北师大版八年级数学上册1 .1 探索勾股定理

1.1探索勾股定理

一.选择题

1.如图，△ABC中，NACB=90°,分别以三边为底向形外作等腰直角三角形，它们的面

积依次为51、$2、S3,则下列关系式正确的是（）

A.S]>S2+S3B.&VS2+S3

222

C.S]=S2+S3D.S|=S2+S3

2.在如图的网格中，每个小正方形的边长为1,A、B、C三点均在正方形格点上，则下列

结论错误的是（）

A.AB=2近B.ZBAC=90°

C.SAABC=1°D.点A到直线8c的距离是2

3.在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=6,AC=8,则RtZ\ABC的斜边AB上的高C£)的

长是（）

A.匹B.处C.9D.6

55

4.如图，分别以直角AABC的三边AB.BC、C4为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影

部分的面积为S”右边阴影部分的面积为S2,则（)

B

A.Si>SzB.SiVS2

C.Si=&D.S|、S2大小不确定

5.如图：三个正方形和一个直角三角形，图形A的面积是（）

A.225B.144C.81D.无法确定

6.若直角三角形的两直角边长分别为5a",12c",则斜边上的高为（）

A.互:nzB.^-cmC.\3cmD.H/n

21360

7.若一个直角三角形的两直角边的长为12和5,则第三边的长为（）

A.13或丁五§B.13或15C.13D.15

8.如图，在3X3的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，若BD

是△4BC的高，则8。的长为（）

9.以直角三角形三边作三个正方形，面积如图所示，则正方形A的面积为（）

10

A.4B.6C.8D.10

10.若一直角三角形两边长分别为4和5,则第三边长为（）

A.3B.3或C.6或3D.7方

11.如图1,分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为Si，S2,S3；如图2,

分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为S4,S5,S6.其中Si=l,§2=3,

S5=2,§6=4,则S3+S4=（）

B.9C.8D.7

12.在△ABC中，AB=17,AC=\0,高AQ=8,则3c的周长是（)

A.21B.36C.48D.36或48

13.如图所示是某房屋顶框架的示意图，其中AB=AC,ADA.BC,ZBAC=nO°,AD=

C

C.8〃?D.9/n

14.如图，甲、乙、丙三个直角三角形中，斜边最长的是（)

2018

甲

2019

◄-------------

2020

A.甲B.乙C.丙D.一样长

15.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正

方形的边长为3,大正方形边长为15,则一个直角三角形的周长是（)

A.45B.36C.25D.18

二.填空题

16.己知直角三角形的两直角边长分别为5CTH和12c7”，则斜边上的高为cm.

17.如图，每个小正方形的边长为1,四边形的顶点A,B,C,。都在格点上，则线段长度

为^/15的是.

18.如图，“人字梯”放在水平的地面上，AB=AC,当梯子的一边与地面所夹的锐角a为

60°时，两梯角之间的距离BC的长为2m.周日亮亮帮助妈妈整理换季衣服，先使a为

60°,后又调整a为45°,则梯子顶端A离地面的高度下降了m.

19.如图，在aABC中，AO_L8c于点£>,8F平分NA8C交AO于点E,交AC于点F.AC

=17,AD=15,BC=28,则AE的长等于.

20.一个直角三角形的两边长分别是3和7,则第三边长的平方为.

21.一个直角三角形的两条直角边边长分别为10和24,则第三边长是

22.已知一个直角三角形的两条直角边长分别是2和4,则斜边的长是

23.四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形A8CD,过各较长直角边的中点作垂线，

围成面积为2的小正方形EFG”.已知AM为RtAABM较长直角边，AM=4«EF,则

正方形ABCD的面积为.

24.如图，由四个全等的直角三角形拼成的大正方形的面积为84,中间小正方形的面积为

24,若直角三角形较长直角边为从较短直角边为。，则〃+/>=.

25.如图，在“赵爽弦图”中，MABE、XBCF、△C£>G和△D4H是四个全等的直角三角

形，四边形4BCO和四边形E尸GH都是正方形.若A”=l,EF=\,则正方形ABC。的

面积为.

26.如图，在△ABC中，ZACB=90°,以点8为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于

£>:以点A为圆心，A。长为半径画弧，交线段AC于点E,连接CD

(1)若/A=28°,求/AC。的度数；

(2)设8C=3,AC=4.求AO的长.

27.等腰△ABC的面积为30,其中一边AB的长为10,另外两边为BC、AC,请你求出BC2,

AC2的值.

28.如图，已知等腰△ABC,AB=AC,BC=Ji5,AB=5,求AC边上的高8。的长.

29.匀股定理被带为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位.它是初中数

学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重

要知识，因此学好勾股定理非常重要.学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所

以，我们要学会勾股定理的各种证明方法.请你利用如图图形证明勾股定理：

已知：如图，四边形4BCZ）中，BDLCD,于点E,且aABE丝△BCZX求证：

AB2=BE1+AE1.

30.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图

摆放时，也可以用面积法来证明，请将下面说理过程补充完整：

证明：连接。8,过点。作BC边上的高。凡交BC的延长线与点尸，

则四边形。以方为长方形，所以DF=EC=.（用含字母的代数式表示）

;

因为S四边形ABCD=SAACD+—+—ab

22

S四边形ABCD=SAADB+.=c.

2+

所以_______

参考答案

选择题

1.解：如右图所示，

△4BC中，NACB=90°,分别以三边为底向形外作等腰直角三角形,

C

C•5/

/.5|=—J,

24

2

同理可得，S2==,$3二「，

44

VZACB=90°，

.2%2_2

・・Q+b—c

•*•5)=S2+S3,

故选：C.

2.解：由题意可得，

AB—,2^+^2—故选项A正确：

AC={]2+22=V5>

BC=：V32+42=5,

:.AB2+AC1=BC1,

.••△ABC是直角三角形，NBAC=90°,故选项8正确;

S&ABC=.'AC=2立X近=5)故选项C错误；

22

作AD_LBC于点D,

则BOAD=5,

2

即5XAD=5,

2

解得,AD=2,

即点A到直线6c的距离是2,故选项。正确;

故选：C.

3.解：在Rt/XABC中，NACB=90°,BC=6,AC=8,

由勾股定理得，A.B—寸AC2+BC2=g§2+82=10,

△4BC的面积=JLXBCX4C=LxABXCD,即=Ax6X8=Ax10XCD,

2222

解得，cr>=21,

5

故选：B.

4.解：:△ABC为《△,

:.AB2=AC2+BC2

又,.,5=工11炉，

2

/.5|=An（细_）2,

22

S2=U（蛆）2+%（BC）2=11r（AC^BC%=%（AB）2=$,

22222422

•"•S|=S2-

故选：c.

5.解：直角三角形的直角边的平方=225-144=81,

图形4的面积是81.

故选：C.

6.解：•.•在直角三角形中，两直角边长分别为5cm,12cm,

...斜边长2=5?+122=169,

斜边长=5/169=13（cm）.

设斜边上的高为人，则S=[X5X12=Lxi3/?,

22

,^5X12.=60（5）.

1313

故选：B.

7.解：；一个直角三角形的两直角边的长为12和5,

.•.第三边的长为石声南=13.

故选：C.

8.解：由题意可得，

△4BC的面积是：3X4-2>S1_2X4_22S1=4,

222

•••BQ是aABC的高，AC=J22+42=2A/5,

.BDX2V5-4

••---------4+,

2_

解得，80=2返，

5

故选：A.

在直角三角形8C£>中，BC2+BD2=CD1,

.•.B£>2=10-4=6,

正方形A的面积为6,

故选:B.

10.解：①当4和5都是直角边时，则第三边是万普=«1；

②当5是斜边时，则第三边是小二於=3.

故第三边长为3或女.

故选:B.

11.解：如右图所示，

222

：S|=J,S2=",s3=c,a+b=c-,

.,.S]+S2=S3，

同理可得，S5+S6=S4，

•S|=1,S[=3,S$=2,$6=4,

，S3+S4=(1+3)+(2+4)=4+6=9,

故选：B.

图1

是8C边上的高，

AZADB=ZADC=90°,

BD=VAB2-AD2=V172-82=A'CD"VAC2-AD2=V102-82=6,

BC=BD+CD=15+6=21；

此时，ZXABC的周长为：AB+BC+AC=17+10+21=48.

②如图2所示：

同①得：BD=\5,CD=6,

：.BC=BD-CD=]5-6=9；

此时，ZiABC的周长为：AB+BC+AC=17+10+9=36.

综上所述：XABC的周长为48或36.

故选：D.

13.解：•.,在△ABC中，AB=AC,ADrBC,NBAC=120°.

：.ZB=ZC=(180°-120°)4-2=30°,

AZBAD=^ZBAC=60°；

2

在△ABC中，AD=3.5m,ZC=30°,

.•.A3=2AO=7〃？.

故选：B.

14.解：由勾股定理可知甲、乙、丙三个直角三角形中，斜边的平方分别为：

甲:(2018+2019)2+202()2；

乙：(2018+2020)+2019-；

丙：(2019+2020)2+20182.

V(2018+2019)2+20202-[(2018+2020)2+20192J

=40372+20202-40382-20192

=(40372-40382)+(20202-20192)

=(4037+4038)(4037-4038)+(2020+2019)(2020-2019)

=-8075+4039

=-4036<0,

.••甲的斜边的小于乙的斜边；

,:(2018+2020)2+20192-[(2019+2020)2+20182]

=40382+20192-40392-20182

=(40382-40392)+(20192-20182)

=(4038+4039)(4038-4039)+(2019+2018)(2019-2018)

=-8077+4037

--4040

V0,

.••乙的斜边的小于丙的斜边，

斜边最长的是丙.

故选：C.

15.解：设直角三角形两条直角边长分别为“和江

由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b=3,

根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知:

225=4x4+9,

2

所以2ab=216,

根据勾股定理，得J+/=i52,

所以(a+b)2=a+l^+lab=225+216=441,

因为a+b>0,

所以a+h=2\,

所以21+15=36.

所以一个直角三角形的周长是36.

故选：B.

填空题

16.解：•••直角三角形的两直角边长分别为5c,"和12cm,

二斜边长为：^52+122=13c/n,

设斜边上的高为XC〃2,

则5X12J3x.

22

解得，尸毁，

13

即斜边上的高为独力，

13

故答案为：60.

13

17.解：AB=N§2+]2=']0,8c=3,CD={]2+]2=AD=寸22+32=7]3,

故长度为行的线段是A8,

故答案是：AB.

18.解：如图1所示：

过点A作AOJ_BC于点。，

由题意可得：N8=NC=6O°,

则△A8C是等边三角形，

i^BC=AB=AC=2m,

则A£)=2sin60°

如图2所示：

过点A作AE_LBC于点E,

由题意可得：NB=NC=60°,

则△A8C是等腰直角三角形，AC=A8,

则AE=%C=1m，

2

故梯子顶端离地面的高度4。下降了（JE-I）m.

故答案为：（A/^-1）.

'：AD=15,AC=11,

'£>C=VAC2-AD2=7172-152=8,

VBC=28,

・・・3Q=28-8=20,

由勾股定理得：AB=yj<20^+15=25,

过点E作EG1AB于G,

平分/ABC,ADA.BC,

：.EG=ED,

在Rt^BDE和RtABG£中，

..JEG=ED,

,IBE=BE，

：.Rt/\BDE^Rt/\BGE(HL),

：.BG=BD=20,

：.AG=25-20=5,

设AE=x,则ED=15-x,

；.EG=15-x,

RtAAGE中，X2=52+(15-x)2,

x=^~,

3

：.AE=2L.

3

故答案为：25.

3

20.解：当第三边是斜边时，则有第三边的平方=3?+72=58；

当第三边是直角边时，则有第三边的平方=7?-32=40.

则第三边长的平方为58或40.

故答案是：58或40.

21.解：•.•直角三角形的两条直角边分别为10和24,

第三边长=VIQ2+242=26-

故答案是：26.

22.解：由勾股定理得，斜边=五号7=2而，

故答案为：2代.

23.解：设AM=2a.BM=b.则正方形4BCD的面积=4/+/,

由题意可知七尸二(2a-b)-2(a-b)=2a-b-2a+2b=b,

"：AM=4\/3PF,

2fl=，

**•a—2,

；正方形EFGH的面积为2,

./=2,

正方形ABCD的面积=4j+b2=i3b2=26,

故答案为：26.

24.解：根据题意得：。2=“2+/=84,4xL〃=84-24=60,即2"=60,

2

贝lj(a+h)2=a2+2ah+b2=84+60=144,

〃+/?=12,

故答案为：12.

25.解：'：△ADHQXBAE,

：.BE=AH=\,

;四边形EFGH都是正方形，

：.HE=EF=\,

.•.AE=2,

在直角三角形A8E中，由勾股定理得到：AB2=AE1+BE1=22+l2=5,

正方形A8CZ）的面积=4〃=5,

故答案为：5.

三.解答题

26.解：(1)VZACD=90°,ZA=28°,

：.ZB=62°.

•:BD=BC,

：.NBCD=ZBDC=M1■_胆—=59°.

2

：.ZACD=90°-ZBCD=90°-59°=31°；

(2)VZACB=90°,8C=3,AC=4,

由勾股定理得：AB=JAC2+BC2={+z2=5,

*：AB=AD+BD9BD=BC=3,

：.AD=5-3=2.

27.解：过点C作。。_LAB于。，

:△ABC的面积为30,

；.Jo<A8XC£>=30,即工X10X8=30,

22

解得，CD=6,

如图I,当AB为底边，CA=C8时，

VCDLAB,

：.AD=DB=1AB=5,

2

：.AC1^BCi^52+61^6l；

当AB为腰，且△42C为锐角三角形，AB=AC=10时，如图2,

则AC1=AB2=\0Q,

在Rt△ACD中,AD={AC2_‘D2=V100_36=8>

贝ijBD=AB-AD=2,

/.BC2=CD2+BD2=40；

当AB为腰，且△ABC为钝角三角形，AB=BC=10时，如图3,

则BC1^AB2=]W,

由勾股定理得，BD=^BC2_CD2=8,

：.AD=AB+BD=\S,

.,.AC2=AD2+CD2=360,

综上所述，fiC2,AC2的值分别为61,61或40,100或100,360.

图3