对应思想在解决问题中的应用

对应思想在解决问题中的应用郭宝珠对应思想是在两个事物之间建立起来的一种关系〔或者说某种规律〕，即对应关系，从而揭示事物之间的联系.许多具体的数学思想来源于对应思想，如：数形结合思想、函数思想、变换思想等.小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此蕴含函数思想.对应思想是解决数学问题的一种根本思路，它通过两种事物的合集最终建立起某种联系的思维方法，通过这些思维方法搭建了解题的思维桥梁.所以人们经常用对应思想来分析、解决一些实际问题.教学中不仅要求我们能通过思考与探索发现这些事物间的对应关系，并且能运用这些对应关系解决根本的数学问题.一、第一学段，感悟体会，做好预备与铺垫小学数学教材中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想.在第一学段，教师要正确理解蕴藏于教材中的“对应思想〞，为学生提供丰富的数学活动，从简单的“一一对应〞关系开始，让对应思想点点滴滴渗透到学生的学习中去，为逐步开展学生解决数学问题的能力做好预备与铺垫.如：人教版一年级上册关于“多〞“少〞的教学.先让学生观察6～7页主题图〔或多媒体课件〕，同桌互相说说图意，然后教师问：“图中有几只小兔？〞“每只小兔搬几块砖？〞根据学生的答复，在主题图下出示4只小兔.逐一将4块砖与小兔一一对应，每对应一块砖都用小圆点把小兔和砖连起来，表示一只兔子搬一块砖.师：看，1只兔子搬1块砖，正好都对上，没有多余的，我们就说小兔的只数和砖的块数同样多〔板书：同样多〕.教材中用虚线上下连接来强化“对应〞，这是教材对“一一对应〞思想的渗透.〔如图〕又如：一年级上册P89例1：9+4.如果仅仅只是为了计算，那么教学的设计是：引导学生先思考9凑成十还缺几〔缺1〕，然后把4拆成1+3，最后得出13.从计算的角度看完成了本节课的教学目标，但进一步思考似乎还缺些什么，在这节课中，能否让学生在积累数学活动经验的同时渗透对应思想呢？是的，可以通过数轴，建立数与点的一一对应关系，要求学生由点找数，由数找点，然后运算.如下列图：引导学生观察思考：得数是13，我们是怎样得到它的？〔先在数轴上找到9，接着往后数4就得到了13〕13离数轴上“0〞点的距离有多远？它与“10〞的关系是什么？从数轴上能十分清晰地看出.这一环节的教学，教师将加法运算直观形象化，让学生初步感知加法运算的意义.“加法〞就是在数轴上继续向右“数〞，或者是向右平移假设干个单位.二、第二学段，自觉应用，解决问题在第二学段的教学中，教师在渗透对应思想的同时，还应逐步培养学生对应意识，使学生能用对应思想方法解决实际问题，逐步学会数学思维，提高解决问题的能力.1.在数与代数中，应用“对应思想〞发现问题、分析问题、解决问题当遇到较为复杂的问题时，常常需要通过“对应〞的方法化繁为简、化难为易；当遇到较为隐蔽的问题时常常需要找出对应关系，化隐蔽为明晰，变未知为，使问题得以解决.如：“买3个篮球和4个排球需要480元，买3个篮球和6个排球需要600元，买一个篮球和一个排球需要多少元？〞由于条件较多，学生解答往往会觉得较困难，如果学生学会把条件和问题对应摘录在练习本上，或是把题目中的条件对应地列成表格，如下：学生对以上对应的数量进行分析，就会很快地看出2个排球是120元，这样便轻而易举地解决了问题.又如：“植树问题〞〔人教版小学数学四年级下册〕这节课的教学，许多教师都遇到这样的困惑：总结出三种不同情况的规律后，在进行综合练习时，学生却常常分不清是用“棵数加1〞、还是“棵数减1〞或者“不加不减〞.究其原因，主要是教师在教学过程中只注重引导学生通过操作探究得出结论，而没有挖掘知识之间内在的联系，导致学生只是机械地记住结论，因此在进行综合练习时产生了困惑，造成了混淆.如果能引导学生找到规律背后隐藏的数学思想——对应思想，并用这种思想指导教学，会收到事半功倍的效果.片段教学如下：师：同样求棵数，为什么有时要加1，有时要减1，有时却不加不减？你们能结合图说说看法吗？〔根据学生的答复，教师用箭号把一棵树与一个间隔数一一对应〕师：现在我们借助电脑来看一遍，在一条路上植树，如果两端都种，我们可以这么看，也就是一棵树对应一个间隔，到最后一棵树的时候，会怎么样？〔少了个间隔和它对应了〕可见树的棵数比间隔数多1.师：我们反过来再看看，也是一棵树对应一个间隔，到〔最后一棵树的时候怎么样？〕生：也少了个间隔和它对应了.师：所以在两端都栽的情况下，棵树比间隔数多1.也就是，间隔数+1=棵数.这一教学过程让学生利用直观画解释“棵数〞与“间隔数〞之间的关系，巧妙地渗透“一一对应〞的数学思想，沟通知识间的内在联系，使学生能够理解知识之间内在的联系，并灵活地运用植树问题的数学模型解决生活中的植树问题.分数应用问题的教学，是小学阶段解决问题中较为抽象的内容，也是教学的难点.教学中假设能把“数形结合〞与“对应思想〞相结合，这一问题便迎刃而解.让学生通过线段图，发现具体量与分率之间的一一对应关系，并利用量与率的对应关系来确定解题策略，寻找解题方法.2.在图形与几何中，利用对应思想推导公式、建立数学模型、开展数学思考在第二学段研究的平行四边形、三角形、梯形、圆，这些平面图形面积公式的推导均采用让学生动手实验，先将图形转化为已经学过的图形，然后探索转化后的图形与原来图形的联系〔即转化后的图形与原来图形的对应关系〕，发现新图形的面积计算公式这样一个过程.如平行四边形面积公式的推导过程：当学生把平行四边形转化成长方形后，教师引导学生观察转化前后的两种图形，发现其中多处表达了对应关系，“长方形面积〞与“平行四边形面积〞相对应，“长方形的长〞与“平行四边形的底〞相对应，“长方形的宽〞与“平行四边形的高〞相对应.在这些对应关系的根底上，平行四边形的面积公式才顺利推导而出.其次，在利用公式计算面积或体积时也要强调对应.如在“三角形的面积计算〞教学中，先要求学生能熟练地寻找每条底边，以及与这条底边对应的高.当学生学会三角形面积计算时，教师可以利用图形的动态变换，如三角形的面积中，同底等高的三角形有无数多个.这就使学生理解一个面积的数量，对应了无数多个图形.又如〔六年级上〕学习用“数对〞表示“位置〞时，教师将座位平面图抽象为比拟形象的直角坐标系，建立“数对〞与平面上“点〞之间的一一对应关系.在这一过程中让学生初步体验到，有