广东省广州市广州四中2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（解析版）

广州市第四中学2023学年第一学期12月月考高二数学一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上）1.直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（）A.（2，﹣3） B.（2，3） C.（﹣3，2） D.（3，2）【答案】D【解析】【详解】由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=，所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量=（1，），或（3，2）故选D．2.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可.【详解】双曲线的渐近线方程是：故选：A3.等比数列中，已知，，则（）A.4 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由等比数列的通项公式求出的值，再由进行计算即可得解.【详解】设等比数列的公比为，所以，所以，更多课件教案视频等优质滋源请家威杏MXSJ663所以.故选：A.【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用，属于基础题.4.如图所示,在正方体中,点F是侧面的中心,设,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量基本定理将转化为即可选出答案.【详解】解:由题知,点F是侧面的中心,为中点,则,故选:A5.已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】应用点线距离、弦长的几何求法求，确定面积最大点P的位置，即可求面积最大值.【详解】由圆心为，半径为，则圆心到直线距离，所以，要使面积最大，只需圆上一动点P到直线距离最远，为，所以面积的最大值是.故选：A6.已知数列满足，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据递推关系得到数列周期，利用周期性求项.【详解】由题设，，，……，所以是周期为3的数列，又可得,则.故选：B7.已知圆（为圆心，且在第一象限）经过，，且为直角三角形，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设且，半径为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】依题意，圆经过点，可设且，半径为，则，解得，所以圆的方程为.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中解答中熟记圆的标准方程的形式，以及合理应用圆的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8.等差数列的前n项和为，公差为d，，则下列结论错误的是（）A.若，则 B.若，则C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差数列前n项和公式，结合已知并讨论、研究数列的性质，进而判断各项的正误.【详解】由题设，则，所以，若，则，故，，，A对；若，则，故，，，B错；综上，，C对；，当，，此时，当，，此时，所以，D对.故选：B二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．错选不得分，部分选对得2分，全选对得5分）9.已知直线，圆，则下列说法正确的是（）A.直线l必过点B.直线l与圆E必相交C.圆与圆E有3条公切线D.当时，直线l被圆E截得的弦长为【答案】BC【解析】【分析】由直线方程确定过定点，判断定点与圆位置关系判断A、B；根据两圆圆心距离与半径间的关系判断C；应用点线距离及弦长的几何求法求弦长.【详解】A：由，则必过定点，错；B：将定点代入圆，有，故点在圆内，即直线l与圆E必相交，对；C：由题设且半径为，而且半径为，所以，即两圆外切，故两圆有3条公切线，对；D：由题设，则到直线的距离，故直线l被圆E截得的弦长为，错.故选：BC10.数列的前n项和为，已知，则（）A. B.是等比数列C. D.数列中的最小项是第2项【答案】CD【解析】【分析】利用关系求数列通项公式，进而判断各项正误.【详解】由题设，且，所以，A、B错，C对；由，数列递增，又，故数列中的最小项是第2项，D对.故选：CD11.如图，若长方体的面是边长为2的正方形，高为．E是的中点，则（）A.B.平面平面C.直线与平面所成角的余弦值为D.点C到平面的距离为【答案】ACD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，通过向量共线以及平面的法向量的关系，线面夹角正弦值的坐标运算，点到平面距离公式的应用，逐项判断选项的正误即可．【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，则，所以，所以，故A正确；，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，则，令，则，因为与不平行，所以平面与平面不平行，故B不正确；又设面的法向量为，则，令，则，所以，则直线与平面所成角的正弦值为故直线与平面所成角的余弦值为，故C正确；点C到平面的距离为，故D正确.故选：ACD.12.已知过点，倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点．过线段AB中的中点P作平行于y轴的直线，分别与抛物线C和其准线相交于点M，N．则下列说法正确的是（）A.点M是线段PN的中点 B.直线AN与抛物线C相切C. D.【答案】ABD【解析】【分析】将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，进而求出点、的坐标，可判断A选项；利用斜率关系判断出，可判断D选项；求出点、的坐标，利用直线上两点距离公式即可得的值，可判断C选项；求出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，结合判别式可判断B选项．【详解】题意可知，直线的方程为，设点,,,，联立，可得，则，由韦达定理可得，所以，则．故点，所以直线的方程为，由，可得，即点，抛物线的准线方程为，所以点，易知点为线段的中点，故A正确；所以，，所以．即，所以，故D正确；解方程，可得，，所以，即点．，即点，所以，故C错误；又，所以直线的方程为，即，联立直线和抛物线的方程得，可得，，所以直线与抛物线相切，故B正确．故选：ABD．三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分满分20分）13.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，过作直线交于两点，且的周长为，那么的方程为__________．【答案】【解析】【详解】试题分析：依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝，∴b2＝8.∴椭圆C的方程为考点：椭圆的定义及几何性质14.记等比数列的前n项和为，若，则________．【答案】【解析】【分析】根据等比数列的前项和的性质，可得答案.【详解】因为数列为等比数列，且等比数列的前项和为，所以成等比数列，则，即，，解得.故答案为：.15.在长方体中，，P为CD中点，则点P到直线的距离为________．【答案】##【解析】【分析】构造空间直角坐标系，应用向量法求点线距离即可.【详解】如下图，构造空间直角坐标系，则，所以，故点P到直线的距离为.故答案为：16.如图，，是双曲线上的两点，是双曲线的右焦点.是以为顶点的等腰直角三角形，延长交双曲线于点.若，两点关于原点对称，则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】【分析】结合双曲线的定义、对称性列方程，化简求得的关系式，从而求得双曲线的离心率.【详解】设左焦点为，连接，依题意：是以为顶点的等腰直角三角形，，两点关于原点对称，结合双曲线对称性可知：四边形是矩形，所以，设，则，，由，即，整理得，.故答案为：三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）17.分别求满足下列条件的直线方程.（Ⅰ）过点，且平行于:的直线；（Ⅱ）与:垂直，且与点距离为的直线.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】【分析】（Ⅰ）设所求直线方程为：，将点代入即可求得，问题得解．（Ⅱ）设所求直线方程为：，利用点到所求直线距离为列方程即可求得或，问题得解．【详解】（Ⅰ）设所求直线方程为：，又所求直线过点，将它代入上式可得：，解得：，所以所求直线方程为：，即：（Ⅱ）设所求直线方程为：，又点到所求直线的距离为，即：，解得：或，所以所求直线方程为：或【点睛】本题主要考查了互相平行，垂直的两直线方程之间的关系，考查方程思想及计算能力，属于基础题．18.如图，在直三棱柱中，，，.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据直棱柱的几何性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，平面，所以.又，，平面，所以平面.因为平面，所以.；【小问2详解】如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面法向量为，则，令，得.设平面的法向量为，则，令，则，所以.因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.19.设等差数列的前n项和为，且．（1）求的最大值及取得最大值时的n的值；（2）若数列满足，求数列的通项公式．【答案】（1）或时的最大值为；（2）.【解析】【分析】（1）应用等差数列通项公式、前n项和公式求，结合二次函数性质求最大值并确定对应n值.（2）由（1）及递推式有，应用累加法求数列通项即可.【小问1详解】令公差为，且，所以，故，所以，，故或时的最大值为.【小问2详解】由（1）知，即，又，所以，且，则，故，显然也满足，所以.20.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．（1）建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．【答案】（1）x2+(y+3)2＝36（2）3.5米【解析】【分析】（1）以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系．设圆的方程为x2+(yb)2＝r2，通过F，M在圆上，求出参数值，得到圆的方程．（2）设限高为h，作CP⊥AD交圆弧于P，则|CP|＝h+0.5，将P的横坐标x代入圆的方程，求出y，然后求出限高．【小问1详解】以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系，则E(3,0)，F(3,0)，M(0,3)，由所求圆圆心在y轴上，可设圆为x2+(yb)2＝r2，又F，M在圆上，则，解得b＝3，r2＝36．∴圆的方程为x2+(y+3)2＝36．【小问2详解】设限高为h，作CP⊥AD交圆弧于P，则|CP|＝h+0.5，将P的横坐标x代入圆的方程，有，得y＝2或y＝8（舍），∴h＝|CP|0.5＝(y+|DF|)0.5＝(2+2)0.5＝3.5(m)．答：车辆通过隧道的限制高度是3.5米．21.如图，在四棱锥中，已知且四边形ABCD为直角梯形，分别为PA，PD的中点.（1）求证：平面；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DM所成角最小时，求线段BQ的长.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，，由三角形中位线定理可得，从而可证明四边形为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理可得结果；（2）以A为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量夹角余弦公式可得，利用换元法，结合二次函数配方法，求得时直线与所成角取得最小值，此时.【小问1详解】证明：如图，连接，，因为点，分别是，的中点，所以，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面．【小问2详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，．所以，，设，，又，所以.设，则，，所以，，当且仅当，即时，取得最大值，即直线与所成角取得最小值，此时，而，，.【点睛】本题主要考查线