广西桂林市2022-2023学年高二上学期期末质量检测数学试题（含答案详解）

桂林市2022~2023学年度上学期期末质量检测高二年级数学（考试用时120分钟，满分150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）．第Ⅰ卷选择题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线SKIPIF1<0的准线方程是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的标准方程可得出其准线方程.【详解】由题意可得，抛物线SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0.故选：B.【点睛】本题考查利用抛物线的标准方程求准线方程，考查计算能力，属于基础题.2.空间直角坐标系中SKIPIF1<0两点坐标分别为SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0两点间距离为（）A.2 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.6【答案】C【解析】【分析】根据所给的两个点的坐标，代入空间中两点之间的距离的公式，整理成最简结果，得到要求的A与B之间的距离【详解】∵A，B两点的坐标分别是A（2，3，5），B（3，1，4），∴|AB|SKIPIF1<0，故选：C．【点睛】本题考查空间两点之间的距离公式，意在考查计算能力，是一个基础题，3.已知直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的倾斜角为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】根据直线方程可得斜率，从而利用SKIPIF1<0可求倾斜角.【详解】因为直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，令直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故选：B4.对于空间向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根据SKIPIF1<0，知它们的坐标对应成比例，求出实数SKIPIF1<0的值.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.【点睛】本题主要考查的是空间向量的平行或共线的坐标运算，是基础题.5.两圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的位置关系是（）A.外离 B.相交 C.内切 D.外切【答案】B【解析】【分析】根据两圆圆心距与两圆的半径差、半径和的大小关系即可判断.【详解】因为圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0而SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相交.故选：B6.一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】先确定从100件中任取五件的取法数，再确定任取5件，则恰有1件不合格品的取法数，即可求得答案.【详解】一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，共有SKIPIF1<0种取法；其中恰有1件不合格品的取法有SKIPIF1<0种取法，故恰有1件不合格品的概率是SKIPIF1<0，故选：A.7.如图所示，在空间四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可．【详解】SKIPIF1<0故选：B8.我们把离心率等于黄金比SKIPIF1<0的椭圆称为“优美椭圆”.设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）为优美椭圆，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为它的左焦点和右顶点，SKIPIF1<0是短轴的一个端点，则SKIPIF1<0等于（）A.90° B.75° C.60° D.72°【答案】A【解析】【分析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，根据余弦定理即可求得SKIPIF1<0．【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．在椭圆中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0．故选：A．【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质的应用，以及利用余弦定理解三角形，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点，则下列正确的有（）A.双曲线的离心率为SKIPIF1<0B.双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0D.直线SKIPIF1<0与双曲线有两个公共点【答案】ABD【解析】【分析】根据解析式得SKIPIF1<0，再结合双曲线的几何性质对选项逐一辨析即可.【详解】双曲线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A正确；双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，故B正确；左焦点SKIPIF1<0，故C错误；直线SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线与双曲线有两个公共点，故D正确；故选：ABD.10.在SKIPIF1<0的展开式中，下列说法错误的是（）A.常数项是20 B.第4项的二项式系数最大C.第3项是SKIPIF1<0 D.所有项的系数的和为0【答案】AC【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式和赋值法求解.【详解】因为SKIPIF1<0展开式的通项公式为SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以常数项为SKIPIF1<0，A错误；第SKIPIF1<0项的二项式系数为SKIPIF1<0，由组合数的性质可知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最大值，B正确；令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以第三项为SKIPIF1<0，C错误；令SKIPIF1<0可得所有项的系数的和为0，D正确.故选：AC.11.“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项．已知某地区高中女生的“50米跑”测试数据SKIPIF1<0（单位：秒）服从正态分布SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．现从该地区高中女生中随机抽取5人，并记这5人“50米跑”的测试数据SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0内的人数为SKIPIF1<0，则下列正确的有（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】BC【解析】【分析】利用正态分布的性质，二项分布的概念及期望逐一对选项进行分析即可.【详解】因为SKIPIF1<0服从正态分布SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A错误，B正确；5人“50米跑”的测试数据符合二项分布，即SKIPIF1<0，故C正确；SKIPIF1<0，故D错误；故选：BC.12.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件SKIPIF1<0､SKIPIF1<0存在如下关系：SKIPIF1<0.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（）A.第二天去甲餐厅概率为0.54B.第二天去乙餐厅的概率为0.44C.第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为SKIPIF1<0D.第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为SKIPIF1<0【答案】AC【解析】【分析】根据题中所给的公式进行逐一判断即可.【详解】设SKIPIF1<0:第一天去甲餐厅，SKIPIF1<0:第二天去甲餐厅，SKIPIF1<0:第一天去乙餐厅，SKIPIF1<0:第二天去乙餐厅，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0,因此选项A正确,SKIPIF1<0，因此选项B不正确；因为SKIPIF1<0，所以选项C正确；SKIPIF1<0，所以选项D不正确，故选：AC第Ⅱ卷非选择题三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13计算：SKIPIF1<0__________．【答案】6【解析】【分析】直接借助阶乘运算即可.详解】SKIPIF1<0,故答案为：6.14.一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率SKIPIF1<0，用随机变量SKIPIF1<0表示他一次射门的命中次数，则SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【解析】【分析】先求出期望，借助期望求方差.【详解】由题知，一次射门命中次数为0次或1次，SKIPIF1<0,因此E(X)=0×0.7+1×0.3=0.3，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故答案为：SKIPIF1<015.已知抛物线C：SKIPIF1<0的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则SKIPIF1<0______．【答案】13【解析】【分析】根据抛物线方程求出其准线方程，再结合抛物线定义求解作答.【详解】抛物线C：SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由抛物线定义得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因AB的中点的纵坐标为5，则有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：1316.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线SKIPIF1<0的焦点在SKIPIF1<0轴上，离心率为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0．若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕SKIPIF1<0轴旋转一周所得几何体的体积为_________.【答案】SKIPIF1<0【解析】【详解】设双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.作直线SKIPIF1<0，交双曲线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交渐近线于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0.根据祖暅原理，可得该几何体与底面积为SKIPIF1<0、高为6的柱体体积相等，故所求体积为SKIPIF1<0.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应给出文字说明､证明过程及演算步骤．17.已知直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0.（1）求交点SKIPIF1<0的坐标；（2）求过交点SKIPIF1<0且平行于直线SKIPIF1<0的直线方程.【答案】(1)点SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0;(2)直线方程为SKIPIF1<0.【解析】【详解】试题分析：（1）联立两条直线的方程得到交点坐标；（2）根据条件可设所求直线方程为SKIPIF1<0，将P点坐标代入得到参数值．解析：（1）由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以点SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0.（2）因为所求直线与SKIPIF1<0平行，所以设所求直线方程为SKIPIF1<0把点SKIPIF1<0坐标代入得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故所求的直线方程为SKIPIF1<0.18.从6名运动员中选4人参加SKIPIF1<0米接力赛，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答）（1）甲､乙两人必须跑中间两棒；（2）若甲､乙两人都被选且必须跑相邻两棒．【答案】（1）24（2）72【解析】【分析】（1）由甲､乙两人必须跑中间两棒，甲乙之间会有一个排列SKIPIF1<0，余下的两个位置需要在剩余4人中选出共有SKIPIF1<0种，根据分步计数原理即可求解.（2）由题意可将甲乙两人捆绑，并且有SKIPIF1<0种结果，其余4人选出两人和甲乙组合成三个元素的排列共有SKIPIF1<0种结果，再根据分步计数原理即可求解.【小问1详解】甲､乙两人跑中间两棒，甲乙两人的排列有SKIPIF1<0种，剩余两棒从余下的4个人中选两人的排列有SKIPIF1<0种，故有SKIPIF1<0种；【小问2详解】若甲､乙两人都被选且必须跑相邻两棒，甲乙两人相邻两人的排列有SKIPIF1<0种，其余4人选两人和甲乙组合成三个元素的排列有SKIPIF1<0种，故有SKIPIF1<0种．19.已知圆SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0（1）已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0的长；（2）判断点SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系，并求过点SKIPIF1<0且与圆SKIPIF1<0相切的直线方程．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0外，切线的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）求出圆心到直线的距离SKIPIF1<0，再根据垂径定理进行计算，可求出结果.（2）根据点与圆的位置关系判定可得结果，对直线斜率存在和不存在分别进行讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可得出直线方程【小问1详解】由已知可知圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，圆的半径长为2，得SKIPIF1<0【小问2详解】将点SKIPIF1<0代入圆的方程可得：SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0外；当直线的斜率不存在时，直线的方程为：SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0到直线距离为2，正好等于半径，此时直线与圆相切；当直线斜率存在时，设直线：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0圆心SKIPIF1<0到直线的距离为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0此时直线方程为：SKIPIF1<0综上可知切线方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．20.2022年11月30日7时33分，翘盼已久的神舟十四航天员乘组顺利打开“家门”热烈欢迎神舟十五的亲人入驻“天宫”．太空奇迹，源于一代代航天人的筚路蓝缕､薪火相传．为激发同学们对航天科学的兴趣，某校举办航天知识竞答，每班各选派两名同学代表班级回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答．小明､小红两位同学代表高二1班答题，假设每道题小明答对的概率为SKIPIF1<0，小红答对的概率为SKIPIF1<0，且每道题是否答对相互独立．记高二1班答对题目的数量为随机变量SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和数学期望；（2）若高二1班至少答对一道题的概率不小于SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】（1）分布列见解析；期望为SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)先计算答对某道题的概率SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0，逐一计算概率，再写分布列和数学期望；(2)根据题意列出不等式SKIPIF1<0，求解即可.【小问1详解】SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0高二1班答对某道题的概率SKIPIF1<0则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0得分布列为SKIPIF1<001234SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0【小问2详解】高二1班答对某道题的概率为SKIPIF1<0，答错某道题的概率为SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．21.如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0线段SKIPIF1<0上一点.（1）求证：SKIPIF1<0；（2）若直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离.【答案】（1）证明过程见解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；（2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可.【小问1详解】因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此建立如图所示的空间直角坐标系：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，【小问2详解】设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以点