专题02 二次函数（难点）（解析版）

专题02二次函数（难点）一、单选题1．对于关于x的函数，下列说法错误的是(

)A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时，【答案】C【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可．【解析】、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意；、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意；、当时，该函数为正比例函数，故符合题意；、当该函数为二次函数时，，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．2．抛物线与轴交于A，两点，点A在点左侧，且，为轴正半轴上一点，抛物线与轴交于点，点C和点关于轴对称．当抛物线在直线的上方时，的取值范围是（

）A．或 B． C．或 D．【答案】A【分析】先求解抛物线为：，直线为，再求解两个函数图象的交点坐标，再结合函数图象可得答案．【解析】解：∵，∴，∵为轴正半轴上一点，抛物线与轴交于点，点C和点关于轴对称．∴D在负半轴，∴，，∴抛物线为：，当时，，∴，∴，设直线为，∴，解得，∴直线为，∴，解得或，∴直线与抛物线的另一个交点，当抛物线在直线的上方时，的取值范围是或；故选A．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．3．已知抛物线过点，其中，以下结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，从而可得点B为顶点，由抛物线开口向上可判断A，B选项，由点到对称轴的距离与函数值的关系可判断C，D；【解析】解：∵，∴抛物线对称轴为直线，顶点为，∵，∴为抛物线顶点，，当时，抛物线开口向上，为函数最小值，∴选项A，B错误．若，则抛物线开口向下，距离对称轴越近的点的纵坐标越大，∴选项C错误，选项D正确．故选：D．【点睛】本题考察二次函数的图象与性质，开口向下时，图象上的点离顶点越远，即横坐标到对称轴的距离越大时，点的纵坐标就越小4．如图，正方形的边长为，动点、同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动，设运动时间为单位：，四边形的面积为（单位：），则与之间函数关系可以用图象表示为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：时，根据四边形的面积的面积的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；时，根据四边形的面积的面积的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．【解析】解：时，正方形的边长为，，，，时，，，，所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．5．下表按照横坐标由小到大列出了关于的二次函数图像上一些不同的点，图像上任意一点纵坐标均不大于，下列说法错误的是（

）A．当时，抛物线与坐标轴有个交点B．当时，C．若以，，为顶点的三角形为等腰直角三角形，则周长为D．若直线，经过，若，则和的图像有一个交点【答案】D【分析】由图象上任意一点纵坐标均不大于，可得抛物线顶点坐标及开口方向，从而可得抛物线与轴有个交点，由可判断选项，由抛物线的对称性及对称轴可得的值，从而判断选项，由三角形为等腰直角三角形及，，三点坐标可得直角三角形的边长，从而判断选项，由直线经过，及可得直线与抛物线无交点，从而判断选项．【解析】∵图象上任意一点纵坐标均不大于，∴抛物线顶点坐标为且抛物线开口向下，∴抛物线与轴有个交点，∵抛物线与轴交点坐标为，∴当时，抛物线与坐标轴有个交点，选项正确；∵抛物线经过，，抛物线对称轴为直线，∴，即，∵抛物线经过点，∴抛物线经过，∴当时，，选项正确；∵等腰直角三角形的三个顶点为，，，∴，，∴周长为，选项正确；∵直线与轴交点坐标为，∵，∴，均在抛物线顶点上方，∴直线与抛物线无交点，选项错误，故选：．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．6．某同学利用数学绘图软件探究函数的图象，在输入一组a，b，c的值后得到如图所示的函数图象（与y轴无交点），根据你学习函数的经验，这组a，b，c的值应满足（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】从函数整体图象来看，发现部分图象有类似反比例函数，再从y轴左侧图象，判断图象虚线代表的意义，即可求解．【解析】解：设虚线为（显然，），由图中可知，当时，，所以，当时，，所以，可得在m的左右两侧时，符号是不同的，即；当时，，而，所以显然另外一条分割线为，故选：B．【点睛】本题考查函数的图象，要求学生根据学过的反比例函数、分式等知识，通过函数图象，大致发现图象的一些特征，此类题目难度较大．7．如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③，是抛物线上两点，则；④若关于x的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与轴轴的交点，综合判断即可．【解析】解：抛物线开口向上，则，对称轴，则，，，所以①正确；抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，于是有，联立，解得，，所以②正确；抛物线的解析式为，，是抛物线上两点，，，即，所以③错误；若关于x的一元二次方程没有实数根，，，，，，所以④正确；抛物线与轴有两个不同交点，因此关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以④正确；对于任意实数m，总有故⑤正确．综上所述，正确的结论有：①②④⑤．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．8．如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点，抛物线与轴交于点，与轴交于另一点，过点的直线交抛物线于点，且轴，连接，当点在线段上移动时（不与、重合），下列结论正确的是（

）A． B．C． D．四边形的最大面积为13【答案】C【分析】】（1）当MN过对称轴的直线时，解得：BN=，而MN=，BN+MN=5=AB；（2）由BC∥x轴（B、C两点y坐标相同）推知∠BAE=∠CBA，而△ABC是等腰三角形，∠CBA≠∠BCA，故∠BAC=∠BAE错误；（3）如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，由△ABC是等腰三角形得到：EB是∠ABC的平分线，∠ACB-∠ANM=∠CAD=∠ABC；（4）S四边形ACBM=S△ABC+S△ABM，其最大值为．【解析】解：将点A（2，0）代入抛物线y=ax2-x+4与直线y=x+b解得：a=，b=-，设：M点横坐标为m，则M（m，m2-m+4）、N（m，m-），其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4），则AB=BC=5，则∠CAB=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（，-）、（，），由勾股定理得：BN=，而MN=，BN+MN=5=AB，故本选项错误；B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同），∴∠BAE=∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形，∠CBA≠∠BCA，∴∠BAC=∠BAE不成立，故本选项错误；C、如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，∵△ABC是等腰三角形，∴EB是∠ABC的平分线，易证：∠CAD=∠ABE=∠ABC，而∠ACB-∠ANM=∠CAD=∠ABC，故本选项正确；D、S四边形ACBM=S△ABC+S△ABM，S△ABC=10，S△ABM=MN•（xB-xA）=-m2+7m-10，其最大值为，故S四边形ACBM的最大值为10+=12.25，故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，以及等腰三角形、平行线等几何知识，是一道难度较大的题目．9．对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】根据题意可求出的相关函数解析式为：．画出图象，讨论当线段与二次函数的相关函数的图象有1个公共点，2个公共点，3个公共点时n的值，再结合图象，即可确定线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点时，n的取值范围．【解析】解：由题意可求的相关函数解析式为：．如图，线段与的图象恰有1个公共点时，∴当时，，即，解得：；当函数的图象向上移动且与线段恰有3个公共点时，由图可知函数与y轴的交点为，∴，∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点；当函数的图象继续向上移动且又一次与线段恰有3个公共点时，由图可知函数与y轴的交点为，∴；当函数的图象又继续向上移动且与线段恰有2个公共点时，由图可知此时函数经过点，∴，解得：，∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点．故选：A．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，理解“相关函数”的定义，并利用数形结合的思想是解题关键．10．抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．有下列结论：①关于x的方程﹣x2+2x+m+1（m为常数）＝0有两个不相等的实数根；②﹣1＜m＜2；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、平移的性质、求线段和的最小值等知识依次对各结论进行分析求解．【解析】解：①∵y＝﹣x2+2x+m+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝＝1，∵抛物线与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．∴抛物线与x轴有两个交点，∴关于x的方程﹣x2+2x+m+1（m为常数）＝0有两个不相等的实数根，故①正确；②∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点在2和3之间，∴，解得：﹣1＜m＜2，故②正确；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故③正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），如图，作点B关于y轴的对称点（﹣1，3），作C关于x轴的对称点（2，﹣2），连接，与x轴、y轴分别交于D、E点，则BE+ED+CD+BC＝+ED++BC，根据两点之间线段最短，知最短，而BC的长度一定，此时四边形BCDE的周长最小，最小为，故④正确．故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点，二次函数函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称－最短路线问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二、填空题11．已知二次函数当时，函数有最大值，则二次函数的表达式为______．【答案】【分析】把代入二次函数的解析式求得的值即可．【解析】解：当时，函数有最大值，，解得：或，有最大值，，，二次函数的表达式为．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质等知识，解题的关键是根据题意求得的值后进行正确的取舍．12．如图，在正方形中，点，点，则二次函数与正方形有交点时，的最大值是．

【答案】【分析】根据抛物线顶点坐标可确定其顶点在直线上移动，然后再确定当抛物线左侧经过点时，取得最大值，以此代入坐标求解即可．【解析】解：由题意，该抛物线的顶点坐标为，∴抛物线的顶点在直线上移动，∵四边形为正方形，点，点，∴点的坐标为，如图所示，当抛物线左侧经过点时，取得最大值，

将代入得：，解得：或（不合题意，舍去），故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，掌握抛物线顶点特征及运动轨迹，确定取得最值时的特殊位置是解题关键．13．如图，二次函数，第一个正方形，第二个正方形，第三个正方形，，点，，，，，点，，，，在二次函数上，，，，，在轴正半轴上，则第个正方形的边长为．【答案】【分析】设点坐标为，，依题意，坐标为，，根据抛物线对称性及正方形的性质可得的值，从而可得正方形边长，依此规律求解．【解析】解：连接设点坐标为，，依题意，坐标为，，∵，∴，∵，∴，∴正方形边长为，同理设坐标为，则坐标为，∵，∴,∴，∴正方形边长，同理设坐标为，则坐标为，∴,解得：,∴正方形边长，……依此类推可得正方形的边长．故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握正方形的性质．14．二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点为，对称轴为直线．下列结论：①；②过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；③若，关于的不等式的解集为；④若，点，在该抛物线上，当实数，．其中正确的结论是．【答案】②【分析】先由题意画出图象，再根据图象与系数的关系求解．【解析】解：当时，如图，当时，如图，①∵抛物线的对称轴为，∴，∵二次函数的图象与轴交于点，∴，∴，即：，故①是错误的；②当时，，即：，∴，∴有两个相等的实数根，∴过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点，故②是正确；③∵与轴相交于，对称轴为，∴与轴相交于，对称轴为，∴与轴相交于，，∴的解集为：，即∶，故③是错误的；④当时，如所示，当时，，∴，即时，，故④是错误的；故答案为：②．

【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．15．函数（m为常数且）有下列结论：①该函数图象与y轴交于点；②若，当时，y随着x的增大而增大；③该函数图象关于直线轴对称；④若方程有三个实数根，则．其中正确的结论是．（填写序号）【答案】①③④【分析】①将代入函数再化简绝对值即可判断；②求得时函数与轴的交点，再将代入函数验证即可；③将函数化为，根据对称轴的特征，设，求得和的函数值验证即可；④利用一元二次方程根的判别式分别讨论和时方程解的个数，再根据有三个实数根计算求值即可；【解析】解：令代入函数可得，∵，∴，∴该函数图象与y轴交于点，故①正确；若，则函数为，可知当或时函数值为0，当时，函数值为，此时的函数值大于的函数值，∴当时，y不随x的增大而增大，故②错误；∵函数，设，当时函数值为，当时函数值为，∴到直线的距离相等的两点的函数值相等，∴该函数图象关于直线轴对称，故③正确；方程中，当时可化为，此时，∵，∴，即，方程有两个不等的实数根；当时可化为，此时，方程可以有两个不等根、两个相等根、无根；若方程有三个实数根，则时方程有两个相等的根，即，可得，故④正确；故答案为：①③④；【点睛】本题考查了绝对值的化简，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象性质，一元二次方程根的判别式等知识；掌握分类讨论的思想是解题关键．16．如图抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，过A，B，C三点，P是上一动点，连接则的最小值．【答案】【分析】连接DA，DB，过点D作DE⊥AB交AB于E，根据圆与抛物线的性质求出A、D、B、C四个点的坐标，再根据题意构造相似三角形，将求的最小长度转化成求的最小长度，然后根据三点共线有最小值即可求解．【解析】解：如图所示，连接DA，DB，过点D作DE⊥AB交AB于E，∵抛物线与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧），又∵，故由二次函数的交点式可知A点的坐标为(-1，0)，B点的坐标为(3，0)，∵过A，B两点，∴由圆的垂径定理可知E点的横坐标为1，D点的坐标为(1，y)，又∵CD=BD，，,∴即,∴,∴y=1,∴D点的坐标为(1，1)．∴，∵P在圆上，∴．延长DO到F使得，连接PF，PO∵直线DF经过点D(1，1)、O(0，0)、F(x，y)∴直线DF的解析式是y=x，解得∴点F的坐标为∴，∴,∴,∴，∴，∴=，∴当P、C、Ｆ三点共线时取最小值，∴==，故答案为：．【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，圆的垂径定理，相似三角形的判定．通过构造相似三角形来将看似不相关的两条线段，转化成相关的两条线段求最小值．解题的关键在于如何构造相似三角形进行转化．三、解答题17．已知二次函数（m是常数，且）．(1)证明：不论m取何值，该二次函数图象总与x轴有两个交点；(2)若，是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数表达式和的值；(3)若点，点也均在此函数图象上，且满足，求m的取值范围．【答案】(1)见解析(2)二次函数的解析式为，；(3)．【分析】（1）只需证明恒大于0即可；（2）由点，可知关于二次函数对称轴对称，则有二次函数的对称轴为直线，然后问题可求解；（3）由题意易得二次函数的对称轴为直线，然后根据可知，进而问题可求解．【解析】（1）解：根据题意：∴不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点；（2）解：由题意可知点，关于二次函数的对称轴对称，∴该二次函数的对称轴为直线，∵该二次函数的对称轴为直线，∴，解得：，∴二次函数的解析式为，把点代入得：，解得：；（3）解：由（2）可知二次函数的对称轴为直线，∵，且该二次函数的图象开口向上，∴点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离，∴，解得：．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．18．如图，是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段是竖直高度为6米的平台，滑道分为两部分，其中段是双曲线，段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，B点的竖直高度为2米，滑道与水平面的交点D距的水平距离为8米，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，距直线的水平距离为x．(1)请求出滑道段y与x之间的函数关系式；(2)当滑行者滑到C点时，距地面的距离为1米，求滑行者此时距滑道起点A的水平距离；(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于，，求长度的取值范围．【答案】(1)滑道段y与x之间函数关系式为(2)滑行者距滑道起点的水平距离为米(3)【分析】（1）由B在双曲线上，且根据题意，得到，由B为抛物线的最高点，可设抛物线的解析式为，滑道与水平面的交点D距的水平距离为8米，得到点D的坐标为，把代入得，，解得，即可得到抛物线的解析式；（2）依据前面的解析式求出A、C的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离；（3）先判断的最小值，再根据已知求出最大值即可．【解析】（1）解：B在双曲线上，且根据题意，∴，∵B为抛物线的最高点，则设抛物线的解析式为，∵滑道与水平面的交点D距的水平距离为8米，∴点D的坐标为，把代入得，，解得，∴滑道段y与x之间函数关系式为；（2）令上式时，则，解得，（不合题意，舍去），∴，将代入中得，∴，∴，此时滑行者距滑道起点的水平距离为米；（3）解：根据上面所得，当时，，此时，则D点不可往左，可往右，的最小值为8，又∵，∴，∴．∴长度的取值范围为．【点睛】本题主要考查了二次函数和反比例函数的实际应用，用到了待定系数法求二次函数解析式、求函数图象上点的坐标、等边对等角等知识，数形结合是解题的关键．19．如图1，抛物线经过两点，交轴于点．

(1)求抛物线的函数解析式．(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，连接，若在下方的抛物线上存在一点，使得，请直接写出点的横坐标．【答案】(1)(2)存在，(3)或【分析】（1）由于抛物线过、两点，那么可以得到方程的两根为或，然后利用根与系数即可确定、的值．（2）点是点关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点，要使的值最小，则点就是与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线的解析式，把抛物线对称轴代入即可得到点的坐标；（3）过P作轴，与交于Q，连接，，求出，可得，设，得到，得出，从而得到关于m的方程，解之可得结果．【解析】（1）解：抛物线过、两点，方程的两根为或，，，，，二次函数解析式是；（2）二次函数解析式是，抛物线的对称轴为直线，．点、关于对称轴对称，点为与对称轴的交点时，的值最小．

设直线的解析式为，则，解得：．直线的解析式为．抛物线的对称轴为直线．当时，．抛物线对称轴上存在点符合题意，、，．，，，在抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小，周长的最小值为；（3）过P作轴，与交于Q，连接，，∵，，，∴，∴，设，∵直线的解析式为，∴，∴，∴，解得：或，∴点P的横坐标为或．

【点睛】本题是二次函数的综合题型，主要考查了利用抛物线与轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴上点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用抛物线与轴的交点坐标确定函数解析式．20．已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象过点（，）．(1)若它的图象的对称轴为直线，求的值；(2)若点（3，0），（m，p），（4，q）是图象上的三个点，且，求m的取值范围；(3)若对任意实数x，都有，求a的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）由抛物线对称性可得抛物线经过（3，0），从而可得的值；（2）由抛物线经过（，），（3，0）可得抛物线对称轴为直线，从而可得（4，q）关于对称轴的对称点坐标，进而求解；（3）将不等式组转化为图象问题，由直线及抛物线相切可得抛物线经过（3，0）且和直线相切时符合题意．【解析】（1）∵抛物线经过（，），对称轴为直线，∴抛物线经过（3，0），∴时，；（2）∵抛物线经过（，），（3，0），∴抛物线对称轴为直线，∴点（4，q）关于对称轴的对称点坐标为（，），∵，∴抛物线开口向上，∵，∴；（3）令，整理得，解得，将代入得，∴直线与抛物线经过点（3，0），如图，∵抛物线开口向上，经过（，），∴抛物线经过（3，0）时满足题意，即，令，整理得，当时，，解得．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．21．【阅读理解】：关于的函数（为常数，且），经过某个定点，请求出定点的坐标．方法一：先将等式化为的形式，再根据时有无数多个解，求得定点的坐标为；方法二：当时，；当时，；解方程组，解得，∴求得定点的坐标为(1)【模仿练习】关于的二次函数（为常数，且），是否经过定点，如果是，请选择一种方法求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．(2)【尝试应用】某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：①计算与的几组对应值，其中______；列表如下：…………②如图，在直角坐标系中用描点法画出了函数将这个图像；③若直线与函数的图像只有一个交点，请结合函数图像求出的取值范围．

【答案】(1)二次函数是经过定点，且定点坐标为，(2)①；②见解析；③或【分析】（1）根据材料提示的方法计算即可求解；（2）①把代入计算即可；②在平面直角坐标系中根据表格数据描点，连线即可；③根据表格信息，函数图像交点的计算方法即可求解．【解析】（1）解：方法一：先将等式化为的形式，再根据且时有无数多个解，求得定点的坐标为，；方法二：当时，；当时，；解方程组，解得：，，∴求得定点的坐标为，，∴二次函数是经过定点，且定点坐标为，．（2）解：①当时，，∴；②如图所示，描点，连线画出函数的图像，

③∵，即，∴直线一定过点，从图像及表格信息可知，当时，过点，，①联立直线与抛物线解析式得，整理得：，∵线与函数的图像只有一个交点，∴，解得：（不符合题意已舍去），∴当时，过定点的直线与函数的图像只有一个交点；②把代入得，解得，∴当时，过定点的直线与函数的图像只有一个交点；∴．综上所述，过定点的直线与函数的图像只有一个交点，则或．【点睛】本题主要考查函数图像的性质，理解材料提示信息，掌握二函数图像的变形求定值的计算方法，函数图形的性质，交点坐标的计算方法是解题的关键．22．抛物线，（）交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是抛物线的顶点．

(1)当时，直接写出A，B，C三点的坐标；(2)如图1，点D是对称轴右侧抛物线上一点，，求线段长度：(3)如图2，将抛物线平移使其顶点为（0，1），点P为直线上的一点，过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，问直线是否过定点，请说明理由．【答案】(1)，，(2)(3)直线一定结果定点，理由见解析【分析】（1）把代入函数解析式，令，求出x的值，可求A、B的坐标，把解析式化为顶点式可求C的坐标；（2）延长交x轴于点E，先求出顶点，根据等边对等角得出，设，利用两点间距离公式可得，解得，利用待定系数法求解析式为，联立方程组求出点D的坐标，最后再利用两点间距离公式求解即可；（3）由题意知，设过点P的直线为，与抛物线解析式联立方程组，利用过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，得出a与p的关系式，则直线解析式为，直线解析式为，分别与抛物线解析式联立，设点E的横坐标为，则是的根，利用根与系数的关系可求，同理可求，则，是方程的两个实数根，方程变形为，于是得到，点E、F是抛物线与直线的交点，则结论可得．【解析】（1）解：当时，函数解析式为，当时，，解得，，∴，，∵，∴，（2）解：延长交x轴于点E，

∵，∴，∵，∴，设，则，解得，∴，设解析式为，则，解得，∴，联立方程组，解得或，∴，∴（3）解：由题意知：平移后抛物线解析式为，∵点P为直线上的一点，∴设，设过点P的直线为，∴，∴，∴，联立方程组，∴，∵过点P的直线，与抛物线只有一个公共点，∴，即，∴，，则直线解析式为，直线解析式为，联立方程组，∴，设点E的横坐标为，则是的根，∵过点P的直线与抛物线只有一个公共点，∴有两个相等的实根，∴，∴，同理设点F的横坐标为，，∴，，∴，是方程的两个实数根，∴，∴，即点E，F的坐标满足方程组，∴点E、F是抛物线与直线的交点，∵，∴直线一定结果定点．【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括求二次函数与坐标轴交点问题，特殊图形及一次函数与抛物线交点问题，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．23．如图，抛物线经过点、，交x轴于另一点B，点在第二象限的抛物线上．

(1)求该抛物线的函数表达式；(2)过点P作轴于点D，交于点E，作交y轴于点F．①求出四边形的周长l与m的函数表达式，并求l的最大值；②当四边形是菱形时，请求出P点的横坐标；③是否存在点P，使得以P、E、C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①，②；③存在，或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①利用待定系数法求出直线的解析式，设点P的坐标为，则点E的坐标为，求出，再根据，利用平行线分线段成比例求出，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得出l关于m的函数表达式，再利用二次函数的性质求出最值即可；②若四边形是菱形，则，据此得出方程，解方程可得答案；③分两种情况讨论：当时，，可得，据此得出方程，解方程求出t的值即可；当时，，过点P作轴于点H，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，求出t的值即可．【解析】（1）解：∵抛物线经过点、，∴，解得，∴该抛物线的函数表达式为；（2）解：①设，代入、得：，解得：，∴，设点P的坐标为，则点E的坐标为，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴当时，l的最大值为；②要使四边形是菱形，则有，∴，整理得，解得，（舍去），∴当四边形是菱形时，P点的横坐标为；③存在，分两种情况讨论：（Ⅰ）如图1，当时，，此时轴．∴，即，解得，（舍去），∴点P的坐标为；（Ⅱ）如图2，当时，，过点P作轴于点H，∴，，∴，∵，∴，∴，即，解得，（舍去），∴点P的坐标为，综上所述，点P的坐标为或．

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，平行线分线段成比例，