第二章：一元二次方程导学案与课后分类作业

七星关区实验中学九年级数学第二章:一元二次方程导学案九年级数学组2020/8/16

2.1认识一元二次方程（1）一元二次方程的定义一、学习目标1．理解一元二次方程及其相关定义，会判断满足一元二次方程的条件．2．体会方程的模型思想二、新课引入1.幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？如果设所求的宽度为xm,那么你能列出的方程为：2.你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和,如果设中间的第一个数为x,那么其余4个数分别为你列出的方程是：3.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？如果设梯子底端滑动xcm,你列出的方程是：三、探究新知一元二次方程的定义“议一议”写出上面三个问题得到的三个方程，观察这三个方程有什么共同点？1．只含有个未知数x的整式方程，并且都可以化成(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．2．我们把(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式；其中，，分别为二次项、一次项和常数项，a，b，分别称为和．练习巩固:1.下列方程为一元二次方程是(1)ax2+bx+c=0；(2)2(x2-1)=3y；(3)2x2-3x-1=0;(4)eq\f(1,x2)-eq\f(2,x)=0；(5)(x+3)2=(x-3)2;2．将方程(eq\r(2)x+1)x=(eq\r(3)x-2)x+eq\r(2)化简整理写成一般形式后，其中a=、b=、c=四、例题讲解1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)5x2-1=4x;(2)4x2=81；(3)4x(x+2)=25;(4)(3x-2)(x+1)=8x-3.2.已知方程(a-4)x2-(2a-1)x-a-1=0.(1)a取何值时，方程为一元二次方程？(2)a取何值时，方程为一元一次方程？3.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.五、课堂小结1.一元二次方程的定义：只含有个未知数x的整式方程，并且都可以化成(a，b，c为常数，a≠0)的形式．2.一元二次方程的一般形式是：(a，b，c为常数，a≠0)，其中ax2为、bx为，c为，a为，b为．六、当堂检测1、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．2.1认识一元二次方程（1）一元二次方程的定义课后作业分类练习一、本课知识点1.一元二次方程的定义：只含有个未知数x的整式方程，并且都可以化成(a，b，c为常数，a≠0)的形式．2.一元二次方程的一般形式是：(a，b，c为常数，a≠0)，其中ax2为、bx为，c为，a为，b为．二、基础训练类型一：一元二次方程的定义1.下列方程是一元二次方程的是(1)7x2-6x=0；(2)2x2-5xy+6y=0；(3)2x2--1=0；(4)=0；(5)x2+2x-3=1+x2类型二：一元二次方程的一般形式2.填表一元二次方程一般形式二次项系数一次项系数常数项2x2-4=44=x23.若将关于x的一元二次方程3x2+x-2=ax(x-2)化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为-2，求该方程中的一次项系数类型三：根据实际问题列一元二次方程4.某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为5.如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行通道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是类型四：根据一元二次方程的定义求方程中字母参数的值或范围6.关于x的方程(m-4)x2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.7.若方程是一元二次方程，则必须满足条件．若此方程是一元一次方程，则必须满足条件．8.若关于x的方程a(x-1)2=2x2-2是一元二次方程，求a的值．9.关于的方程是一元二次方程，求的值．三、提高训练10.若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是11.若是一元二次方程，则不等式的解集是 ．2.1认识一元二次方程（2）一元二次方程的解一、学习目标1．经历估计一元二次方程解的过程，增进对方程解的认识，认识“逼近”思想2．能根据实际问题建立一元二次方程的数学模型．二、新课引入1.有349名同学一起去旅游，现有7辆车，每车56个座位，够不够坐？2.有一根外带有塑料皮长为100m的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是否通）进行检查，你怎样快速的找到这一处断裂处？与同伴进行交流。3.x=1是方程2x+1=3的解？________三、探究新知（一）一元二次方程的解x=3是一元二次方程x2-3x+2的解吗？x=1、2呢？能使一元二次方程左、右两边都的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的（二）估算一元二次方程的解幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？在前一节课中，我们已经设所求的宽度为x(m)，得到了方程：，把这个方程化为一般形式为：；（1）x可能小于0吗？可能大于4吗?可能大于2．5吗?说说你的理由。（2）你能确定x的大致范围吗？（3）完成下表：x00.511.522.52x2-13x+11（4）你知道所求宽度x(cm)是多少吗？为什么（5）在0～2.5范围里，会不会存在另一个方程的解呢？估计一元二次方程的解，先确定方程解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果方程左边的值为，则未知数的值就是方程的解练习巩固:1.为估算方程x2-2x-8=0的解，填写下表，由此可判断方程x2-2x-8=0的解为________．x-2-101234x2-2x-80-5-8-9-8-50四、例题讲解1.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯子底端滑动的距离x(m)满足方程:，把这个方程化为一般形式为：。（1）小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗？为什么？（2）底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？（3）你能猜出滑动距离x（m）的大致范围吗？(4)完成下表，并得出滑动距离x(m)的大致范围；x00.511.52…x2+12x-15…由上表可知，滑动距离x的大致范围是；x的整数部分是几？(5)完成下表，并得出x的整数部分是几？十分位是几？x…1.11.21.31.4…x2+12x-15……x的大致范围是，x的十分位是几？结果可以估计为估计一元二次方程的解，先确定方程解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把一个值代入方程使得左边的计算结果________把另一个值代入方程使得左边的计算结果________那么方程的解就在这两个值________．练习巩固:1.根据下列表格的对应值可知，方程ax2+bx+c=0x3.233.243.253.26ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09(a≠0，a、b、c为常数)一个解x的范围是()A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24C.4＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.262.根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下：x00.511.11.21.3x2+px+q-15-8.75-2-0.590.842.29则方程x2+px+q=0的正数解满足()A．解的整数部分是0，十分位是5B．解的整数部分是0，十分位是8C．解的整数部分是1，十分位是1D．解的整数部分是1，十分位是2五、课堂小结1.一元二次方程的解：能使一元二次方程左、右两边都________的未知数的值，叫做一元二次方程的解．也叫做一元二次方程的根．2.估计一元二次方程的解，先确定方程解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把一个值代入方程使得左边的计算结果_____；把另一个值代入方程使得左边的计算结果_______那么方程的解就在这两个值________．六、当堂检测1习题2.2第1题、第2题、第3题.2课本p34-35读一读（用二分法确定一元二次方程的近似解）2.1认识一元二次方程（2）一元二次方程的解课后作业分类练习一、本课知识点1.一元二次方程的解：能使一元二次方程左、右两边都________的未知数的值，叫做一元二次方程的解．也叫做一元二次方程的根．2.估计一元二次方程的解，先确定方程解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把一个值代入方程使得左边的计算结果________把另一个值代入方程使得左边的计算结果________那么方程的解就在这两个值________．二、基础训练类型一：一元二次方程的解1.如果-3是方程x2-3x+c=0的一个根，那么c的值是2.若a是方程2x2-x-3=0的一个解，则2a2-a的值是3.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1，则2017-a-b的值是类型二：估计一元二次方程的近似解4.为估算方程x2-2x-8=0的解，填写下表：x-2-101234x2-2x-80-5-8-9-8-50由此可判断方程x2-2x-8=0的解为．5.根据下列表格对应值：x3.243.253.26ax2+bx+c-0.020.010.03判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是（）A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x＜3.286.小华在做“一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为xm，列出的方程为x(x-3)=1，整理得x2-3x-1=0.小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：x1234x2-3x-1-3-3-13所以，＜x＜．笫二步：x3.13.23.33.4x2-3x-1-0.69-0.36-0.010.36所以，＜x＜．(1)请你帮小华填完空格，完成他未完成的部分；(2)通过以上探索，估计出矩形铁片长的整数部分为，十分位为．7.不解方程，估计方程的根的大小（精确到0．1）三、提高训练8.某大学为改善校园环境，计划在一块长80m，宽60m的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3500m2.四周为宽度相等的人行走道，如图所示，若设人行走道宽为xm.(1)你能列出相应的方程吗？(2)x可能小于0吗？说说你的理由．(3)x可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由．(4)你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程．2.2用配方法求解一元二次方程（1）用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程一、学习目标1．能根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程．2．理解配方法，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程．3．会用转化的数学思想解决有关问题二、新课引入1、如果一个数的平方等于4，则这个数是，若一个数的平方等于7，则这个数是。一个正数有个平方根，它们的关系是2、用字母表示完全平方公式为3.你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？（1）𝑥2=5（2）2𝑥2+3=5（3）𝑥2+2x+1=4（4）𝑥2+2𝑥−3=0三、探究新知探究一：用直接开方法解形如(𝑥+𝑚)2=𝑛(𝑛≥0)的一元二次方程1.解下列方程（1）𝑥2=5（2）2𝑥2+3=5（3）𝑥2+2x+1=4方程解答过程中有什么共同特点？怎么做的？将形如（𝑥+𝑚）2=𝑛(𝑛≥0)的一元二次方程左右开方，转化成的一元一次方程后再解，这种方法叫做解一元二次方程的思路是将方程转化为的形式，它的一边是一个________，另一边是一个________，当n________时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可得到方程的根是:x1=________，x2=________.探究二：配方的方法1.方程𝑥2+2𝑥−3=0能用刚才的直接开方法解吗？为什么？能转化成(𝑥+𝑚)2=𝑛(𝑛≥0)的形式吗？ 2.填上适当的数，使下列等式成立(1)x2+12x+________=(x+6)2；(2)x2-4x+________=(x-________)2；(3)x2+8x+________=(x+________)2.3.思考：（1）二次项系数都是（2）常数项与一次项系数的关系是总结：1.二次项系数为时，方程两边同时加上，可以写成的形式2．通过配成的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．探究三：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程1.用配方法解方程𝑥2+2𝑥−3=0小结：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤解：移项，得：（1）：常数项移到方程配方，得：（2）：左右同时加∴（3）：转化成开方，得：（4）解∴解得：练习巩固:1.解下列方程（1）𝑥2-10𝑥+25=7（2）𝑥2+3𝑥=1四、例题讲解例1解下列方程（1）x2+8x-9=0.（2）𝑥2+12𝑥−15=0五、课堂小结1.直接开方法：形如的方程，可以直接开方，转化成来解2.二次项系数为1的一元二次方程，方程两边同时加上，可以写成（𝑥+𝑚）2=𝑛(𝑛≥0)的形式3.用配方法解次项系数为1的一元二次方程的步骤（1）：移到方程右边（2）：左右同时加（3）：转化成（4）解4.思想方法：六、当堂检测1.解下列方程（1）𝑥2-14𝑥=8（2）𝑥2+2𝑥+2=8𝑥+42.2用配方法求解一元二次方程（1）用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程课后作业分类练习一、本课知识点1.形如的方程，可以直接开方，转化成的一元一次方程来解2.二次项系数为1的一元二次方程，方程两边同时加上，将方程转化为的形式，当时，两边同时，转化为一元一次方程，便可求出它的根．这种解一元二次方程的方法称为配方法．2.用配方法解次项系数为1的一元二次方程的步骤（1）：项移到方程右边（2）：左右同时加上（3）：转化成（4）解二、基础训练类型一：配方1.填空(1)x2+10x+_____=(x+_____)2；(2)x2-12x+____=(x-_____)2；(3)x2+5x+_____=(x+_____)2；(4)x2-eq\f(2,3)x+_____=(x-_____)2类型二：直接开方法解一元二次方程2.填空(1)若x2=4，则x=________.(2)若4x2=81，则x=________.(3)若36x2-1=8，则x=________.(4)若(x+1)2=4，则x=________.类型三：用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程3.用配方法解方程（1）x2+2x-1=0.（2）x2-2x-24=0.(3)x2-2x=2x+1；(4)x2-2eq\r(2)x-3=0.4.若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16，则m=.5.将方程x2-2x-3=0化为(x-m)2=n的形式，则m=，n=6.用配方法解下列方程时，配方错误的是()A．x2-2x-99=0，化为(x-1)2=100B．x2-4x=5，化为(x-2)2=9C．x2+8x+9=0，化为(x+4)2=25D．x2+6x=1，化为(x+3)2=10类型四：建立方程求解7.已知代数式x2-4x-1的值为3，求x值8.有一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小3，个位上数字的平方等于这个两位数，求这个两位数．9.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应为多少？三、提高训练10.已知xy=9，x-y=-3，则x2+3xy+y2的值11.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行多少列？2.2用配方法求解一元二次方程（2）用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程一、学习目标1．会用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程．2．会用转化的数学思想解决有关问题．二、新课引入1.用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤:（1）：项移到方程右边（2）：左右同时加上（3）：转化成（4）解2.解方程x2-6x-40=0三、探究新知1.将下列各式填上适当的项，配成完全平方.（1）x2+2x+________=(x+______)2（2）x2-4x+________=(x-______)2（3）x2+________+36=(x+______)2（4）x2+10x+________=(x+______)2（5）x2-x+________=(x-______)22.比较下列两个一元二次方程的联系与区别（1）x2+6x+8=0（2）3x2+18x+24=0方程2的应如何去解呢？方法：用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程步骤：（1）两边同时除以________（2）移项：常数项移到方程______（3）配方：左右同时加上（4）开方：转化成（5）一元一次方程四、例题讲解例解方程：3x2+8x-3=0.练习巩固1.解下列方程：(1)3x2+6x-5=0；(2)9y2-18y-4=0.2.做一做：一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(S)满足关系:h=15t-5t2,小球何时能达到10米的高度？五、课堂小结用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程步骤：（1）二次项系数化为1：两边同时除以________（2）移项：常数项移到方程______（3）配方：左右同时加上（4）开方：转化成（5）一元一次方程六、当堂检测1.课本39页“随堂练习”2.印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数有多少，两队猴子在一起？大意是说：一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？请同学们解决这个问题。2.2用配方法求解一元二次方程（2）用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程课后作业分类练习一、本课知识点用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程步骤：（1）化为1：两边同时除以________（2）________：_______移到方程右边（3）________：左右同时加上（4）________：转化成（5）一元一次方程二、基础训练类型一：配方1.用配方法解方程2x2-4x=3时，先把二次项系数化为1，然后方程的两边都应加上2.用配方法解下列方程时，配方有错误的是()A．2m2+m-1=0化为(m+eq\f(1,4))2=eq\f(9,16)B．2x2+1=3x化为(x-eq\f(3,4))2=eq\f(1,16)C．2t2-3t-2=0化为(t-eq\f(3,2))2=eq\f(25,16)D．3y2-4y+1=0化为(y-eq\f(2,3))2=eq\f(1,9)3.把方程-2x2-4x+1=0化为(x+m)2+n=0的形式后m=,n=4.用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，此方程可变形为()A．(x+eq\f(b,2a))2=eq\f(b2－4ac,4a2)B．(x+eq\f(b,2a))2=eq\f(4ac－b2,4a2)C．(x-eq\f(b,2a))2=eq\f(b2－4ac,4a2)D．(x-eq\f(b,2a))2=eq\f(4ac－b2,4a2)类型二：解方程5.解方程：(1)4x2-7x+2=0；(2)eq\f(2,3)x2+eq\f(1,3)x-2=0.（3）3x2+6x-1=0（4）(2x-5)(x+2)=3x-4类型三：列一元二次方程解应用题6.一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于160cm2，求两个正方形的边长．类型四：用配方法求最值7.用配方法求解下列问题（1）求2x2-4x+3的最小值(2)求-3x2+6x+1的最大值三、提高训练8.若，求的值。9.如图，A,B,C,D是矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm,动点P从点A出发，以3cm/s的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，何时点P和点Q之间的距离是10cm?2.3用公式法求解一元二次方程（1）一、学习目标1．经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解求根公式的由来．2．会用公式法求解一元二次方程．3．不解方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况．二、新课引入1.用配方法解方程2x2-8x+6=0三、探究新知1.用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)解∵a≠0,方程两边同时除以a得__________________，移项得__________，配方得__________________，即（x+_________）2=__________，当__________时，原方程化为两个一元一次方程__________和__________，∴x1=__________,x2=____________1．对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是____________．这个式子称为一元二次方程的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法称为________．2．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由________来判定．我们把________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“”来表示．（1）当b2-4ac________0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2-4ac________0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2-4ac________0时，方程没有实数根．练习巩固1.不解方程，判断下列方程是否有解(1)2x2+5=7x（2）4x(x-1)+3=0（3）4(y2+0.09)=2.4y四、例题讲解1.用公式法解方程（1）x2-7x=18用公式法解一元二次方程的步骤：解：方程化为一般形式是_______（1）把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。a=_______,b=_______,c=______,（2）求出b2-4ac的值。代入求根公式得：（3）代入求根公式:方程的根x1=__________,x2=__________.（4）写出方程的解：x1=,x2=(2)4x2+1=4x（3）2x2-9x+8=0练习巩固:1.用公式法解下列方程（1）9x2+6x+1=0(2)16x2+8x=3(3)x(x-3)+5=0五、课堂小结1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是2．用解一元二次方程的方法称为公式法．3．应用公式法解一元二次方程的步骤．（1）把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。（2）求出b2-4ac的值。（3）代入求根公式:（4）写出方程的解：x1=,x2=4．一元二次方程根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由________来判定．我们把叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“”来表示．（1）当b2-4ac________0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2-4ac________0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2-4ac________0时，方程没有实数根．六、当堂检测课本43页“随堂练习”32.3用公式法求解一元二次方程（1）课后作业分类练习一、本课知识点1.一元二次方程根的情况．我们把叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“”来表示．（1）当b2-4ac________0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2-4ac________0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2-4ac________0时，方程没有实数根．2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是3.用解一元二次方程的方法称为公式法．4.应用公式法解一元二次方程的步骤．（1）把方程化成一般形式,并写出a，b，c的值。（2）求出b2-4ac的值。（3）代入求根公式:（4）写出方程的解：x1=,x2=二、基础训练类型1：用判别式判断方程根的情况1.利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)x2-4eq\r(2)x+9=0；(2)3x2+10x=2x2+8x.2.如果关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．3.若关于x的方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是类型2：用公式法解一元二次方程4方程3x2-8=7x化为一般形式是_______，a=__________,b=__________,c=__________,代入求根公式得：方程的根x1=__________,x2=__________.5.用公式法解下列方程：(1)x2+x-12=0;(2)x2-eq\r(2)x-eq\f(1,4)=0；(3)x2+2x=0;6.用两种方法解方程2x(x-1)=1三、提高训练7.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0，求证：方程有两个不相等的实数根8.已知：□ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2-mx+eq\f(m,2)-eq\f(1,4)=0的两个实数根．(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；(2)若AB的长为2，则□ABCD的周长是多少？2.3用公式法求解一元二次方程（2）方案设计的实际问题一、学习目标通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法；二、新课引入1.分别用配方法与公式法解一元二次方程6x2+x-1=02.在一块长为16m，宽为12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？三、探究新知方案设计1.小明的设计方案如图,其中花园四周小路的宽度都相等请你求出小路的宽度2.小亮的设计方案如图，其中花园每个角上的扇形都相同，请你求出图中x的值3.小颖的的设计方案如图，请你求出图中x的值四、例题讲解1.在一幅长90cm、宽60cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？五、课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？不规则图形的面积，可以转化为规则图形，方法为或；再根据面积，构造方程求解六、当堂检测课本45页“习题2.6”2，32.3用公式法求解一元二次方程（2）方案设计的实际问题课后作业分类练习一、本课知识点不规则图形的面积，可以转化为规则图形，方法为或；再根据面积，构造方程求解二、基础训练类型一：用一元二次方程解决图形面积的实际问题1.如图，一农户要建个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2?类型二：一元二次方程的根与系数的关系2.当实数m取什么值时，关于x的方程x2+2(m+1)x+2m2+1=0有两个不相等的实数解？并求出此时方程的解.3.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当a,b,c满足什么条件时，方程的两根互为相反数？三、提高训练4.如图，由点P(14,1）A(a,0),B(0,a)(0<a<14)确定的△PAB的面积为18，求a的值.如果a>14呢？2.4用因式分解法求解一元二次方程一、学习目标1．会用因式分解法求解一元二次方程．2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．二、新课引入1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为的形式。2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为。3.把下列式子分解因式5x2-4xx(x-2)-（x-2）x2-6x-73x2+8x-3三、探究新知1.选择合适的方法解下列方程=1\*GB3①x2-6x=7=2\*GB3②3x2+8x-3=01．如果两个因式的积是零，那么这两个因式中至少有一个因式为________；2．当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成____________________时，让两个一次因式分别等于，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，得到的两个根就是原方程的两个根．这种方法称为因式分解法．练习巩固:例：解下列方程(1)5x2=4x（2）x(x-2)=x-2用因式分解法解一元二次方程的步骤：（1），把方程右边变为0（2）把方程的左边分解为的乘积（3）令每个因式分别等于，得出方程的解四、例题讲解1.用因式分解法解下列方程(1)x2-4=0（2）(x+1)2-25=02.解下列方程(1)(2x-1)2=(3-x)2；(2)3x2-12x=-12.五、课堂小结1.因式分解法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成_______________时，让两个一次因式分别等于，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，得到的两个根就是原方程的两个根．2.用因式分解法解一元二次方程的步骤：（1）移项，把方程右边（2）把方程的边分解为两个一次因式的乘积（3）令每个因式分别等于，得出方程的解3.解一元二次方程的方法有:、、、．六、当堂检测1.解下列方程（1）(x+2)(x-4)=0(2)x2-4=0(3)4x(2x+1)=3(2x+1)2.4用因式分解法求解一元二次方程课后作业分类练习一、本课知识点解一元二次方程的方法有：直接开平方法、、、．首先考虑方法二、基础训练1.用适当的方法解下列方程：(1)x2=4x；(2)5x2+2x-1=0；(3)x2+4x-1=0；(4)x2-3x=5；(5)eq\f(1,4)x2-6x+3=0；(6)y(y-8)=-16；(7)(3x-4)2=(4x-3)2；(8)(2x-1)(x+1)=(3x+1)(x+1)．2.阅读理解：例如：因为x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3，所以x2+5x+6=(x+2)(x+3)．所以方程x2+5x+6=0用因式分解法解得x1=-2，x2=-3.又如：x2-5x+6=x2+[(-2)+(-3)]x+(-2)×(-3)．所以x2-5x+6=(x-2)(x-3)．所以方程x2-5x+6=0用因式分解法解得x1=2，x2=3.一般地，x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)．所以x2+(a+b)x+ab=0，即(x+a)(x+b)=0的解为x1=-a，x2=-b.请依照上述方法，用因式分解法解下列方程：(1)x2+8x+7=0；(2)x2-11x+28=0.3.先化简，再求值：(eq\f(2,a－1)-eq\f(1,a))÷eq\f(a2＋a,a2－2a＋1)，其中a2+a-2=0.4.某药品经两次降价，从原来每箱60元降为每箱48.6元，求平均每次降价率三、提高训练5.已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0.(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根2.5一元二次方程的根与系数的关系一、学习目标1.了解一元二次方程的根与系数的关系．2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．二、新课引入1、一元二次方程的一般形式是2、一元二次方程有实数根的条件是3、当时，一元二次方程有两个不相等的实数根当时，一元二次方程有两个相等的实数根当时，一元二次方程没有实数根4、一元二次方程的求根公式是5.已知x1,x2,满足x1+x2=7，x1x2=12，在不解方程的前提下，你能判断以x1,x2,为根的一元二次方程是哪一个吗？说说你的理由A.x2+7x+12=0B.x2+7x-12=0C.x2-7x-12=0D.x2-7x+12=0三、探究新知一元二次方程根与系数的关系填表一元二次方程x1x2x1+x2x1﹒x2x2-2x+1=0x2+7x+6=02x2-3x+1=0……ax2+bx+c=0(a≠0)(b2-4ac≥0)你发现了什么结论？用语言叙述发现的规律； 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2，那么：练习巩固:1.根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（1）2x2-3x-2=0

x1+x2=________

x1x2=________

（2）x2-3x-1=0

x1+x2=_______

x1x2=________

（3）x2+7x=-6

x1+x2=_________

x1x2=_________

（4）3x2-2x-5=0

x1+x2=_________

x1x2=_________2.利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3.四、例题讲解1.不解方程，直接求下列方程的两个根之和与两根之积(1)x2-6x=15(2)5x-1=4x22.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求另一根及k的值．3.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的（1）平方和（2）倒数和（3）差五、课堂小结一元二次方程的根于系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=________，x1x2=________.________=________x1-x2=________六、当堂检测课本50页“随堂练习”2，32.5一元二次方程的根与系数的关系课后作业分类练习一、本课知识点一元二次方程的根于系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=________，x1x2=________.________=________x1-x2=________二、基础训练类型1：根据方程的根于系数的关系求两根之积和两根之和1.设一元二次方程x2-7x+3=0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2=________，x1x2=________.2.两根均为负数的一元二次方程是()A．7x2-12x+5=0B．6x2-13x-5=0C．4x2+21x+5=0D．x2+15x-8=03.已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k=0的两个根，三角形的第三条边c=4,求这个三角形的周长。4.已知方程x2-6x+m2-2m+5=0的一个根是2，求另一根及m的值．5.已知x1、x2是方程x2-3x-2=0的两个实根，则(x1-2)(x2-2)=________.类型2：根据一元二次方程根与系数的关系求a,b,c的值7.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别是1和2，则b=，c=．8.已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根-2，m.求m，n的值．9.方程x2-(m+6)x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，求m的值三、提高训练10.若m，n是方程x2+x-1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．11.已知x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，（1）求代数式xeq\o\al(2,1)+xeq\o\al(2,2)的值．（2）求代数式eq\f(1,x1)+eq\f(1,x2)的值．2.6应用一元二次方程（1）利用一元二次方程解决几何问题一、学习目标1．经历分析具体问题中的数量关系、建立方程模型并解决问题的过程．2．在列方程解决实际问题的过程中，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤．3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．二、新课引入1.勾股定理的内容是，用字母表示为2.应用勾股定理的条件是，如果没有直角三角形，我们该怎么办？3.列方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的相等关系；(2)“设”：设未知数；(3)“_____”：列方程，找出题中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程；(4)“解”：求出所列方程的________；(5)“验”检验方程的解能否保证实际问题________；(6)“答”：就是写出答案．三、探究新知梯子下滑问题一个长为10m的梯子斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面垂直距离为8m（1）如果梯子的顶端下滑1m时，那么梯子底端滑动多少米？（2）当梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和梯子顶端下滑的距离相等？列一元二次方程解决与几何图形有关的应用题时（1）把实际问题，（2）画出，（3）用几何原理来寻找它们之间的，（4）列出有关的，使问题得以解决．四、例题讲解如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。小岛F位于BC中点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）变式：如果军舰的速度是补给船的1.2倍（题中其他条件不变），那么军舰与补给船应在哪段相遇？并求出相遇时补给船航行了多少海里?五、课堂小结1.列方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的相等关系；(2)“设”：设未知数；(3)“_____”：列方程，找出题中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程；(4)“解”：求出所列方程的________；(5)“验”检验方程的解能否保证实际问题________；(6)“答”：就是写出答案．2.列一元二次方程解决与几何图形有关的应用题时（1）把实际问题，（2）画出，（3）用几何原理来寻找它们之间的，（4）列出有关的，使问题得以解决．六、当堂检测课本53页“随堂练习”《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙各行几何?”大意是说:已知甲,乙二人同时从同一地点出发,甲的速度是7,乙的速度是3.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲,乙各走了多远?2.6应用一元二次方程（1）利用一元二次方程解决几何问题课后作业分类练习一、本课知识点列一元二次方程解决与几何图形有关的应用题时（1）把实际问题，（2）画出________，（3）用几何原理来寻找它们之间的________，（4）列出有关的________，使问题得以解决．二、基础训练类型一：利用一元二次方程解决几何问题1、一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，那么这个直角三角的面积是多少？2、在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570平方米，问道路应为多宽？类型二：几何问题中的动点问题3.如图：在Rt△ACB中，∠C=90°，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向