2024届江南省郸城县数学九上期末监测试题含解析

2024届江南省郸城县数学九上期末监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，已知小明、小颖之间的距离为3.6m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，1.6m，已知小明、小颖的身高分别为1.8m，1.6m，则路灯的高为（）A．3.4m B．3.5m C．3.6m D．3.7m2．如图，在▱ABCD中，F为BC的中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接FF交DC于点G，则DG：CG＝（）A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．2：53．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A． B． C． D．4．抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，3）5．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（）秒，四边形APQC的面积最小．A．1 B．2 C．3 D．46．在某中学的迎国庆联欢会上有一个小嘉宾抽奖的环节，主持人把分别写有“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的小盒子并密封起来，由主持人随机地弄乱这四个盒子的顺序，然后请出抽奖的小嘉宾，让他在四个小盒子的外边也分别写上“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字，最后由主持人打开小盒子取出卡片，如果每一个盒子上面写的字和里面小卡片上面写的字都不相同就算失败，其余的情况就算中奖，那么小嘉宾中奖的概率为（）A． B． C． D．7．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC与△DEF的面积比为1：9，则OC：CF的值为（）A．1：2 B．1：3 C．1：8 D．1：98．某地区在一次空气质量检测中，收集到5天的空气质量指数如下：81，70，56，61，81，这组数据的中位数和众数分别是（）A．70，81 B．81，81 C．70，70 D．61，819．如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且不与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（）A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定10．一个盒子中装有2个蓝球，3个红球和若干个黄球，小明通过多次摸球试验后发现，摸取到黄球的频率稳定在0.5左右，则黄球有（）个．A．4 B．5 C．6 D．10二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，矩形中，，连接，将线段分别绕点顺时针旋转90°至，线段与弧交于点，连接，则图中阴影部分面积为____．12．Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，，则BC的长为____________．13．在函数中，自变量的取值范围是______.14．如果抛物线y＝（k﹣2）x2+k的开口向上，那么k的取值范围是_____．15．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，求这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长.16．已知，则＝_____．17．直角三角形的直角边和斜边分别是和，则此三角形的外接圆半径长为__________．18．在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，2）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是_____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图1，在中，∠B=90°，，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为．问题发现：当时，_____；当时，_____．拓展探究：试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．问题解决：当旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．20．（6分）郑州市长跑协会为庆祝协会成立十周年，计划在元且期间进行文艺会演，陈老师按拟报项目歌曲舞蹈、语言、综艺进行统计，将统计结果绘成如图所示的两幅不完整的统计图.(1)请补全条形统计图；(2)语言类所占百分比为______，综艺类所在扇形的圆心角度数为______；(3)在前期彩排中，经过各位评委认真审核，最终各项目均有一队员得分最高，若从这四名队员(两男两女)中选择两人发表感言，求恰好选中一男一女的概率.21．（6分）先化简，再求值：，其中a＝3，b＝﹣1．22．（8分）如图，已知线段，于点，且，是射线上一动点，，分别是，的中点，过点，，的圆与的另一交点（点在线段上），连结，.（1）当时，求的度数；（2）求证：；（3）在点的运动过程中，当时，取四边形一边的两端点和线段上一点，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且为锐角顶点，求所有满足条件的的值.23．（8分）如图，的三个顶点坐标分别是，，．（1）将先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出；（2）与关于原点成中心对称，画出．24．（8分）如图①，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作正方形OABC，点D是x轴正半轴上一动点（OD＞1），连接BD，以BD为边在第一象限内作正方形DBFE，设M为正方形DBFE的中心，直线MA交y轴于点N．如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形．（1）试找出图1中的一个损矩形；（2）试说明（1）中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上；（3）随着点D位置的变化，点N的位置是否会发生变化？若没有发生变化，求出点N的坐标；若发生变化，请说明理由；（4）在图②中，过点M作MG⊥y轴于点G，连接DN，若四边形DMGN为损矩形，求D点坐标．25．（10分）已知抛物线，求证:无论为何值，抛物线与轴总有两个交点.26．（10分）如图，在中，点在边上，点在边上，且，．（1）求证：∽；（2）若，，求的长．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】根据CD∥AB∥MN，得到△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，根据相似三角形的性质可知，，即可得到结论．【详解】解：如图，∵CD∥AB∥MN，∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，∴，即，，解得：AB＝3.5m，故选：B．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．2、B【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，可证△DEG∽△CFG，可得＝．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵F为BC的中点，∴CF＝BF＝BC＝AD，∵DE：AD＝1：3，∴DE：CF＝2：3，∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴＝．故选：B．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质.3、A【分析】延长BA、FE，交于点D，根据AB⊥BC，EF∥BC知∠ADE=90°，由∠AEF=143°知∠AED=37°，根据sin∠AED，AE=1.2米求出AD的长，继而可得BD的值，从而得出答案．【详解】如图，延长BA、FE，交于点D．∵AB⊥BC，EF∥BC，∴BD⊥DF，即∠ADE=90°．∵∠AEF=143°，∴∠AED=37°．在Rt△ADE中，∵sin∠AED，AE=1.2米，∴AD=AE•sin∠AED=1.2×sin37°≈0.72(米)，则BD=AB+AD=1.18+0.72=1.9(米)．故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建直角三角形，并熟练掌握正弦函数的概念．4、A【解析】分析：把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．详解：∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，∴顶点坐标为（1，1）．故选A．点睛：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．5、C【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：S=S△ABC-S△PBQ=×12×6-（6-t）×2t=t2-6t+36=（t-3）2+1．∴当t=3s时，S取得最小值．故选C．【点睛】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值．6、B【分析】得出总的情况数和失败的情况数，根据概率公式计算出失败率，从而得出中奖率．【详解】共有4×4=16种情况，失败的情况占3+2+1=6种，失败率为，中奖率为．故选：B．【点睛】本题考查了利用概率公式求概率．正确得出失败情况的总数是解答本题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7、A【分析】利用位似的性质和相似三角形的性质得到，然后利用比例性质求出即可．【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，∴＝，∴，∴，故选A．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．8、A【分析】根据中位数的定义和众数的定义即可得出结论.【详解】解：将这5天的空气质量指数从小到大排列后为：56，61，70，81，81，故这组数据的中位数为：70根据众数的定义，出现次数最多的数据为81，故众数为81.故选：A.【点睛】此题考查的是求一组数据的中位数和众数，掌握中位数的定义和众数的定义是解决此题的关键.9、C【分析】四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，根据矩形的性质AB=OP=半径，所以AB长度不变．【详解】解：∵四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，

∴AB=OP=半径，

当P点在弧MN上移动时，半径一定，所以AB长度不变，

故选：C．【点睛】本题考查了圆的认识，矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对角线相等；圆的半径相等．10、B【分析】设黄球有x个，根据用频率估计概率和概率公式列方程即可.【详解】设黄球有x个，根据题意得：＝0.5，解得：x＝5，答：黄球有5个；故选：B．【点睛】此题考查的是用频率估计概率和根据概率求球的数量问题,掌握用频率估计概率和概率公式是解决此题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】根据勾股定理得到、由三角函数的定义得到、根据旋转的性质得到、求得，然后根据图形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵四边形是矩形∴∵，∴，∴∵线段分别绕点顺时针旋转至∴∴∴．故答案是：【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数、直角三角形的面积、扇形的面积、将求不规则图形面积问题转化为求规则图形面积相加减问题，解题的关键在于面积问题的转化．12、1【分析】由cosB==可设BC=3x，则AB=5x，根据AB=10，求得x的值,进而得出BC的值即可．【详解】解：如图，

∵Rt△ABC中，cosB==，

∴设BC=3x，则AB=5x=10，∴x=2,BC=1,故答案为：1．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．13、【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．【详解】由题意得，x＋1≠0，解得x≠−1．故答案为x≠−1．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（1）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．14、k＞2【解析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数k﹣2＞1．【详解】因为抛物线y＝（k﹣2）x2＋k的开口向上，所以k﹣2＞1，即k＞2，故答案为k＞2.【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．15、这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长3+．【分析】连接AC，BC，有抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长．【详解】连接AC，BC，∵抛物线的解析式为y=(x-1)2-4，∴点D的坐标为(0，−3)，∴OD的长为3，设y=0，则0=(x-1)2-4，解得：x=−1或3，∴A(−1，0)，B(3，0)∴AO=1，BO=3，∵AB为半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵CO⊥AB，∴CO2=AO⋅BO=3，∴CO=，∴CD=CO+OD=3+，故答案为3+.16、【解析】根据题意，设x＝5k，y＝3k，代入即可求得的值．【详解】解：由题意，设x＝5k，y＝3k，∴＝＝．故答案为．【点睛】本题考查了分式的求值，解题的关键是根据分式的性质对已知分式进行变形．17、1【分析】根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半解答即可．【详解】解：根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，∵其斜边为16∴其外接圆的半径是1；故答案为：1．【点睛】此题要熟记直角三角形外接圆的半径公式：外接圆的半径等于斜边的一半．18、（0，0）【解析】根据坐标的平移规律解答即可．【详解】将点A（-3，2）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是（-3+3，2-2），即（0，0），故答案为（0，0）．【点睛】此题主要考查坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．三、解答题(共66分)19、（1）①；②；（2）的大小没有变化；（3）BD的长为：．【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．（3）分两种情况分析，A、D、E三点所在直线与BC不相交和与BC相交，然后利用勾股定理分别求解即可求得答案．【详解】解：（1）①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE=AC=5，BD=BC=4，∴．②如图1，当α=180°时，可得AB∥DE，∵，∴．故答案为：①；②.（2）如图2，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）①如图3，连接BD，∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，∴AD=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE=AB=3，∴AE=AD+DE=，由（2），可得：，∴BD=；②如图4，连接BD，∵AC=10，CD=4，CD⊥AD，∴AD=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE=AB=3，∴AE=AD-DE=，由（2），可得：，∴BD=AE=．综上所述，BD的长为：．【点睛】此题属于旋转的综合题．考查了、旋转的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．20、(1)补全条形统计图，见解析；(2)，；(3)(恰好选中一男一女)【分析】（1）先用歌曲类的人数除以所占百分比，求出总人数，即可求出舞蹈类的人数，不全条形图即可；（2）用语言类的人数除以总人数，即可得到答案；综艺类的人数除以总人数，然后乘以360°，即可得到圆心角；（3）利用列表法得到所有可能和恰好选中一男一女的可能，然后求出概率即可.【详解】解：(1)总人数为：人，∴按报“舞蹈”的人数为：人，∴补全条形统计图，如图：(2)语言类所占的百分比为：；综艺类所在扇形的圆心角度数为：；故答案为：，；(3)设两名男队员分别为，两名女队员分别为，由题意列表如下:由上表可知，一共有种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有种，∴(恰好选中一男一女).【点睛】本题考查了扇形统计图与条形统计图，以及利用列表法求概率，明确统计图表中的各个数据之间的关系是解决问题的关键．21、，．【分析】根据分式混合运算法则化简出最简结果，把a、b的值代入求值即可．【详解】原式＝·﹣＝﹣＝﹣＝＝＝．当a＝3，b＝﹣1时，原式＝＝＝．【点睛】本题考查分式的混合运算——化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．22、（1）75°；（2）证明见解析；（3）或或．【分析】（1）根据三角形ABP是等腰三角形，可得∠B的度数；（2）连接MD，根据MD为△PAB的中位线，可得∠MDB=∠APB，再根据∠BAP=∠ACB，∠BAP=∠B，即可得到∠ACB=∠B，进而得出△ABC∽△PBA，得出答案即可；（3）记MP与圆的另一个交点为R，根据AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，即可得到PR=，MR=，再根据Q为直角三角形锐角顶点，分四种情况进行讨论：当∠ACQ=90°时，当∠QCD=90°时，当∠QDC=90°时，当∠AEQ=90°时，即可求得MQ的值．【详解】解：（1）∵MN⊥AB，AM=BM，∴PA=PB，∴∠PAB=∠B，∵∠APB=30°，∴∠B=75°，（2）如图1，连接MD，∵MD为△PAB的中位线，∴MD∥AP，∴∠MDB=∠APB，∵∠BAC=∠MDC=∠APB，又∵∠BAP=180°-∠APB-∠B，∠ACB=180°-∠BAC-∠B，∴∠BAP=∠ACB，∵∠BAP=∠B，∴∠ACB=∠B，∴AC=AB，由（1）可知PA=PB，∴△ABC∽△PBA，∴，∴AB2=BC•PB；（3）如图2，记MP与圆的另一个交点为R，∵MD是Rt△MBP的中线，∴DM=DP，∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，∴RC=RP，∵∠ACR=∠AMR=90°，∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，∴12+MR2=22+PR2，∴12+（4-PR）2=22+PR2，∴PR=，∴MR=，（一）当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，∴Q与R重合，∴MQ=MR=；（二）如图3，当∠QCD=90°时，在Rt△QCP中，PQ=2PR=，∴MQ=；（三）如图4，当∠QDC=90°时，∵BM=1，MP=4，∴BP=，∴DP=BP=，∵cos∠MPB=，∴PQ=，∴MQ=；（四）如图5，当∠AEQ=90°时，由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，∴MQ=；综上所述，MQ的值为或或．【点睛】此题主要考查了圆的综合题、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用旋转的性质以及含30°角的直角三角形的性质进行计算求解，解题时注意分类思想的运用．23、答案见解析．【分析】（1）将的三个顶点进行平移得到对应点，再顺次连接即可求解；（2）找到△ABC的三个得到关于原点的对称点，再顺次连接即可求解．【