波导器件中有限差分光束传播方法研究

Ⅳiii●l哪坩眦j■I萋霎4卅j1Ⅲ9呻《著作权法》规定范围内的学位论文使用权，即：(1论文，并编入《南开大学博硕七学位论文全文数据库》；(2以将公开的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校Ⅳiii●l哪坩眦j■I萋霎4卅j1Ⅲ9呻《著作权法》规定范围内的学位论文使用权，即：(1论文，并编入《南开大学博硕七学位论文全文数据库》；(2以将公开的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论录检索、文摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务；(3大学向教育部指定单位提交公开的学位论文；(4研究所和中国学术期刊(光盘)电子出版社提交规定范周的学位论文及其电子版并收入非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文论文电子版提交至校图书馆网站：http：／／202．113．20．161：8001／index．htm辩；提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留作者暨授权人签字光波导器件中的有限差分光束传播方法研论文题赵子 学姓答辩日 2010年05月25院睬噘博士 硕士专业学位高校教师同等学力硕物理科学专1zhaoziyul通信地址(邮编)：天津市南开大学第五教学楼315备注否馆，非公开学位论文须附《南开大学研究生申请非公开学位论文审批表》中文摘随着光通信和光子集成光路(PICs)的发展，各类光子器件中文摘随着光通信和光子集成光路(PICs)的发展，各类光子器件的设计越来复杂，已经不可能通过直接求解Maxwell方程组来得到解析解，而必须借助数值计算的方法来进行求解。计算机技术的高速发展，使得计算机辅助设(CAD)工具在设计和模拟光电子器件中所起的作用越来越大，在这些工具中，有限差分光束传播方法(FD．FDM)已经成为分析光束在光波导中直角坐标系中的广角有限差分光束传播方法(RCS—WA—FD·BPM倾斜角度小于20。的光波导结构时，所得结果可以很好地描述实际光束在中的传播，但是当波导的倾斜角度较大时，这种方法得到的结果就会出现的误差，这主要是由数值计算的方向和光束传播的方向不一致所造成的。这一问题，T．Anada提出了倾斜坐标系中的有限差分光束传播(OCS．FD．BPM折射率的阶梯近似所带来的误差：另外，该方法可以使光波导始终处于计口的中央，所以在模拟中可以采用较大的网格来节省存储量和计算时法还可以用于三维倾斜光波导，所得结果在精度和收敛性方面都得到了很种改进的有限差分方法(IFD)，这种方法考虑了介质分界面处折射率的跃变全矢量波动方程中的二阶偏导数算符和混合偏导数算符都做了改进，并将其用于光束传播方法中。计算结果显示，IFD．BPM算法在精度和收敛性方面都另外本文还对数值边界条件进行了讨论，充分说明理想匹配层(PML)任意角度的入射光束都适用。所以，PML边界条件是一种很有效的边界法，可以进一步提高数值仿真的精度communicationWithphotonicofphotonicdevicesbecomesandcircuits(PICs)，thesolvetogetIthasequationsnumericalmethodtosolveweshouldresorttodevelopmentofplayanimportantdevices．Inindesignfinitedifferencemethod(FD-techniquesusedfortheanalysisoflightofthestandardwaveguide．TheoftheFD-BPMimplementationitsfastfinitecommunicationWithphotonicofphotonicdevicesbecomesandcircuits(PICs)，thesolvetogetIthasequationsnumericalmethodtosolveweshouldresorttodevelopmentofplayanimportantdevices．Inindesignfinitedifferencemethod(FD-techniquesusedfortheanalysisoflightofthestandardwaveguide．TheoftheFD-BPMimplementationitsfastfiniteusethewidethealimitof20whenthetiltedanglewillbeabiginthisoflightduetothedirectioninwhichtheFD—whenthetiltedangleislager．Thistoforward adirectionofintheobliquethenumericalnumericalOCS·FD—andtheandeliminatedirectionstair-Canofthecalculationtherun—time．OnSOwecanuseamuchcoarsermeshsizetothe3-DsolutionhasbeenextendedinaccuracyAsfieldtheinterfaceofthecontinuitymethodsimulatearticleweintroducestrongmethodwhichbecombinedattheBPMdiscontinuitiesofrefractiveinterfaceusedtoevaluatesecondderivativesandmixedderivatives伽l—showstheuseofIFD—BPMachievesmethodwhichbecombinedattheBPMdiscontinuitiesofrefractiveinterfaceusedtoevaluatesecondderivativesandmixedderivatives伽l—showstheuseofIFD—BPMachievesresults．Sotocanuseinactualalsohaveaccessedthenumericalboundaryconditionsinfullyabsorbwaves、Ⅳithoutout—Thisconclusionisvalidwavesconditionandisusedfrequencies．Therefore．PMLisanumerical words：OpticalWaveguide，Finite—DifferenceMethod，Beam-MatchedMethod，Oblique-Coordinate目第一章绪论第一节研究背目第一章绪论第一节研究背景和意义⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．1第二节光波导件中的数值方法概述⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．21．2．1时域有限差分方1．2．2有限元方法1．2．3光束传播方法第二章介质光波导的电磁场理论2．1．1麦克斯韦方程组2．1．2电磁场的边界条件⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯72．2．2矩形电介质波导第一 电磁场的波动方程3．1．2三维全矢量有限差分光束传播方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20第二节目3．3．1透明边界条件3．3．2目3．3．1透明边界条件3．3．2理想匹配层边界条件⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯28第四节倾斜标系中的光束传播方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．323．4．1二维倾斜坐标系的光束传播方法3．4．2三维倾斜坐标系中的光束传播方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯36第五节值计算结果分析⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．383．5．1平板电第四章改进的光束传播方法第五章总结与展望参考文献致谢个人简历V随着光通讯和光信号处理的发展，光子集成技术也受到了人们的普遍关注而介质光波导在光子集成光路(Photonics件中可以对光束进行限制和传输，所以对随着光通讯和光信号处理的发展，光子集成技术也受到了人们的普遍关注而介质光波导在光子集成光路(Photonics件中可以对光束进行限制和传输，所以对介质光波导的理论分析对于设计和介质光波导可以分为圆光波导(光纤)、薄膜波导和带状波导三类。圆光导主要用于光通信，其传输特性是衰减小、频带宽和抗干扰能力强；另外圆光波导对外界的温度、压力等因素非常敏感，所以它还可以制成光纤传感器用于测量温度、压力、声场和电场等物理量；用光纤组合而成的光纤束用来传输光能量和图像，并在纤维面板、纤维内窥镜、微型镜头等光纤器得到了广泛的应用【J】。薄膜波导和带状波导主要用来制作各种集成光学器件如激光器、光耦合器、调制器、光偏振器、滤波器等；在光子集成光路中两类波导还可以用作连接器将同一衬底上的各种分立元件连接起来以实现功能‘¨在介质光波导中只有本征模式可以限制在导波层内向前传播，因此对光定向耦合调制器需要光波导在单模条件下工作，而多模干涉型光子器件则要光波导在多模的条件下工作【2】。然而，只有少数几种结构简单的光波导，如板电介质波导、阶跃折射率光纤，才可以得到解析解，而对于其它三维光波和一些折射率分布比较复杂的光波导，如条形介质光波导、周期性光波导、支光波导等，则很难得到严格的解析解，所以只能借助于数值计算的方法来行分析和研究质光波导的数值模拟中比较常用的方法有：时域有限差分方法(Finite—第一章绪时域第一章绪时域有限差分方时域有限差分方法【31，14](Finite．DifferenceTime．Domain，FDTD)K．S．Yee于1966在FDTD算法中，电磁场的空间排布如图1．1．1所示，4x，砂和止分别X，Y，z每个磁场分量周围有四个电场分量，电场和磁场在时间上交替分布。通过解变换为频域上的解z图1．1．1Yee三维网2第一章绪中由于传输光波的波长都很短，所以为了准确描述光波的传输特性，需要第一章绪中由于传输光波的波长都很短，所以为了准确描述光波的传输特性，需要体力学中，而后又逐渐用来求解电磁场问题。其基本思想是：将计算区域划成许多三角形网格和矩形网格，通过对每个区域的函数进行插值，用变分法微分方程的边值问题转化成变分问题或泛函极小值问题来进行求解。虽然在处理存在反射的光波导器件时所得结果的精确度很高，但是计算时间却很长1．2．3Method，BPM)最早是由Feit和想是：将计算区域沿光束的传播方向分成Ⅳ份，每一份的步长是止，根据已的入射光场和波导结构来求解z刊z层的光场分布，再将所得到的光场分布为初始值来计算下一层的光场分布，这样依次逐步计算，就可以得到整个中的光场分布情况最早，BPM是以快速傅里叶变换(Fast．FourierTransform，FFT)为数学段来实现的，FFT-BPM的基本思想是：将光场沿横向离散后，利用FFT将际空间中的场分布变换到频域空间，在传输距离心后，再利用FFT的逆变将频域空间变换到实际空间，其中介质的不均匀性可以表示为折射率对相位修正，这样依次逐步计算，就可以将整个光波导中的场分布描述出来了【6】。y(x，Y，z+△z)=尸卿3第一章绪(1)FFT-BPM是在波导横向折射率差很小的情况下推导出来的，其相修正部第一章绪(1)FFT-BPM是在波导横向折射率差很小的情况下推导出来的，其相修正部分用Taylor级数展开的一阶近似来表示，所以FFT-BPM只适的整数次幂，所以FFT-BPM不能用于分析结构复杂的介质光波导(4)FFT-BPM源于标量波动方程，所以这种方法只能得到标量场的分情况，而对于电磁场的矢量特征，如波导器件的偏振相关和偏振耦合性质针对FFT-BPM存在的上述缺点，Hendow和Shakir在1986年提出了差分光束传播方法161(Finite．DifferenceBPM，FD—BPM)。最初，FD—BPM只用于柱对称结构，后来Chung和Dagli等人又将其应用于直角坐标系中【7J上的电磁场可以根据差分公式用附近格点上的电磁场来表示，然后加入边整个光波导中的光场分布情况将FD．BPM和FFT-BPM所得结果进行比较，我们发现FD．BPM的计算果更精确、计算效率更高，并且横向格点数可以任意选取，所采用的网格还以是不等间距的，这样就可以进一步提高计算的精度和计算的效率，另外传统的FD．BPM是以Crank．Nicholson(C．N)格式对波动方程进行离散，其FD．BPM，WA．FD．BPM)、基于算符分裂法【16】的(OperatorFD．BPM，NPSS．FD．BPM)FD-BPM(Exponential7-4第一章绪Condition，TBC)和吸收边界条件(Absorbing处理光束在计算窗口边界处所产生的反射第三第一章绪Condition，TBC)和吸收边界条件(Absorbing处理光束在计算窗口边界处所产生的反射第三 本文首先根据介质光波导的电磁场理论给出了平板介质光波导和矩形介光波导中本征模式的解析解；接下来又研究了有限差分光束传播方Coordinate三维倾斜光波导结构中的传播；最后本文又对有限差分方法作了改进，并将应用于全矢量光束传播方法中，所得结果可以精确说明实际光束在介质光波5第二章介质光波导的电磁场理介质光波导是一种可以将光波限制在其第二章介质光波导的电磁场理介质光波导是一种可以将光波限制在其内部或表面附近沿一定方向传播其传输光的波长通常处于可见光和近红外波段范刮介质光波导按结构可以分为平板光波导、条形光波导，圆光波导等，但而对于其它结构的光波导，如矩形波导和脊形波导，则无法用解析法精确而只能借助于数值计算的方法按折射率分类，介质光波导可以分为弱光波导和强光波导。对于弱光波来说，其截面折射率的最大值和最小值之间的变化很小，通常都小于最小1％以采用标量近似来进行求解；但是对于强光波导，由于芯层与包层的较大，标量近似已经不能正确反映电磁场的本质特征，而必须对全矢量波2．1．1麦克斯韦方程．『『，朋，．．国．吟馏．其中，云、厅、西、云、t7、P分别表示电场强度、磁场强度、6第二章介质光波导的电磁场理量、磁感应强度、电流体密度和电荷体密度要想从给定的电荷和电流的第二章介质光波导的电磁场理量、磁感应强度、电流体密度和电荷体密度要想从给定的电荷和电流的分布情况来唯一地确定各个场矢量，还必须麦克斯韦方程组补充一组描述物质在电磁场作用下的特性关系的物质方Equations)。对西：歹：其中，∥是电导率，电容率￡和磁导率∥可以表示为：￡=辨￡o和∥o分别是真空中的电容率和磁导率，￡，和肼分别是介质的相对电容率和对磁导率。对于真空，矗=l，胁=1，对于非磁性介质，肼=l。如果真空光速用c表示，则有：c2=1／(s叫o)，介质的折射率可以表示为：H2口=∑毛E=∑心电磁场的边界条在介质分界面上所满足的边界条件7第二章介质光波导的电磁场理＼啊图2．1．1两种介质的分(1)电场强度即五第二章介质光波导的电磁场理＼啊图2．1．1两种介质的分(1)电场强度即五×(El—(2)磁场强度五南×(q一皿即这表示磁场强度的切向分量在界面上连续(3)电位移矢量的法向分量所满足的关系疗·(Dl—风表示分界面上的面电荷密度，如果界面上没有面电荷(Ps---0)，则而·(q一这表示电位移矢量的法向分量在界面上连续(4)磁感应强度的法向分量在界面上连续即2．2．1平板电介质波如图2．2．1所示，平板电介质波导是由导波层、覆盖层和衬底三部分组成8第二章介质光波导的电磁场理％和％的覆盖层和衬底，它们之间满足：以第二章介质光波导的电磁场理％和％的覆盖层和衬底，它们之间满足：以。D>‰≥％。当‰=‰时，我们称／／％积％0-平板介质光波导的示意体当介质中没有自由电荷和自由电流(p=o，歹：0)时，对于一般的时谐Equations)(飞一弧，一／伽IL‘L面两组彼此独立的方程组9第二章介质光波导的电磁场理(pEy=一一昙2，掣L(flHv=OF,E第二章介质光波导的电磁场理(pEy=一一昙2，掣L(flHv=OF,ELjflE,,一—O-在第一组方程里含有电磁场分量母，风和总，其中电场的方向垂直于分量耳，反和丘，其中磁场的方向垂直于波的传播方向，这种传播模式叫由(2．2．3)式和(2．2．4)式可以得到TE波中的母和TM波中的q所满堕Ox2+(刀2碍一∥2)B=∥由上式可以看出，在平板介质光波导中，当nsko<fl<ncoko是正弦函数和余弦函数的叠加，称为振荡型解，而覆盖层和衬底中的解则是指数形式衰减的解，这样光波就可以限制在导波层内传播，我们把这种模式的切向分量B和总在介质分界面处连续；对于TM波，凰和E在介质分第二章介质光波导的电磁场理TM由以上分析可知，第二章介质光波导的电磁场理TM由以上分析可知，平板波导中TE模的电磁场分量分别是母、风和尼，删f．4exp(乃I髟Lexp[一乃(x—4y：=属鬲7=‰隔7，=痧‘丽=‰—2—4cos(Y2Wo+一托4sin(yzWo+6t)=一托wo=聊刀+arc伽rk且Y2])+arc伽(尝]，胁=。^2，⋯c22-第二章介质光波导的电磁场理或托％=c朋+t，／g'--arc伽(鲁)一arctan(尝]，历=。第二章介质光波导的电磁场理或托％=c朋+t，／g'--arc伽(鲁)一arctan(尝]，历=。这就是平板波导中TE模的本征值方程，其中m是模序数，表示电磁场在导层中的节点数。通过求解本征值方程可以得到相应模式的传播常数∥，进与TE导模类似，TM导模的电磁场分量分别是风，晟和丘，磁场强度rI巧eos(y2x+a)0≤x≤wo．根据风在x=0和X--'WD处所满足的边界条件，可以得到各系数之间所满足(2．2舶一等CI2老c2咖薏C2sin(儿％+口)。等一嬲+arctan愀／-'Y--)|+arc胁降黔⋯^2，⋯汜2胞或第二章介质光波导的电磁场理通过求解TM模的本征值方程第二章介质光波导的电磁场理通过求解TM模的本征值方程可以得到各模式所对应的传播常数p，进而各模式的场分布2．2．2矩形电介质波光束在平板介质光波导中传播时，仅在一个方向受到限制，而沿另一个向是发散的，虽然可以利用薄膜透镜使发散光束会聚，但仍然受到衍限制，所以很难构成好的光路系统【11用矩形电介质波导来对光能量进行限制在研究光束在矩形电介质波导中的传输时，需要求解复杂的三维电磁场动方程，所以很难得到严格的解析解，而只能采用数值计算的方法或近似的方法来进行求解，下面简要介绍一种简单而又实用的近似解析法：有效率法【1训(EffectiveIndexMethod，EIM模(以。模)。联。模的电矢量近似指向X方向，其主要的电磁场分量是层耳；％模的电矢量近似指向Y方向，其主要的电磁场分量是毋和Hx。在弱波导中，E。模和以。模的同阶数模式是简并图2．2．2矩形介质波导的横第二章介质光波导的电磁场理矩形介质波导的截面如图2．2．2所程警+矿02Iff+(蠕∥)y=。第二章介质光波导的电磁场理矩形介质波导的截面如图2．2．2所程警+矿02Iff+(蠕∥)y=。由此可见，EIM是将矩形电介质波导分解成如图2．2．3所示的两个平板质波导，它们分别在Y方向和x方向对光束进行限制，将由平板波导(a折射率坳沙啊＼／】仡(b)J方向受限的平板波(a)J，方向受限的平板波图2．2．5有效折射率法的两个等效平板第二章介第二章介质光波导的电磁场理各种本征模式的电磁场分布第一 电磁场的波动方V昏等等+V(丁Vnj云2霄一垂罂+辈v×疗第一 电磁场的波动方V昏等等+V(丁Vnj云2霄一垂罂+辈v×疗v n其中，折射率一是空间坐标的函数云(尹，f)=豆。(尹)P嘲豆(尹，f)=豆o(尹)P嘲将上式代入(3．1．1)和(3．1．2)式V2厅+月2K。2仃--+了V以上两式已经把复振幅函数扇(尹)和或(尹)改写作丘和豆。假设电磁波是沿着即2计+等+等崭碍E+鼬芳E)．0㈣rF磁场强度厅部分即2计+等+等崭碍E+鼬芳E)．0㈣rF磁场强度厅部分等膏珊刳+等材％2以+了1万锄iaHy=刀2弗针等+等崭蛳ian2可aHxVaryingEnvelopeApproximation，SVEA)下露Hx(x,y瓣,z)-隐期州嘲‰将(3．I．9)和(3．I．10)式代入方程(3．1．7)和(3．1．8)可得第二章有限差分光束传播方Il-了1瓦aL刀2纯)第二章有限差分光束传播方Il-了1瓦aL刀2纯)】+等+(疗2一％2J％2岛哆=誓+瓦ll-了1瓦aL刀哆)I+(刀2一％2J％2厶织=品陆昙(n29,，)l_瓯吟=軎等毛徊2丢陪卦等m2硼瑶霞丸=了1百an2石aEquations)这就是电磁场所满足的全矢量波动方程(Full-岛、&或岛、甄分别表示电场强度云或磁场强度厅的x分量和y分量之在大多数情况下，介质光波导中电磁场的互耦合作用都非常小，将其忽Wave就可以得到半矢量波动方程(Semi—m昙卫cOz2心=molm鲁一铫晰班量都是独立的，可以独立进行求解zizi百在傍轴近似略方程(3．1．11)和(3．1．12)中的二阶偏导数项I导l，就可得到傍轴近似下动方程(PAWave-2矾‰瑚=匮Ⅻ2风‰瑚=[台如限2风‰罢=窘+等m2吲@3．1．2三维全矢量有限差分光束传播方目前，人们已经提出许多种FD．BPM方法来分析光束在三维光波导器的传播，其中大多数方法是用3．1．2三维全矢量有限差分光束传播方目前，人们已经提出许多种FD．BPM方法来分析光束在三维光波导器的传播，其中大多数方法是用来求解标量和半矢量波动方程的，这些算法对波导来说是一种很好的近似，但是对于强光波导和一些偏振相关或偏振耦合件来说，标量近似和半矢量近似已不能准确描述电磁场的传播特性，这时要对全矢量波动方程进行求解全矢量有限差分光束传播方法FD．BPM，FV-FD-BPM)初是采用迭代算法【2l】来进行求解，为了保证计算的精度，该方法在求解过程需要进行多次迭代，这就导致了计算时间长和储存量大的问题，并且当差分 Full-HENI．FV-FD．BPM)来求解傍轴近似下的全矢量波动方程，其结果在z方向的度是oog)，该算法采用ADI格式将差分方程分解成四个方程，其系数矩阵别是两个三对角矩阵、一个上三角矩阵和一个下三角矩阵，这样就可以Thomas追赶法和回代法快速求解【25l。将方程(3．1．16)写成下面的形式(．121瑟JL其中：缈=[织吼]’表示电场强度的横向分量仇、纷，【-PJ是2×2的算矩阵，其各元素表示如+．P++。州=十+．虬际卜O．呓弦．M．O．磁J席=瓦a【-F≯1瓦O(乒露=等+扣彭+轷席=瓦a【-F≯1瓦O(乒露=等+扣彭+轷瓦a(∽1砂a(∽·))盯=2ino七y璧=昙[专昙c乒)]+三y=露+i1[·一尝(也+也+以+以)+(尝)2。(啦)一(等)3。(线)+(尝)4。=[-+尝(也+以+以+也)+(罢)2。(嘭)+(尝)3。(嘲)+(丢)4。(吃oL翻乱=翻。妇碍+嘲晴嘲哆七嘲。翻旺+嘲咿翻眄+l。l瞄翻眄+嘲哆翻也都收敛于0，所以该算法在传播方向上的误差仍保留在ooz2)。采用ADI(·一箬也)旷”=(·+鱼20-肪zv)少(卜2ho"‘yy]∥1+2／4=(·+尝亿㈦第二章有限差分光束传播方(卜尝亿)旷班=(，+罢也)旷(t一尝也)旷第二章有限差分光束传播方(卜尝亿)旷班=(，+罢也)旷(t一尝也)旷1=(-+罢亿)旷剐将其写成分量的形式一尝毒疗¨+(·一石Azy]砖班=万Az吩e2吼l+(·+石一尝《矽¨+(-一石Azy)缈牡=尝露彰+(·+石Azy)一去影秽v2+(，一石Azy)∥2=丢簿碟牡+(-+石y)∥y)(3．1-d-_矿∥纠4=互／k盯矽1=万AT．％g,2织I+l+矽纠上述方程可以用Crank—Nicolson分别是三对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵，这样就可以大大降低计算过波动方程的离散方程3．2．1在用FD．BPM方法分析研究光束在介质光波导中的传输特性时，要求以导的本征模式作3．2．1在用FD．BPM方法分析研究光束在介质光波导中的传输特性时，要求以导的本征模式作为入射场，下面我们采用虚距离方法【Method，IDM)来获得介质光波导所承载的本征模式其中，m是本征模式的模序数，Em(x,y)表示第m阶本征模式，％和厶分别示第m阶本征模式所对应的振幅和本征值，如和相应的有效折射率‰之虚轴(zi弦)时，(3．2．1翻+业坐等掣趟高阶模将以指数形式很快被衰减掉，而只留下基模【291。其相应的有效折射率矩形光波导的本征模式分考虑如图3．2．1所示的矩形介质光波导吲，波导芯层的宽度是：Wox-- lam图3．2．1矩形光波导的横 lam图3．2．1矩形光波导的横}Xl≤0．5,um且I少lrL其图3．2．2是根据HENI．FV-BPM方法得到的该光波导所承载的准TE基模准TM基模的归～化有效折射率B随传播距离r的变化关系，模拟过程中的数分别是：横向步长：Ax=dy=0．02,um，纵向步长是：zlz=0．021．tm。从以看出，初始激励在传播10／．zm后就可以得到收敛解，并且在传输过程中，TE基模的归一化有效折射率BrE略大于准TM基模的归一化有效折射率传播距图3．2．3给出了准TE基模和传播距图3．2．3给出了准TE基模和准TM基模的电场分布，从图中可以看出电的法向分量在芯层和包层的分界面处是不连续的，并且主分量(TE模：Ex、模：风)只在波导的中心有一个峰，而次分量在波导的角上各有一个峰，这现象揭示了介质光波导全矢量本征模式的混合特征。而半矢量波动方程Wave．Equation)由于忽略了晟和局之间的耦合效应，所以只能得到主分量图3．2．3矩形光波导所承载的准TE基模(a)和准TM基模图3．2．3矩形光波导所承载的准TE基模(a)和准TM基模器件总是有一定的大小，并且数值计算中所选取的计算窗口也是有限的，光在传输过程中在边界处会产生反射，其反射波和介质中的传播场发生干涉，而大大降低了计算的精度，所以我们需要在计算窗口的边界处加入特殊的数Condition，TBC)和理Condition，PML)Layer透明边界条透明边界条件(TBC)是由Hadley在研究广角光束传播时提出的，该边如图3．3．1所示，点Xl、X2、⋯⋯Xm．I、‰表示横向格点的分布，其中p=1p=m两个格点在计算窗口的边界上，p=0和p--m+l是在计算窗口p翟⋯一‰图3．3．1横向格点的分1、左边界(Left-Handp翟⋯一‰图3．3．1横向格点的分1、左边界(Left-Hand上式两两相除，可得exp(jk，Ax)：媚％令踞l=化／伊1，贝IJp=0处的呱该是负数，如果是正数时，意味着波在左边界处发生反射，那么此时就应正号变为负号数来表示其中trim=妒坍／(Om数来表示其中trim=妒坍／(Om 理想匹配层边界条理想匹配层(PML)边界条件是Berenger在用时域有限差分方法求解麦克斯韦方程组时提出的，后来人们又将其应用于有限差分光束性介质，该介质可以吸收入射波而不会产生反射，如图3．3．2所示等+等耐《2髟=㈣相应的波动方程可写为等+等耐《2髟=㈣相应的波动方程可写为1⋯PML中要求毋、(1一，吒／缈岛门；)～吗／缸和(1一／吒／国民甩；)．1哆／瑟在界面处续分布分别是丸=(1-jo'+ffCOson2p)np‰cos吒=(1一sin01(1-ja,：IcoEon2p)=sin02(1一衄：／缈氏3COS鼠+COS由此可见，如果PML介质的各向异性电导率仃平行于界面的分量嚷或处处相等时，电磁波在PML中就不会产生反射波，这一结论对任意入射角度髟：=exp[_jnpk0(XCOS口+zsin秒)]．eXp[一0"2，嵋’c刚佤石由此可以看出，PML中电场的z分量和真实介质中电场的z分量可以完全匹配髟：=exp[_jnpk0(XCOS口+zsin秒)]．eXp[一0"2，嵋’c刚佤石由此可以看出，PML中电场的z分量和真实介质中电场的z分量可以完全匹配吒=‰(p吒，，、51＼／伊(x，0)=exp(一x2／<002)，其束腰半径是：too=3．0肛m，横向和纵向的步长分别是tan，Az--0．5岬，在计算过程中采用广角有限差分光束传播方5g昌0【z图3．3．3透明边界条件对泄露波的吸收(p=10。轴成10。的角度传播，从图中可以看出，TBC对于傍轴近似和低阶广角近似说可以轴成10。的角度传播，从图中可以看出，TBC对于傍轴近似和低阶广角近似说可以对泄露波有效地吸收，但是随着广角阶数的增大，计算窗口对泄露波反射也逐渐增强，这就使得算法的精度大大下降，所以TBC不适合5∞0【gmZ图3．3．4高斯光束与z轴的夹角是10(点线：TBC实线呈050z图3．3．5高斯光束与Z轴的夹角是45图3．3．4和3．3．5分别表示高斯光束以lOo和450的角度入射时的场分布，出，TBC边界条件在小角度入射时所产生的反射很小，但是随着入射角度的出，TBC边界条件在小角度入射时所产生的反射很小，但是随着入射角度的大，在计算窗口处产生的反射波将严重影响本征模式的传播；而PML边界件无论是对小角度入射还是大角度入射，都可以对泄露波进行有效的吸收。FD．BPM是光子集成光路和光子器件设计和模拟的重要工具之一是计算简单且收敛速度快，但是由于FD．BPM是对Helmholtz方程的近似，以它还存在一些缺点，并不能精确地反映光束在光波导中的传播。因此，人在直角坐标系中我们假设光束是沿着Z轴方向传播，而实际的光束则是导的轴向传播，所以传统的FD．BPM限制了波导的倾斜角度只能在100以内了直角坐标系中的广角有限差分光束传播方法【ll，12J(RCS-WA-FD—BPM针对RCS．WA．FD．BPM方法中存在的缺点，tAnada[36J等人于1997出了倾斜坐标系中的有限差分光束传播方法(OCS-FD-BPM由折射率的阶梯近似所引起的误差，并且在倾斜坐标系中可以使光波导始终于计算窗口的中央，所以在数值模拟中可以减小计算窗口的大小，并且还采用较粗的网格以提高计算效率二维倾斜坐标系中的光束传播方可以保证光波导始终处于计算窗口的中央，它和直角坐标系(x力可以保证光波导始终处于计算窗口的中央，它和直角坐标系(x力之间的转换系是旧w／／0j图倾斜坐标系(％w)和直角坐标系(r当TE导模在倾斜波导中沿z’(z’=xsinO+zcosO)方向传播时，兵电场分E(工，z)=哆(x，z)exp(一jnokoz’)=哆(x，z)exp[一jnoko(xsin0+zcosO)】将其代入波动方程(3．1．15)式，可得磐Oz一仃卜盟Oz墒秒誓]+孥瑟 x+=I经过坐标变换，可以得到倾斜坐标系下的波动方程一等+2风和s秒警+2协曰皂=去窘瑚^枷以写成鲤Ow=卜厕叫t到傍轴近似下的波动方程到傍轴近似下的波动方程Mr上式沿x方向和z方向均按Crank．Nicholson格式离散一彳+∥二+矿露1+彳一谚：=一彳一够I．+伊元+彳+‰I肚罴±面‰肚警±丽1而千互将(3．4．4)中的平方根算符用Pad6级数展开【39】√而小喜而非％=熹甜(熹)，bj,n=COS2((4岔一肪)等=2e咖+Aw)=exp(对上式进行积分可得@4咖圳=睁[弗蛳三衍=伽秒(-+协2目)导+风‰c。s臼(-+切n29)+(1,12--瑶)瑶[tan目品+少％‰c。sP=tan2秒丽咖圳=睁[弗蛳三衍=伽秒(-+协2目)导+风‰c。s臼(-+切n29)+(1,12--瑶)瑶[tan目品+少％‰c。sP=tan2秒丽02+2矶‰sin目未一瑶爵c。s2。兵甲方程(3．4．11)中含有算符J；￡和詹的高阶项，这就使得直接求解非常困难，一彤的计笪公式如下V缈亡一_b胡妨一1Awa，，l·丝鱼2锄2lz++ a2f111d伊l磊。砑l石‰一z一互％+百‰+z三维倾斜坐标系中的光束传播方将其忽略不计，方程(3．1．15)可以简化为三维标量波动方程三维倾斜坐标系中的光束传播方将其忽略不计，方程(3．1．15)可以简化为三维标量波动方程0__+a图3．4．2倾斜坐标系(“，uw)和直角坐标系(x奶如图3．4．2所示，z’表示波导中心轴的方向，在直角坐标系0，Y，力中和z轴之间的夹角是仅，其在@，力平面上的投影与x轴的夹角是∥。(U，’，，wU=x—E(x，Y，z)=矽(x，y)exp(一：伊(五y)exp[一jnoko(xsin口c。s∥+ysin口sin∥+zc。s口盯cossiIl口cos∥娑+磐一仃sin口sm∥瑟瑟2融苏却第三苹有限差分光柬传措万 第三苹有限差分光柬传措万 =(·+讲口cos2∥)窘+(·+伽2口s证2∥)雾+2伽2口血∥cos∥皂+项，就得到傍轴近似下的波动方程⋯s口d+2胁⋯s∥宴OUOW+2tan心n∥婴．2tacosfl0wopt)+掣嘉f，a缈1f+If，却、 M卅+罂A堂w如+tan2asin／3cos∥羔(npt+l+opt)+瓢(咿)M+(根据(3．4．18)式可以得到第，层和第／+1层上对z的一阶偏导数的表达式(等)7=志[(1+砒cos2∥)等+(1+tan2心叫第二章有限差分光束传播方第二章有限差分光束传播方～2础舯s唣罟咖，M一2伽⋯s∥磊+2锄础∥篆将(3．4．20)式和(3．4．21)式代入(3．4．19)，并平板电下面我们用以上介绍的方法来模拟导模在倾斜波导中的传播，其中入射波的波长是2=1．551．tm，对称平板介质波导的芯层宽度是Wo=5．0pm是nc。=1．45，包层的折射率是甩。，_1．446，传播距离是厶=100程中横向步长是Ax=0．05I．tm，纵向步长是Az=O．25图3．5．1分别显示了当介质波导和z轴的夹角p分别是150，300，450出光的波形，其中点线表示的是在直角坐标系中采用广角Pad6(3，3图3．5．1输入和输出波图3．5．1输入和输出波从图中可以看出，当秒=15’时，用WA-Pad6(3，3)算法和OCS-Para算法WA．Pad6(3，3)得到的结果就出现了偏差，而当0=450时，这种偏差将更加明显能量已经开始泄漏到包层区域，这说明WA-BPM导；而用OCS．Para算法模拟的结果和精确值都符合得很好，该方法能够精反映光束在倾角较大的波导中的传输特性两种方法所得结果两种方法所得结果非常接近，这是因为在模拟过程中，倾斜坐标系的坐标原随光束沿着光波导的轴向移动，这样就可以实现对光束的追踪，从而可以计算方向和传播方向一致矩形电面宽度是：4岬×41．tm，入射光的波长是，‰=1．55，包层的折射率是：Flcl=1．546。在数值模拟过程中，选取的格点第二章有限差分光束传播第二章有限差分光束传播方图3．5．4入射场和出射场341OCS-WA-BPM量重芝鼍盏蛊岂L2误差和横向步长之间的关系为了进一步说明OS．A．BM方法的有效性，我们还分析了当横向步长彳x和匆取不同值时，所得结果和解析解之间的相对误差，如图3．5．5OSM并且相对误差比文献【4l】的方法得到的结果小1～2个第二章有限差分光束传播方趸器蓦爵面>OJ图第二章有限差分光束传播方趸器蓦爵面>OJ图3．5．6重叠积分误差和传播距离三：的关图3．5．6给出了重叠积分的相对误差随传播距离三：的变化曲线，结果显用OCS．WA．BPM方法所得误差的数量级是10～，这和Bhattachrya得到是一致的有倾斜结构的复杂波导第四章改进的光束传播方在有限差分方法(FDM)中，差分方程是对偏微分第四章改进的光束传播方在有限差分方法(FDM)中，差分方程是对偏微分方程的直接近似，所差分公式来提高数值模拟的效率和精度，最简单的FD公式是基于标量近似Stem在渐变折射率近似下提出了矢量有限差分公式，介质分界面处的边界条通过取边界附近格点处折射率的平均值来进行匹配，用这种方法得到的截断差是O(ho另外，该算法还要求分界面必须处于格点的中间，否则截断误差将会大于伙厅oTaylor的中间时，截断误差可以提高到O(hz)精度上仍然有一定的局限性，这主要是由于在全矢量波动方程中存在的混合以提高全矢量光束传播方法的稳定性和精度对于模拟和设计光波导有着非我们注意到求解全矢量波动方程的不稳定性是由对方程中的混合偏导数处理不当引起的，由于电磁场和其偏导数在介质分界面处的不连续性，所以用传统的有限差分方法来求解电磁波时将会严重地影响数值模拟的结果。第四章改进的光束传播方如图4．1．1所示，妒第四章改进的光束传播方如图4．1．1所示，妒脚．1，伊用，垆埘+1分别表示三个连续格点m-1，m，m+l处的，O9)，垒专图4．1．1分界面处于相邻格点的中下面我们来推导m格点处的电场妒加与其临近格点处的电场％．1和舭l间的关系，采用Taylor级数展开，钆和伊耐l可以表示为吼=‰+三缸警+丢缸2争+去缸3争+。c血吼=％+丢缸誓+丢缸2争+去缸3等+。c缸缈尺=秒缈鱼k：争=文争堋+7 其中缈尺=秒缈鱼k：争=文争堋+7 其中，秒=％2，‘‰2+t，刁=吉(砖一％2+·)瑶。将(4．1．3)式代入(4．1．1)和‰却牡2)‰+科协杜2(臼+吉]]L12ax3(1+’秒，)可03(矽ra++三4缸2(1+碰／-‘-—㈤其中：口’=％2／。％2一。茜1、2，一％2一。)砖婆：坐坠[墼划其中各系数分别表示为第四章改进的光束传播方d=a2(1+0’)+《(1+秒)=2(1+护下面我们来讨论混合偏导数第四章改进的光束传播方d=a2(1+0’)+《(1+秒)=2(1+护下面我们来讨论混合偏导数的有限差分表达式，对9的混合偏导数舄缈最缈可以分成两步来进行，我们首先来考虑一阶偏导数的有限差分表达式，(4．1．4)式和(4．1．5)式司咖d△接下来我们计算丢(刀2缈)的有限差分表达式，根据(4．1．3)式可以得到(订2在介质分界面处所满足的连续性条件(刀2妒)R=(船2厂lJO(n2妒)O(n2伊)尺一苏0L挚：封掣+叩掣和以上计算过程一样，由Taylor级数展开和边界条件(4．1．8)可得生丛：型型型二坐立±坐堕上+O(缸根据(4．1．7)和(4．1．9)就可以得到混合偏导数爵缈和最缈的有限差分改进的有限差分(IFD)方法与全矢量光束传播方法(FV-BPM)相结合可以作为一种新的数值算法来分析光束在光波导中的传输，由于该算法对偏导数作了改进，所以它能够很好地模拟光束在强波导和复杂光波导结构中传输，下面本文以脊形光波导为例来说明IFD．FV-BPM在精度和收敛性改善第四章改进的光束传播方脊形介质光波导的截面如图4．2．1所示和高度分别是：wo=3．0岬，h=-I．0第四章改进的光束传播方脊形介质光波导的截面如图4．2．1所示和高度分别是：wo=3．0岬，h=-I．0gm，薄膜区的宽度和厚度分别是：xc=2．5驴l，ns=3．40。导模的激励电场的主分量可选取如下阶跃函数悱1-5朋且o≤y<l其0倒似电场量选0脊形光波导脊形光波导的本征模式可以用虚距离方法(IDM)来获得，在模拟过程横向格点的步长是：Ax=dy=0．025岬，纵向格点的步长是：Az=0．05gm。图4．2．2各有一个峰值，该现象说明了电磁场的矢量特性；另外从图中还可以明显出场在介质分界面处的不连续性第四章改进的光束传播方一呈一呈mx【(b)Ey[“m第四章改进的光束传播方一呈一呈mx【(b)Ey[“m图4-2．2准TE基—gh(b)Ey(a)E图4．2．3准TM基图4．2．4表示的是准TE基模的归一化传播常数B=(磅一《)／(砖一《)随∞1皿图4．2．4归一化传播常数B随传播距离rTransverseMTRM)方法得∞1皿图4．2．4归一化传播常数B随传播距离rTransverseMTRM)方法得到的结果，MTRM是一种高精度的半解析方法，通常以它作精确解来考查其它算法的精度，点划线表示的是用传统的FD-FV-BPM到的结果，虚线表示的是二阶偏导数项采用IFD方法得到的结果，实线表示是用IFD．FV-BPM方法得到的结果。通过比较可以看出，当激励场传播80时，三种方法得到的归一化传播常数都收敛于某一个固定值，但是只IFD．FV-BPM得到的结果和MTRM的结果符合准TE基模的归一化传播常数B4．2．5所示，计算过程中纵向格点的步长是：Az=0．05p,m。从图中可以看出IFD．FV-BPM方法计算的结果收敛效果很好，所以在用IFD-FV-BPM方法第四章改进的光束传播方第四章改进的光束传播方∞皿图4．2．5归一化传播常数B随横向步K综上所述，改进的有限差分全矢量光束传播方法(IFD-FV-BPM)在求全矢量波动方程时，在二阶偏导数和混合偏导数的离散过程中充分考虑了介分界面处折射率的跃变导致的场的不连续性，并且当分界面恰好处于两格点中间位置时，求解的精度可以达到(彳，)，并且该方法得到的结果和MTRM到的结果相一致。另外，IFD—FV-BPM算法随横向步长的变化不敏感，所以第五章总结与展本文系统地介绍了有限差分光束传播方第五章总结与展本文系统地介绍了有限差分光束传播方法(FD．BPM)在介质光波导中的应用，它可以很好地模拟光束在光波导中的传播，其模拟结果可以精确反映实际光束在光波导中的传输特性。但是随着光子集成电路的发展，要求计一些复杂的光波导器件以实现新的功能，所以对于有限差分光束传播方法在复杂光路中，介质光波导常常被用作连接器，这就需要研究光束在倾波导中传输，针对光束的传播方向与计算方向不一致所带来的误差，本文介了一种倾斜坐标系中的有限差分光束传播方法(OCS．FD—BPM)。在这种方法中倾斜坐标系的坐标原点在计算过程中沿着波导的中心轴移动，这就可以保证束始终是傍轴传播，另外该方法在模拟过程中可以使波导始终处于计算窗口方法分别用于二维和三维介质光波导中，所得结果在收敛性和精度方面都得了很大的提高反映光波在波导中传播的特征了，这时应该用全矢量波动方程来研究光波在导中的传输特性，本文考虑了介质分界面处折射率的不连续性，对有限差分法作了改进，将其和光束传播方法相结合，并对脊形电介质波导中的模式进了研究，结果表明改进后的全矢量有限差分光束传播方法(IFD-FV-BPM)连续性，所以该方法可以有效地模拟光束在强波导中的传输特性，它还可【1】佘守宪．导波光学物理基础．北京：北方交通大学出版社【2】曹庄琪．导波光学．北京：科学出版社KKitohT．IntroductionOpticalEquationsandtheSchrodingerEquation．NewYork：Wiely,200【4】KatsunariofOptical【5】M．D．Feit，J．A．Fleck,Jr．Lightpropagation【1】佘守宪．导波光学物理基础．北京：北方交通大学出版社【2】曹庄琪．导波光学．北京：科学出版社KKitohT．IntroductionOpticalEquationsandtheSchrodingerEquation．NewYork：Wiely,200【4】KatsunariofOptical【5】M．D．Feit，J．A．Fleck,Jr．Lightpropagationingraded-indexoptical17，No．24，1978，3990--[6】Hendow,S．t，S．A．Shakir．Recursivenumericalsolutionfornonlinearinfiberscylindricallysymmetricsystems．Appl．Opt．，V01．25，No．1l，11759—【7】Chung，Y，N．Dagli．AnAssessmentoffinitedifferencebeampropagationmethod．IEEE1Nakano．ModifiedFinite．Difference[8】MethodBasedontheGeneralizedDouglasSchemeVariableIEEEPHoTONICSTECHNOLOGYLETTERS．VOL．7，NO．6，1995，661--a1．Finite．Difference【9】JunjiYamauchi，JunMethodBasedonGeneralizedDouglasSchemeforaNonuniformTechnologyLeRers，V01．9，No．1，1997，67-【Shibayama,Hisamatsu0】ofDouglasscheme675-opticalwaveguideanalysis．OpticalQuantumElectronics，1999，3usingPad6approximant【1l】G．RonaldHadley．Wide— 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