北师大版八年级数学下册知识点总结2

知识点总结

（一）认识分式

1、分式的概念

AA

一般地，用A,B表示两个整式，A+B可以表示成？，如果B中含有字母，那么称中为

BB

分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零。

※分式有意义：分母不等于0；

分式无意又：分母等于0；

分式值为零：分子等于0,分母不等于0。

例1（1）当x满足什么条件时，分式有意义？

2.V-5

（2）当x满足什么条件时，分式匚」的值为0?

x-1

r*J.9V

（3）当x=3时，分式-的值是多少？

x+5

2、分式的基本性质

分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为=孚上是整式，且M#0）。

BB・MB+M

例2分式।可变形为（）

I

I111

B.-------C.--------D.-------

x-lX+l】+XX-1

3、分式的约分

根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约

分。

分子与分母没有公因式（除去1）的分式成为最简分式。

1—4«2

例3计算的结果是。

2a+\

★对应训练

（一）认识分式

知识点一、分式的概念

1、下列各组代数式都是分式的是（）

I2ab3

2-¥n3a-b'x-y

21247-2.c.2

2、在代数式之「产，Q,中，是分式的有

知识点二、分式有（无）意义及分式值为0的条件

1、使分式2'"无意义的X的值是

2、当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（

22

3、当x为何值时，下列各式的值为0.

教学设计

一、教材分析

本节课是北师大版八年级下册第五章《分式与分式方程》的内容，共两课

时。本设计是第一课时。本节课是分式的起始课，是学生学习了整式、因

式分解基础上进行的的，是下一步学习分式的性质、分式的运算以及分式

方程的前提，所以分式的概念及分式在什么条件下有意义是本节课的重点

和难点。因为分式与分数类似，所以为了突破重点和难点，采用了类比的

学习方法，让学生学会自主探索，合作交流，老师的讲和学生的学相结

合。分式是表示现实世界中一类量的数学模型，为了让学生体会这一点，

在课题引入时从实际生活情景出发，让学生经历用字母表示实际问题中数

量关系的过程。

二、学情分析

学生的知识技能基础：学生在小学学过分数，其实分式是分数的“代数

化”，所以其性质与运算是完全类似的.在前面的学习中学生已经学会用

字母表示实际问题中的数量关系，其中包括整式与分式等数量关系.

学生的活动经验基础：在整式的学习中，学生初步具备了用整式表示现实

情境中的数量关系，建立数学模型的思想.在相关的学习中学生初步具备

了观察、归纳、类比、猜想的能力以及自主探索、合作交流的能力.

三、教学任务

本节共分2个课时，这是第1课时，主要内容是了解分式的定义以及分式

有意义、无意义、值为零的条件。本节课的具体教学目标为：

知识与技能：

1、能用分式表示具体情境中的数量关系，体会分式是刻画现实世界中一

类量的数学模型，进一步发展符号意识。

2、了解分式的概念，明确分式和整式的区别；

3、会求分式的值，理解分式有意义、无意义及值为零的条件。

过程与方法：

本节课通过“观察一一类比一一合作交流一一概括、归纳一一辩证”的途

径，培养学生观察、分析及理解问题的能力，发展学生的数学抽象、数学

建模思维，获得正确的学习方式。

情感态度价值观：

感受数学知识源于生活，又服务于生活，体会数学学科的一些核心素养，

如数学抽象、数学建模对研究问题时的引领作用，体会分式是表示现实世

界中的一类量的数学模型。

教学重点：

了解分式的概念，明确分式和整式的区别。

教学难点:

1、能用分式表示具体情境中的数量关系，体会分式是刻画现实世界中一

类量的数学模型。

2、理解分式有意义、无意义及值为零的条件。

四、教学准备PPT

五、教学过程

教学环教学活动学生活动活动说明

-Hj»

复习回顾：积极思考、发通过回顾旧

1.有理数如何分类？分数在什么情言评价。知，为后续的

、况下无意义？类比学习打好

铺垫，同时引

情景2.前面我们学习过整式，同学们能

入下一环节。

引入写一些吗？

仔细观察，这些整式具有怎样的特

征？

1.直角三角形的两条直角边分别第1、2两题这里学生通过

为a和6,则面积较简单，学生自主思考或合

为_______________。独立完成；第作交流方式，

2.某中学组织师生去朱雀森林公园3、4两题略进行数学建

研学旅行，该公园成人票每有难度，采取模，列出代数

张a元，学生票每张b元，现小组探究方式式，在此基础

有老师/人，学生〃人，那么他们共同解决问上，观察式子

共需要支付门票题。的特征，通过

二、费_______________匹，平均每给学生“奖卡

探索新人_______________元。（奖卡上书写

知式子）”并给

3.文林书店库存一批图书，其中一

（―）奖卡分类的形

种图书的原价是每册a元，现每

式调动学生的

列分式册降价X元销售，当这种图书的库

积极性，增加

（建存全部售出时，其销售额

学习的趣味

模）为6元。降价销售开始时，文林

性。

书店这种图书的库存量是多少？

4.面对日益严重的土地沙化问题，

某县决定在一定期限内固沙造林

2400W,实际每月固沙造林的面

积比原计划多30hm,结果提前

完成原计划的任务。

如果设原计划每月固沙造

林xhm,那么

(1)原计划完成造林任务需要多少

个月？

(2)实际完成造林任务用了多少个

月？

1.在以上的几个问题中，我们列出学生得知自己这一环节主要

了如下代数式：的“奖卡”上是通过对“奖

请同学们观察这些代数式，它们是实际是上一环卡”的分类来

不是整式？能给它们分类吗？分类的主要节所列的代数进行观察、对

根据是什么？式，对奖项分比，进行数学

类实际就是对抽象，从而得

2.深化概念

式子分类，自到分式的概

然会考虑式念，抓住重要

二、子的结构特特征：分母中

探索新征。含有字母。

知

(—)

分式的

概念根据概念，进加深对概念的

行判断。理解，完成本

环节的学习任

务。

1.分数有意义，分数中的分母不能类比分数进行运用类比的学

为0.那么类比分数，想一想，如考虑。习方法得出分

果分式有意义，分式中的分母应满是有意义、无

足什么条件？为什么？意义的条件。

分式有意义的条件是:分母不为零

分式无意义的条件是:分母等于零通过练习加强

巩固练习。

练习1:下列分式中的字母满足什运用能力。

么条件时分式有意义？

2.分式的值为零的条件是:分母不

为零且分子为零

二、这里学生往往

这里一定要关忽略了分母不

探索新练习2:下列分式中的x满足什么

条件时，分式的值为零？注前提条件：能为零的条

知分母首先不能

练习3：当a=l,2,时，分别求件，所以采取

（三）为零。

分式有分式讨论的方法，

让学生一定要

意义、3.分式的值一一求分式的值，同代

认识到这一问

值为零数式求值一样，就是将数字代入，

题。

的条件再按照运算顺序进行计算。求分式的值本

质上就是代数依然类比学

式求值。习，类比代数

式求值的方法

即可。

学生自主完通过练习检验

2、若分式的值为0,成，允许学生学生掌握情

则x的值是____.向同伴请教，况，理解情

3、当x为任意实数时，下列分式让其在交流中况。

三、

一定有意义的（）掌握知识，掌

随堂练握方法。

习

4、把甲、乙两种饮料按质量x：

y混合在一起，可以调制成一种混

合饮料。调制1kg这种混合饮料

需多少甲种饮料？

四、这节课你的主要收获是什么？梳理本节课知引导学生思

课堂小一、这节课主要学习了两个知识识要点，明确考，学会总

结八占、、.•学习目标。结，并帮助学

生建立自己的

1、一个应用：列式子

知识框架

一个概念：分式的概念学生思考、总

结通过总结所用

到的数学思想

一个计算：分式求值

方法，可以增

进学生对数学

三个条件：学科的数学思

考方式的理

解，更加的理

解数学的本

二、方法上，主要是探究概念时，质。

渗透了数学抽象、数学建模、类比

的思想方法。

巩固所学，尊

五、

P110第2、3、4、5题重学生的个体

作业

差异

5.1认识分式

一、列分式

二、分式的概

念四、学生板演

区域

特征：

三、分式有意义、无意义、值

为零的条件

六、板书设计

图文导学

温故而知新

你能判断•下面哪些式子是整式吗?

/+xy+y2_3/y3也5x4

y

2

m-nCt--一

9a-1

面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定

期限内固沙造林2400hm2,实际每月固沙造林的

面积比原计划多30hm2,结果提前完成原计划的

任务.如果设原计划每月固沙造林xhm2,那么

(1)原计划完成造林任务需要多少个月？

(2)实际完成造林任务用了多少个月？

24002400

xx+30

⑥(1)2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某

一时段内的统计结果显示，前Q天日均参观人数35万

人，后力天日均参观人数45万人，这(a+b)天日均

参观人数为多少万人？

一(2)文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是

每册Q元，现每册降价x元销售，当这种图书的库存全

部售出时，其销售额为匕元.降价销售开始时，文林书

店这种图书的库存量是多少？

1、上面的问题出现了代数式：

2400240035〃+45-b

1+30，a+b~,

它们有什么共同特征？（分母中都含有字母）

他们与整式有什么不同？整式的分母中不含有字母.

2、什么叫做分式？

一个概念：

分式定义：

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B

中含有字母，那么称二为分式.其中A叫做

B

分式的分子，B为分式的分母.

,①分子分母都是整式

分式的概念②分母中含有字母

③分母不能为零。

例1、下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式?

⑴士⑵不⑶虫;(4)生？.

x2x+y3

解:属于整式的有(2)、。(4)

属于分式的有(1)Q(3)

1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式?

(1)5x-7(2)—(3)3/-1

2

4

(4)-^―(5：6—33

5/?+c)Ll⑹,

22

⑺-f+y⑻多

2x—1

2.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式'

H11514.hb八、X+l_d_

3.下列各式中是分式的有B)

1y+813冽a,3y2

/丁'/+/'彳厂+工

A.1个B.2个C.3个D.4个

把下列各式写成分式:

Q)x+y与分数类似，分式的

分数线同时具有除号

(2)400+而的双重功能

(3)”(b—c)

(4)(x+y)+(x—y)

关于分式的几点注意

♦1、满足分数的形式；

⑥2、分母中要有字母；

⑥3、分母的值不能为0。

.4、分数线有除号和括号的作用，如:

x—1

7^3可表示为(x-1)4-(x-3).

二个应用

一、列分式

例2:把甲、乙两种饮料按质量比A-：y混合在一起，可

以调制成一种混合饮料。调制1千克这种混合饮料需

多少甲种饮料？

二、分式的求值

例题2:(1)当2时，分别求分式4+1的值;

解：(1)当时一I.

当a-2时a+1_2+1_3

I~2^~2^2~4

思考：1

1.分式分母有什么条件限制?

在分式中分式的分母表示除数，由于除

F融）零访救侨表脩磬母痂晶为鹳埸猾

果是零，则分式没有意义。

当B二0时，分式普无意义.

当时，分式普有意义.

--B-W-O--------0-

2.当告二0时，分子、分母满足什么条佳，

当A=0而BWO时，分式告的值为零L

三个条件

分式无意义的条分母等于零

_［件

•二个条件’分式有意义的条件分母不等于零

分式的值为零的小手笺不姜

例3.1.已知分式匚M,

x+2

Q)当x为何值时，分式价黄为零？

(2)当x为何值时，分式有意义？

解：(1)由分母x+2=0,得x=-2

・••当x=-2时，分式-2—4无意义.

x+2

(2)由(1)得当xW-2时，分式有意义

(3)由分子x2-4=0,得x=±2芝

而x+2W。J澎

・•・当x=2时，分式的值为

二J--'「一孩匚乎?陛

取什么值时，下列分式有意义？

(1)占(2)

x12x-r3

要使分式有意义，必须且只须分母不等于零.

⑴分母c-耳0,即X卞1.

所以，当xHl时，分式占有意义

⑵分母2r+3#,即x/—y7

所以，当“一微时，分式玄萌意义.

1.当X取什么值时，下列分式无意义?

Xx—2

⑴⑵

X—12x+3

2.当x取什么值时，下列分式的值为零?

⑴3⑵*⑶痣

x—12x+3'

小结'分式有意义O分母不等于零

分式无意义O分母等于零

分式值为零O分子等于零且分母不等于零

1、当X取什么值时，下列分式有意义?

2、当x为任意实数时，下列分式一定有意义

的是（）3

【三议

阅读下面一题的解答过程，试判断是否正确,

如果不正确，请加以改正。

当X是什么数时，分式4..的值是零?

x(x+4)

解：由分子1x1-4=0,得x=±4

|x|一4

所以当x=±4时，分式x(x+4)

的值是零.

壬总结

咨r①分子分母都是整式

■一个概念分式的概念②分母中含有字母

I③分母不能为零。

列分式

・两个应用

求分式的值

＜分式无意义的条件分母等于零

・三个条件分式有意义的条件分母不等于零

〔分式的值为零的条件分子等至震工就、、

且分款等于零W

小测验

1、⑴在下面四个代数式中，分式为（B）

2x+51x+81x

A、----B、—C、---D、—+—

-73x845

（2）当x=-l时，下列分式没有意义的是（C）

x+1x2xx-\

A、——B、——C、D、

Xx—1x+1X

当x声:时,x-2

2、分式有意义。

2x-l

x—2

3、当x=2时，分式的值为季。

2x-l

已知，当x=5时，分式21+女的值等声买_住二」

4、

零於卜=-&——2

5.m个工人几天的工作量为p,则一个工人

一天的工作量是P

6.当“为任何实毅时，下列分式一定有意义

的是（B）

x2+1%2

A.B.

x2”?+1

2-Flx—1

C.xD.

X-]X+1

7.下列分式中，当%=时无意义的是

-3•••

(D)

3"-12x-3

A.B.

—3%+96x-3

3x—22%-9

C.D.

5x-155x+15

--""I_L

8.分式-2—r有意义的条件：X取全体实数

%+1------

O—x+1

当乂=-1时，分式2]的值为—]；

人IJL

9、要使分式_—有意义，X的取值满足

(Q)(x-l)(%-2)

A.1B.r\

x-1

9.当工_________________时，分式------

的值为零.x+1

【解析】要使分式的值为零，只需分子为零且

分母不为零，

10.（枣庄•中考）若川―3的值为零,

X2-2X-3

则户.

【解析】分式的值等于零，应满足分子等于零,

同时分母不为零，即口x|-3=0,

|X2-2X-3^0,

解得x=-3.

11、当X为何值时，代数式日_1_2有意义?

XN1且对5

X+1

12、当X为何值时，分式有意义?

x彳3且对-1

x~—1

13、当x为何值时，分式----7"的值为零？X=1

X+L

14、x为何整数时，分式52的值为整数?

x+1

X=-13,-7,-5,-4,-3,-2,0,1,2,&11J

15、请编制一个分式。使它的分子为x+4,且当它在

x/2时才有意义。

16、当二取什么值时，下列分式的值为零？

(1).+2,(2)1x1-2

2二—52x+4,

解⑴：由分子x+2=0,得-2

而当工=-2时，分母2x—5=0

所以当x=-2时，分式号y的值是零。

解⑵：由分子|工|—2=0,得工=±2。

当久=2时，分母2x+4=4+4H0。

当支=-2时，分母2工+4=-4+4=0。

.1x1-2

所以当x=2时，分式一的

17、当工取什么值时，下列分式有意义？

■Xx—12P

X—24x+l\x\-

解⑴'由分母"—2=0,得工=2。

所以当月2时，分式占有意义Q

解⑵由分母依+1=0,得工=-；。

所以当x尸抖，分式哥有意义。

解(3)：由分母|x|-3=0,得x=i3<

所以当灯±3时，

挈

归

概念

式的

。分

式

是整

母都

子分

纳①分

母

有字

必含

母中

小②分

分母

能使

值不

的取

字母

母中