分歧、拟周期与混沌现象课件

现代电路理论姓名：学号：

分歧、拟周期与混沌现象第七章分歧、拟周期与混沌现象7.1引言7.2非线性电路的分歧7.3非线性电路中的拟周期现象7.4非线性电路方程中的混沌现象分歧、拟周期与混沌现象7.1引言1、非线性电路的稳态解①平衡点②周期解③拟周期解④混沌解传统的认识：一个确定的电路（指电路中所有元件参数都是确定的，不包含任何随机因素），其解也是确定的——即在两组相近的初始条件下，其解也是相近的。近20年的发现：确定的非线性电路存在一种特殊稳态解——这种形式的解既不是周期的，也不是拟周期的，而是在一定区域内永不重复类似随机的振荡。这种振荡对初始值极端敏感，不能从任一点预测未来的振荡行为。这种非线性电路的解就称为混沌。7.1引言分歧、拟周期与混沌现象7.1引言2、分歧或分岔一个非线性电路产生周期、拟周期或混沌振荡，必须满足一定的电路参数条件。同一个非线性电路不同的参数，其解也不会一样。当非线性电路的参数发生变化，引起电路解的性质发生质的变化，例如由平衡点解变为周期振荡解,这种解的质的变化就称为分歧(bifurcation)或分岔，引起变化的参数称为分歧参数。电路参数变化——解的性质发生质的变化——发生质的变化称为分歧。7.1引言分歧、拟周期与混沌现象第七章分歧、拟周期与混沌现象7.1引言7.2非线性电路的分歧7.3非线性电路中的拟周期现象7.4非线性电路方程中的混沌现象分歧、拟周期与混沌现象7.2非线性电路的分歧7.2非线性电路的分歧主要内容1、鞍结分歧2、过临界分歧3、叉形分歧4、霍普夫分歧分歧、拟周期与混沌现象7.2非线性电路的分歧1、分歧由电路参数发生（微小）改变而引起电路的解或相图发生质的变化。能引起分歧的参数称分歧参数，而此参数值称为分歧点。静态分歧：平衡点的个数和稳定性的变化。动态分歧：相平面轨道定性性质的变化。局部分歧：讨论平衡点或轨道附近相图的拓扑结构的变化。全局分歧：研究大范围内拓扑结构的变化。静态分歧：鞍结分歧、跨临界分歧等。动态分歧：霍普夫（Hopf）分歧、闭轨分歧、环面分歧、同宿或异宿分歧等等。无论是静态分歧或者是动态分歧中的霍普夫(Hopf)分歧，只有平衡点是非双曲平衡点时，才会有分歧现象发生。非双曲平衡点意味着非线性电路对应的线性化方程系数矩阵至少有一个具有零实部的特征值。分歧、拟周期与混沌现象电路如图所示，非线性电阻的u-i特性为i=u2，以uC为状态变量，则方程为7.2非线性电路的分歧令时，有分歧、拟周期与混沌现象7.2非线性电路的分歧可见该电路的平衡点随参数的变化而变化。特别当＝0时，x=0是该电路的一个非双曲平衡点。平衡点随参数变化，由式给出，可以用平衡点随分歧参数变化的图7-2表示。这种平衡点或方程的解随分歧参数变化的图称为分歧图。由图7-2可见，当<0时，电路没有平衡点，即电路不存在工作点；当＝0时，有一个平衡点，而当>0时，有二个平衡点，分别为。容易判断是稳定的， 是不稳定的。这表示参数产在=0的附近变化时，电路平衡点的个数和轨道都发生了定性的变化，即发生了分歧，分歧点是（x，）=（0，0）。这种分歧称为鞍结分歧。分歧、拟周期与混沌现象7.2非线性电路的分歧从图7-3(b)可以看出，当电流源电流IS<0时，电路工作点不存在；当IS＝0时，有一个工作点；当IS>0时，有两个工作点。且工作点Q1处的动态电阻为正值，所以，该工作点是稳定的；工作点Q2处的动态电阻为负值，该工作点是不稳定的。分歧、拟周期与混沌现象7.2非线性电路的分歧为了能清楚地表明鞍结分歧相图的变化，考虑图7-4所示二阶电路。此电路是图1-1所示一阶电路增加了一个RL电路，仍设非线性电阻的伏安特性为i＝v2，以电容电压和电感电流为状态变量列出状态方程：取归一化值，设则有：

(1-2)

分歧、拟周期与混沌现象7.2非线性电路的分歧当＝0时，式（1-2）有非双曲平衡点。由于式（1-2）的第二式特征值实部不为零，因此其分歧由式（1-2)的第一式决定。但相平面上的鞍结点变化过程可以清楚地表示出来，如图7-5所示。

分歧、拟周期与混沌现象7.2非线性电路的分歧7.2非线性电路的分歧主要内容1、鞍结分歧2、过临界分歧3、叉形分歧4、霍普夫分歧分歧、拟周期与混沌现象2、过临界分歧7.2非线性电路的分歧过临界分歧可以用图7-6所示一阶电路来说明，电路的非线性电阻的伏安特性为压控且i＝v2，以电容电压为状态变量的方程为即令，则有

（1-3）

分歧、拟周期与混沌现象2、过临界分歧7.2非线性电路的分歧式（1-3）在＝0时，x=0的点是一个具有零特征值的非双曲平衡点。平衡点随参数变化，由式给出，如图1-7所示。从图中可见，<0时，电路有两个平衡点x1=0和x2=当。容易判定，x1=0的平衡点是稳定的。x2=的平衡点是不稳定的；当＝0时，仅有一个稳定平衡点；当>0时，与<0时相同，有两个平衡点。但平衡点的稳定性质发生了转换，x1=0变成了不稳定平衡点，x2＝是稳定的平衡点。在=0的邻域内发生变化时，会导致平衡点的个数和稳定性发生变化，因此，点（x，）=(0,0)就是分歧点，这种分歧称为过临界分歧。分歧、拟周期与混沌现象2、过临界分歧7.2非线性电路的分歧与鞍结分歧相同，分歧过程也可以用电路静态工作点的概念解释。当电容用开路代替后，受控源和非线性电路的伏安关系分别画于图7-8。当＝0时，仅有工作点Q0，当>0时，有工作点Q0和Ql，且Ql处的动态电阻为正值；当＜0时，有工作点Q2和Q0，且Q2处的动态电阻为负值。这说明了平衡点稳定性质转变的本质。分歧、拟周期与混沌现象7.2非线性电路的分歧7.2非线性电路的分歧主要内容1、鞍结分歧2、过临界分歧3、叉形分歧4、霍普夫分歧分歧、拟周期与混沌现象3、叉形分歧7.2非线性电路的分歧

讨论叉形分歧的电路仍如图7-6所示，但非线性电阻的伏安特性为i＝v3；以电容电压为状态变量时，状态方程为同时令，有如下方程

分歧、拟周期与混沌现象3、叉形分歧7.2非线性电路的分歧

可以验证点（x，）=（0,0)是具有零特征值的非双曲平衡点。当时电路的平衡点随参数变化，由式给出，如图7-9所示。当＜0时，电路有一个平衡点，x＝0，且是稳定平衡点；当＝0时，x＝0也是一个平衡点，仍是稳定的；当>0时，电路有3个平衡点，这3个平衡点分别是和；

此时，不仅平衡点的个数发生了变化，而且稳定性也发生了变化，时的x=0的平衡点在过分歧点后，由稳定变成了不稳定，并产生了两个新平衡点；新产生的两个平衡点是稳定的。由于随的变化，稳定的平衡点在x-平面上描出的曲线像一把叉子，因此称为叉形分歧。对应叉形分歧的电路的静态工作点随产的变化求解过程如图1-10所示。分歧、拟周期与混沌现象3、叉形分歧7.2非线性电路的分歧

当时，仅有工作点Q0；当>0时，有3个工作点，即Q0，Ql和Q2。由于Q1和Q2处的动态电阻都为正值，所以工作点是稳定的。

分歧、拟周期与混沌现象7.2非线性电路的分歧7.2非线性电路的分歧主要内容1、鞍结分歧2、过临界分歧3、叉形分歧4、霍普夫分歧分歧、拟周期与混沌现象4、Hopf分歧:移相式RC振荡电路7.2非线性电路的分歧Hopf分歧可以用RC正弦振荡器说明。图7-11所示为移相式RC振荡电路，当电路中反相放大器的电压放大倍数k>29时，该电路中将产生稳定的正弦振荡，振荡频率，荡幅度大小由放大器的饱和特性决定。分歧、拟周期与混沌现象4、Hopf分歧:移相式RC振荡电路设放大器的转移特性为令7.2非线性电路的分歧分歧、拟周期与混沌现象7.2非线性电路的分歧系数矩阵的特征方程为：当k=29时，，有一对实部为零的共扼复特征值。即k=29时，平衡点为非双曲平衡点；当k<29时，，且a(k)<0，w(k)>0，此时平衡点为渐近稳定双曲平衡点；当k>29时，，但a（k）＞0,即平衡点为不稳定双曲平衡点。显然k＝29是一个分歧点，当k从k