5.5.2简单的三角恒等变换（第2课时）（教师版）2023-2024学年人教版高中数学必修一

5.5.2简单的三角恒等变换（第2课时）【学习目标】1.理解辅助角公式的推导过程．2.会用辅助角公式对的形式进行合一变换．3.会利用三角函数公式对三角函数式进行化简、求值和证明．【教材知识梳理】辅助角公式：，其中______.概念辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)．()(2)若，则的值唯一．()(3)若，则.()(4)也可以变形为的形式.()【答案】概念辨析：(1)√(2)×(3)×(4)√【教材例题变式】例1.（源于P227例9）求下列函数的最值：(1)；（2），.【答案】(1)，故的最大值为，最小值为.（2）∵，∴∴∴，即，故的最大值为2，最小值为1.归纳：对于形如asinx＋bcosx(a，b不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为Asin(x＋φ)的形式．即asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2).令cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，原式＝eq\r(a2＋b2)(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).运用辅助角公式，必须满足三个条件：同角（均为x）；齐一次（均为一次的）；正余全（一个是sinx，一个是cosx）.例2.（源于P227例10）在扇形中，，，按如图Ⅰ、图Ⅱ两种方式有内接矩形.①如图Ⅰ，矩形的顶点、在上，顶点在弧上，顶点在上，记.②如图Ⅱ，点是弧的中点，矩形的顶点、在弧上，且关于直线对称，顶点、分别在、上，记.分别计算①②两种方式下矩形面积的最大值，并比较两个最大值的大小.【答案】在①中，在扇形中，，，，其中，，，所以，，所以，，因为，则，所以，当时，即当时，四边形的面积取得最大值；在②中，在扇形中，，，，其中，设与的交点为，与的交点为，则，，，，所以，，，则，所以，当时，即当时，矩形的面积取得最大值，，所以，第①中方式下矩形面积的最大值更大.【教材拓展延伸】例3.计算：（1）________.（2）_______.【答案】（1）1（2）【详解】（1）.（2）.例4．（1）函数的图象关于直线对称，则的值为（

）A．1 B． C． D．（2）已知函数（，为常数，，）的图象关于对称，则函数是（

）A．偶函数且它的图象关于点对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点对称【答案】（1）D（2）D【详解】（1）由辅助角公式得，其中，当时，，解得：，则.故选：D．（2）∵函数的图象关于直线对称，∴，平方得，即，则，，则，又，则为奇函数，且图象关于点对称，故选：D．例5．已知函数（1）将函数化简成的形式，并指出的周期；（2）求函数上的最大值和最小值【答案】（1）f(x)=sinx+.故f(x)的周期为2kπ，且.（2）由π≤x≤π，得.因为f(x)＝在[]上是减函数，在[]上是增函数.故当x=时，f(x)有最小值－；而f(π)=－2，f(π)＝－＜－2，所以当x=π时，f(x)有最大值－2.【课外作业】基础过关1．函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为（

）A． B． C．π D．2π【答案】C【详解】∵y＝2＝2sin，，故选：C.2．函数的最大值为（）A． B． C． D．2【答案】A【详解】，故选：A.3．若，，，则下列结论正确的是（

）A．B．C． D．【答案】A【详解】因为，.又，所以.故选：A.4．函数的值域是（

）A．B．C． D．【答案】C【详解】，∵，∴，∴．故选：C．5．设函数=（＞0，＜）的最小正周期为，且=，则（

）A．在单调递减 B．在单调递减C．在单调递增 D．在单调递增【答案】A【详解】由题意，因为函数的最小正周期为，且=，所以，且=，解得=2，=，又，所以=，所以==，当时，，故在上单调递减，故A正确，C错误；当时，，故在上不单调，故B、D错误.故选：A.6．（多选）若，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】因为，，故，故的值可能为．故B，C错误.故选：AD.7．若函数的最大值为2，则常数的一个取值为________．【答案】（均可）【详解】因为，所以，解得，故可取.故答案为：（答案不限）.8．当函数取得最大值时，________．【答案】【详解】，且，∴，∴当，即时，函数取最大值2．故答案为：9．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）因为，故最小正周期为.（2）因为，所以．

于是，当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值．能力提升10．已知，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，得，则，则.故选C.11．（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．的最大值为2 B．的最小正周期为C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称【答案】ABC【详解】因为，所以，故B正确.将代入，可得，则其图像关于直线对称，故C正确.当时，，所以的图像关于点对称．故D错误.故选:ABC.12．（多选）已知函数，其中，，，是常数，若对任意恒有，则下列判断一定成立的有（

）A．B．C． D．【答案】AC【详解】因为，且对任意恒有，所以，A正确；当时，对任意恒有，但，，B错误，D错误；令，则，，，所以，所以，所以，故，C正确；故选：AC.13．求值：____________．【答案】【详解】．故答案为：.14．如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点A到，是直线上异于点的一动点，作，且使与直线交于点.则的最大值为___________.【答案】【详解】设,，则在中，，，所以，在中，，，所以，所以，其中，所以的最大值为