专题6.4 多边形的内角和与外角和（学生版）

专题6.4多边形的内角和与外角和1.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，并应用他们解决基本的几何问题；知识点01多边形的内角和与外角和【知识点】1）多边形定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2）相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角.多边形的外角和：多边形的外角和为360°．对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为．【知识拓展1】多边形的内角和例1．（2023春·北京昌平·八年级校联考期中）下列多边形中，内角和为的是（

）A． B． C． D．【即学即练】1．（2023春·湖南怀化·八年级统考期中）十边形的内角和是（

）A．1440° B．1260° C．1080°

D．900°【知识拓展2】多边形的外角和例2．（2023·江苏苏州·七年级统考期中）若一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【即学即练】1．（2023·北京房山·统考一模）如图是由射线，，，，，组成的平面图形，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2023·北京通州·统考一模）正七边形的外角和是（

）A．900° B．700° C．360° D．180°【知识拓展3】多边形的内（外）角和综合例3．（2023春·江苏·七年级期末）若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角是（

）A． B． C． D．【即学即练】1．（2023·云南昆明·统考一模）一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是（

）A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．十边形2．（2023春·全国·八年级专题练习）如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为，那么它的一个内角等于（

）A． B． C． D．【知识拓展4】多边形的截角问题例4．（2023春·江苏·七年级校考周测）将一个多边形截去一个角后，得到一个新的多边形的内角和为，则原来多边形的边数为___________．（用阿拉伯数字表示）【即学即练】1．（2023春·上海·八年级专题练习）在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是_____________．2．（2023春·全国·八年级专题练习）解决多边形问题：(1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？(2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是，这个多边形是几边形？【知识拓展5】多边形的对角线例5．（2023春·广东·九年级专题练习）已知一个正多边形的每个外角的度数都是，则该多边形的对角线条数为（）A． B． C． D．【即学即练】1．（2022秋·河南·八年级校考阶段练习）一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多，求这个多边形的边数？并求出该多边形共可以引出几条对角线？2．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）若过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，边形一共有条对角线，正边形的内角和与外角和相等，求代数式的值．题组A基础过关练1．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，若干个一模一样的正六边形（各边相等，各角也相等）排成环状．图中所示的是前3个六边形，要完成这一圆环，还需这样的六边形的数量为（

）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个2．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，在正六边形中，以为边向内作正方形，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．3．（2023·贵州黔南·统考一模）如图，边长相等的正五边形、正六边形的一边重合，则的度数为（

）A． B． C． D．4．（2023春·北京丰台·九年级校考阶段练习）如图，在同一平面内，将边长相等的正三角形、正五边形的一边重合，则（

）A． B． C． D．5．（2023·四川成都·模拟预测）永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省太原市现存的古建筑中最高的建筑，十三层均为正八边形楼阁式空心砖塔，如图1所示．如图2所示的正八边形是双塔其中一层的平面示意图，则其每个内角的度数为（

）A． B． C． D．6．（2023·广东佛山·统考模拟预测）正十边形的外角和是（）A． B． C． D．7．（2022秋·江西宜春·八年级校考阶段练习）正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（

）A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形8．（2023年河北省石家庄市中考一模数学试卷）如图1，将两条重合的线段绕一个公共端点沿逆时针和顺时针方向分别旋转，旋转角为，所得的两条新线段夹角为，以为内角，以图中线段为边作两个正多边形，正多边形边数为n．如图2，当时，得到两个正六边形．边数n456…旋转角90°108°120°…夹角180°m120°…（1）用含的代数式表示，__________；（2）边数n，旋转角，夹角的部分对应值如表格所示，其中__________；（3）若，则n的最小值是__________．9．（2023春·江苏·七年级期末）一个多边形的内角和与它的外角和之比为，则这个多边形的边数是_______．10．（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）如果一个多边形的内角都相等，且内角是外角的3倍，则这个多边形的边数为________．11．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为_____．12．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）若n边形的内角和是，求n的值；（2）若n边形的外角都相等，且内角与相邻外角的度数之比为，求n的值13．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）某同学采用把多边形内角逐个相加的方法计算多边形的内角和，求得一个多边形的内角和为，当他发现错了以后，重新检查，发现少加了一个内角．请问：漏加的这个内角是多少度？他求的这个多边形的边数是多少？题组B能力提升练1．（2023·江西·模拟预测）如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（2023春·江西景德镇·九年级景德镇一中校考阶段练习）我们知道：五边形具有不稳定性，小文将正五边形沿箭头方向向右推，使点B在线段AC上，若，则（

）A．减小了 B．增加了 C．减少了 D．增加了3．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模）如图，五边形中，，、、是外角，则等于（

）A． B． C． D．4．（2023春·河北石家庄·八年级石家庄二十三中校考阶段练习）如图，将矩形沿着裁剪得到一个四边形和一个三角形，设四边形的外角和与的外角和分别为，则（

）A． B． C． D．无法比较与5．（2023春·上海·八年级期中）一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是__．6．（2023·江苏扬州·统考一模）若在同一平面内将边长相等的正五边形徽章和正六边形模具按如图所示的位置摆放，连接并延长至点，则______．7．（2023·北京海淀·统考一模）如图，点在正六边形的边上运动．若，写出一个符合条件的的值_________．8．（2023春·江苏·七年级期中）如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处．根据以上信息，解答下列问题：(1)n的值为_________．(2)小明走出的这n边形的周长为__________米．(3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的每一个内角的度数．9．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）看图回答问题：(1)内角和为2014°，小明为什么说不可能？(2)小华求的是几边形的内角和？10．（2023春·江苏·七年级期中）一个多边形如果内角都相等，并且满足其一个内角的度数是其相对应外角度数的整数倍，就称这个多边形为“整数多边形”，已知一个“整数多边形”一个内角的度数是其相对应外角度数的5倍，求这个“整数多边形”的边数．题组C培优拔尖练1．（2023秋·八年级课时练习）如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（2023春·上海·八年级专题练习）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原多边形纸片的边数不可能是（

）A． B． C． D．3．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，等于（

）A． B． C． D．4．（2023春·江苏泰州·九年级统考阶段练习）一个正多边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的5倍，则该正多边形的边数为______．5．（2023春·江苏苏州·七年级统考期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案．若，则______°．6．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则______．7．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，正十边形与正方形共边，延长正方形的一边与正十边形的一边交于点，则_______.8．（2022·全国·八年级专题练习）阅读材料：解决问题：（1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系．小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整．证明：连接AD并延长AD到点E．联系拓广：（2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)．请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为°；②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为°．9．（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）【阅读•领会】怎样判断两条直线否平行？如图①，很难看出直线a、b是否平行，可添加“第三条线”（截线c），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c为“辅助线”．在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．【实践•体悟】(1)计算：，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．(2)如图②，已知，求证：，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．(3)【创造•突破】如图③，，，，我们把大于平角的角称为“优角”，若优角，则优角______．10．（2023春·上海·七年级专题练习）(1)如图1，