二义，分0<。<:、。=！、a>~,讨论y=/(x)的单调性可得答案；

ex222

(3)当aW-1时，令/'(x)=0,得x=L或x=2,/(x)取得极小值__°T，

-e「：e[—e,l)，由极小值定义及/(幻的单调性可知：当x<2时，/(x)N-e；

x22时，设g(x)=—a?+x—l,(x22,由二次函数的性质可知g(x)>g(2)>0恒成立，可得答

案.

【小问1详解】

,,、(_«x2+^-l)-e'-^-<zx2+x-lj-(eA)ax2-(2a+l)x+2(ar-l)(x-2)

f(X尸'

因为尸(0)=2,./"(())=-1,

所以曲线y=/(x)在点处的切线方程为y=2x-l.

【小问2详解】

由(1)知：/(力=(以―1)产―2),JwR),

因为。>0,令/'(x)=0,所以x=—或x=2,

a

当0<a<—时，一>2,

2a

则X,f'(x),/(X)的变化情况如下表:

1

X（一双2）2

fW+0—0+

极大极小

/（X）//

值值

当”:时‘92’贝I”'⑺对恒成立'/.⑴在R内恒增;

当时，0＜工＜2,则x,/'（x）,/（x）的变化情况如下表:

2a

工

X2(2,+8)

a

/（X）+0—04-

极大极小

/㈤//

值值

综上，当0＜“＜：时，单调递增区间是（一口2）和[：,+“），单调递减区间是12,（

当时，单调递增区间是（一。,+。），无单调递减区间;

2

当a＞g时，单调递增区间是（一和（2,+e）,单调递减是2

【小问3详解】

当aW—1时.，令/'（x）=0,得％=，或*=2,易知，€[—1Q）,

aa

则％r（x）,/（幻的变化情况如下表:

11,2)

X2(2,+8)

)

f'M—0+0—

极小极大

/㈤/

值值

所以当无=工时，/(X)取得极小值/(，]二-‘r=—e",

a\aje；

11_1_1

由于1,则一£1一1,0),—e(0,1],e“£(l,e],-eaG[-C,1),

所以由极小值定义及/(X)的单调性可知：当X<2时，/(x)>-e,

接下来，研究/(x)在2的变化情况，

因为e*>0恒成立，T&g(x)=-ax2+x-L(x>2,a<-l),

对称轴x=——<0,A=l-4cz>0,抛物线开口向上，g(2)=l-4a>0,

2a

所以由二次函数的性质可知：当2时，g(x)>g(2)>0恒成立，

所以/(x)>0在x»2时恒成立.

综上所