山东省枣庄市薛城区2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级二次阶段数学学习习惯监测第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1.已知反比例函数的图像经过点，那么该反比例函数图像也一定经过点（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先把点代入反比例函数的解析式求出的值，再对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：反比例函数的图象经过点，，A、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；B、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C、，此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；D、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中，为定值是解答此题的关键．2.已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（）A.70° B.60° C.50° D.30°【答案】A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可得α﹣10°＝60°，进而可得α的值．【详解】解：∵sin（α﹣10°）＝，∴α﹣10°＝60°，∴α＝70°．故选A．更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请家威杏MXSJ663【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．3.已知反比例函数的图像位于第二、四象限，则的值为（）A.1 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数的定义得出，再由函数图像在第二、四象限内，可得出，两者联立，解方程及不等式即可得出结论．【详解】根据题意得：，解得：，故选：A【点睛】本题考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质、解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于的一元二次方程和一元一次不等式，解决该题型题目时，根据反比例承数的定义得出方程，根据反比例函数的性质得出不等式，解方程及不等式即可得出结论．4.如图为固定电线杆AC，在离地面高度为7米的A处引拉线AB，使拉线AB与地面BC的夹角为α，则拉线AB的长为（）A.7sinα米 B.7cosα米 C.7tanα米 D.米【答案】D【解析】【分析】在中，，利用正弦定义可得，代入求解即可．【详解】在中，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确理解题意，能够把实际问题转化为数学问题是解题的关键．5.如图，小明探究课本“综合与实践”版块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（）mmA. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，得、，结合相似三角形的性质，通过相似比计算，即可得到答案．【详解】根据题意，得，且∴∴∴故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．6.对于反比例函数，下列说法中不正确的是（）A.点在它的图象上 B.它的图象在第一、三象限C.y随x的增大而减小 D.当时，y随x的增大而减小【答案】C【解析】【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，根据反比例函数的图象及性质逐一判断即可．详解】A选项：把点代入函数中，得成立，∴点在函数的图象上，本选项说法正确；B选项：∵，∴函数图象在第一、三象限，本选项说法正确；C选项：∵，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，本选项说法错误；D选项：∵，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∴当时，y随x的增大而减小，本选项说法正确．故选：C7.太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是cm，则皮球的直径是（）A. B.15 C.10 D.【答案】B【解析】【详解】解：如图，作AB⊥MN交MN于点B，因为cm，∠ANB＝60°，所以（cm），由于平行线间的垂线段相等，所以皮球的直径为15cm．8.如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，AD＝BD，若AB＝，tanC＝，则BC＝（）A.8 B. C.7 D.【答案】C【解析】【分析】证出△ABD是等腰直角三角形，得出AD＝BD＝AB＝4，由三角函数定义求出CD＝3，即可得出答案．【详解】解：交于点，，是等腰直角三角形，，，，；故选：．【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的性质以及三角函数定义；熟练掌握等腰直角三角形的性质和三角函数定义是解题的关键．9.在反比例函数图像上有三个点、、．则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数，可以得出：在第二象限和第四象限内，随的增大而增大；在第二象限内，，在第四象限内，，因为，可以得出．【详解】∵反比例函数，∴在每一个象限内，随的增大而增大，∵点、、在反比例函数图像上，且，∴，故选:A【点睛】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．10.若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（）A.图1 B.图2 C.图3 D.图4【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．【详解】选项A中，阴影面积，故选项A不符合题意；选项B中，阴影面积为，故选项B符合题意；选项C中，阴影面积为，故选项C不符合题意；选项D中，阴影面积为，故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．11.图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．【详解】∵S主=x2+2x=x（x+2），S左=x2+x=x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S俯=（x+2）（x+1）=x2+3x+2．故选A．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．12.在同一平面直角坐标系中，函数与（k为常数且）的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意中的函数解析式和函数图象的特点，可以判断哪个选项中的图象是正确的．【详解】解：根据函数可得，该函数图象与y轴的交点在x轴上方，排除B、D选项，当k＞0时，函数的图象在第一、二、三象限，函数在第二、四象限，故选项A正确，故选：A．【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为()A.47m B.51m C.53m D.54m【答案】B【解析】【分析】由题意易得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．【详解】根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，∴∠ADB=∠DBC-∠A=30°，∴∠ADB=∠A=30°，∴BD=AB=60m，∴CD=BD•sin60°=60×=30≈51（m）．故选B．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键．14.如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案．【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．

则DE∥AB，

∴∠APC＝∠EDC．

在△DCE中，有，，，∴，∴是直角三角形，且，∴cos∠APC＝cos∠EDC＝．

故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．15.图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A.(54+10)cm B.(54+10)cm C.64cm D.54cm【答案】C【解析】【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．【详解】如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE=AC=×54=27（cm），同理可得，BF=27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），故选C．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题16.如图，P是反比例函数图象上一点，过P作x轴的垂线，若，则反比例函数的表达式为___________．【答案】【解析】【分析】因为过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得三角形面积是个定值，即，从而可得出的值，即能得出函数的解析式．【详解】解：由题意得：，，又函数图象在第二、四象限，．则该双曲线的解析式为：．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，属于一般性题目，解答本题的关键是掌握过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得三角形面积是个定值，即．17.已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．则sin∠ACB_______．【答案】【解析】【分析】作BD⊥AC,交CA的延长线于D,由∠BAC＝120°，得到∠BAD=60°,根据含30°的直角三角形三边的关系得到AD=5,BD=5,再根据勾股定理计算出BC=5,然后利用正弦的定义求解.【详解】解：作BD⊥AC交CA的延长线于D,如图,∵∠BAC=120°,∴∠BAD=60°,

在Rt△ABD中,∠ABD=30°,AB=10,∴AD=AB=5,BD=5,∴CD=AC+AD=5+5=10,在Rt△BCD中,BC==5,∴sin∠ACB===.【点睛】本题考查了解直角三角形,中等难度,构造直角三角形,在直角三角形中利用边长表示出正弦值是解题关键.18.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_____m（结果保留根号）【答案】40【解析】【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系即可得出答案．【详解】解:由题意可得：∠BDA=45°，则AB=AD=120m，又∵∠CAD=30°，∴在Rt△ADC中，tan∠CDA=tan30°=，解得：CD=40（m），故答案为40．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA=tan30°=是解题关键．19.如图，点B是反比例函数y＝图象上的一点，矩形OABC的周长是20，正方形OCDF与正方形BCGH的面积之和为68，则k的值为_______【答案】16【解析】【分析】设B点坐标为(x，y)，根据题意得到，，再利用完全平方公式可得到xy=16，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义即可得到答案．【详解】设B点坐标为(x，y)，则OC=y，BC=x，根据题意得：，，∴，∴，即，∴，即矩形OABC的面积是16，∴，∵反比例函数图象在第一象限，∴k=16．故答案为：16．【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征，完全平方公式的运用，反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握k的几何意义及完全平方公式是解题的关键．20.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与图数y＝的限象交于A（﹣2，a），B两点．（1）写出a，k的值________；（2）已知点P（0，n），过点P作平行于x轴的直线l，交函数y＝的图象于点C（x1，y1），交直线y＝﹣x+1的图象于点D（x2，y2），若|x1|≤|x2|，结合函数图象，请写出m的取值范围________．【答案】①.】a=3，；；②.或．【解析】【分析】（1）将点代入，得出点的坐标，再代入函数，即可求出的值；（2）求出点的坐标，结合函数的图象即可求解．【详解】解：（1）直线与函数的图象交于，把代入解得，．把代入，解得；（2）画出函数图象如图解得或，，，根据图象可得：若，则或．故答案为：（1）a=3，；（2）或．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．三、解答题21.计算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键；（1）先计算绝对值，代入特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简二次根式，零次幂，再计算乘法运算，最后合并即可；（2）先代入特殊角的三角函数值，再计算乘方运算，乘法运算，再合并即可．【小问1详解】解：．【小问2详解】．22.小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE=0.4米．（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．（2）如果BF=1.6，求旗杆AB的高．【答案】(1)见解析(2)8m【解析】【分析】（1）利用太阳光线平行光线作图：连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求；（2）证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．【详解】（1）连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图；（2）∵AF∥CE，∴∠AFB=∠CED，而∠ABF=∠CDE=90°，∴△ABF∽△CDE，∴，即，∴AB=8（m）,答：旗杆AB的高为8m．23.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.(1)求线段CD的长；(2)求cos∠ABE的值．【答案】（1）5；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB=10，然后由已知D为斜边AB上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cos∠ABE=，则求余弦值即求BE，BD的长，易求得BD=5.再利用等面积法求BE的长.试题解析：(1)在△ABC中，∵∠ACB＝90°，sinA＝，而BC＝8，∴AB＝10.∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝5.(2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6.∵D是AB中点，∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，∴S△BDC＝S△ABC，即CD·BE＝·AC·BC，∴BE＝.在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝＝，即cos∠ABE的值为.点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用锐角三角函数来求；若这些方法均不可行，又是求高或已知高长度则可利用等面积法来求.24.如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；（3）直接写出当x＞0时，关于x不等式kx+b＞的解集．【答案】（1）y=x+，y=；（2）△AOB的面积为；（3）1<x<3【解析】【分析】（1）将点A(1，2)代入y=，求得m=2，再利用待定系数法求得直线的表达式即可；（2）解方程组求得点B的坐标，根据，利用三角形面积公式即可求解；（3）观察图象，写出直线的图象在反比例函数图象的上方的自变量的取值范围即可．【小问1详解】解：将点A(1，2)代入y=，得m=2，∴双曲线的表达式为：y=，把A（1，2）和C（4，0）代入y=kx+b得：y=，解得：，∴直线的表达式为：y=x+；【小问2详解】解：联立，解得，或，∵点A的坐标为（1，2），∴点B的坐标为（3，），∵=，∴△AOB的面积为；【小问3详解】解：观察图象可知：不等式kx+b>的解集是1<x<3．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，学会利用分割法求三角形面积．25.为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射